Introduction à la dynamique des structures
Patrick Le Tallec
ellipses
1 Cinématique9
1.1 Introduction9
1.2 Description du mouvement9
1.2.1 Construction d'un paramétrage9
1.2.2 Calcul de l'énergie cinétique11
1.3 Espace des vitesses virtuelles12
1.3.1 Rappel sur le Principe des Puissances Virtuelles12
1.3.2 Construction de V14
1.4 Formule de Lagrange16
1.4.1 Le cas général16
1.4.2 Exemples17
1.4.3 Le cas des solides indéformables18
1.5 Mouvements élémentaires24
1.5.1 Cadre24
1.5.2 Oscillateur amorti24
1.5.3 Propagation d'ondes planes26
2 Les systèmes conservatifs discrets31
2.1 Introduction31
2.2 Les problèmes conservatifs32
2.2.1 Définition32
2.2.2 Equations du mouvement32
2.2.3 Intérêt33
2.2.4 Exemples34
2.3 Le problème en petites perturbations37
2.3.1 Description du problème posé37
2.3.2 Linéarisation37
2.3.3 Exemple39
2.4 Etude des modes propres39
2.4.1 Position du problème39
2.4.2 Définition et calcul40
2.4.3 Exemples41
2.5 Analyse vibratoire42
2.5.1 Equations en notation complexe42
2.5.2 Analyse en modes propres43
2.5.3 Réponse vibratoire du cas général46
2.5.4 Stabilité linéaire47
2.5.5 Stabilisation et contrôle48
3 Théorie des barres53
3.1 Introduction53
3.2 Description cinématique54
3.3 Equations du mouvement55
3.3.1 Choix des vitesses virtuelles et efforts d'accélération55
3.3.2 Puissance des efforts intérieurs et extérieurs55
3.3.3 Equations d'équilibre57
3.3.4 Hypothèse de comportement58
3.4 Le problème aux limites59
3.4.1 Formulation variationnelle59
3.4.2 Formulation forte60
3.5 Dynamique d'une barre en traction61
3.5.1 Ecriture du problème61
3.5.2 Propagation des perturbations62
3.5.3 Action des conditions aux limites64
3.5.4 Mécanisme final65
3.6 Calcul des modes propres65
3.6.1 La barre homogène en traction65
3.6.2 Sensibilité aux conditions aux limites68
3.6.3 Le cas général69
3.7 Analyse modale71
3.7.1 Version de base71
3.7.2 Superposition modale. Version 272
4 Théorie des poutres77
4.1 Introduction77
4.2 Description cinématique78
4.3 Principe des Puissances Virtuelles79
4.3.1 Choix des vitesses virtuelles79
4.3.2 Puissance des efforts intérieurs79
4.3.3 Puissance des efforts extérieurs82
4.3.4 Puissance des efforts d'accélération83
4.3.5 Equations d'équilibre84
4.4 Poutres droites en petites transformations85
4.4.1 Introduction85
4.4.2 Petites déformations de poutres droites86
4.4.3 Hypothèses de comportement87
4.5 Equations du mouvement88
4.5.1 Formulation variationnelle88
4.5.2 Formulation forte90
4.5.3 Conditions aux limites92
4.5.4 La poutre console93
4.6 Calcul des modes propres94
4.6.1 Poutre console en flexion plane94
4.6.2 Sensibilité aux conditions aux limites96
4.6.3 Le cas général98
5 Dynamique des solides hyperélastiques101
5.1 Introduction101
5.2 Le problème élastique général103
5.2.1 Modélisation géométrique103
5.2.2 Description des efforts105
5.2.3 Equations d'équilibre sur Omega106
5.2.4 Elasticité107
5.2.5 Exemples de densité d'énergie108
5.2.6 Poutre élastique en déformation modérée108
5.3 Extension aux structures minces110
5.3.1 Cinématique des coques110
5.3.2 Mesure des déformations111
5.3.3 Puissance des efforts intérieurs111
5.3.4 Equations du mouvement112
5.3.5 Lois de comportement112
5.4 Le problème en petites perturbations113
5.4.1 Equations du mouvement sur Oméga0113
5.4.2 Linéarisation115
5.4.3 Interprétation physique116
5.5 Formulation variationnelle118
5.5.1 Description et équations118
5.5.2 Raideur géométrique119
5.5.3 Le cas des poutres non linéaires120
5.6 Propagation en milieu tridimensionnel121
5.6.1 Les ondes planes121
5.6.2 Réflexions sur les interfaces122
5.6.3 Propagation tridimensionnelle125
5.7 Analyse modale et vibratoire127
5.7.1 Calcul des modes propres127
5.7.2 Calcul de la charge de flambement128
5.7.3 Analyse vibratoire128
6 Rayonnement acoustique131
6.1 Définition du problème131
6.2 Les équations de l'acoustique linéaire132
6.2.1 Introduction132
6.2.2 Equations de bilan132
6.2.3 Thermodynamique133
6.2.4 Hypothèses de comportement134
6.2.5 Les équations acoustiques135
6.3 Solutions particulières136
6.3.1 Propagation unidimensionnelle136
6.3.2 Les ondes radiatives137
6.4 Etude des interfaces138
6.4.1 Interface fluide-structure138
6.4.2 Condition de rayonnement de Sommerfeld139
6.5 Puissance acoustique141
6.5.1 Flux d'intensité acoustique141
6.5.2 Puissance rayonnée141
6.5.3 Exemple: la sphère en translation périodique142
7 Interaction fluide-structure145
7.1 Introduction145
7.2 Exemple introductif146
7.2.1 Problème modèle et équations146
7.2.2 Etude de l'interaction fluide-structure147
7.2.3 Amortissement par rayonnement acoustique150
7.3 Ecriture du problème général150
7.3.1 Description du problème et équations150
7.3.2 Analyse spectrale152
7.3.3 Elimination de la pression153
7.4 Analyse mécanique du couplage et exemples154
7.4.1 Interprétation mécanique154
7.4.2 Calcul de la dissipation157
7.4.3 Exemple de la sphère pulsante158
7.4.4 Couplage par masse ajoutée158
7.4.5 Calcul numérique des termes de couplage162
8 Conclusion165
A Rappels de théorie spectrale169
B Problèmes de vibration173
C Problèmes de poutres187
D Exercice de rayonnement acoustique201
E Problèmes de résonance205