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Carrefours entre analyse, algèbre, géométrie

Livre

Résumé

Exploration de questions rarement abordées dans les études universitaires de mathématiques, mais dont la maîtrise sera essentielle pour les professeurs : le nombre pi, les nombres transcendants, complexes, irrationnels, les rapports entre aire, intégrale et primitive, les relations entre mesures physiques, géométriques et intégrales...


  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2001
  • Langues
    • Français
  • Description matérielle
    • 333 p. : ill. ; 26 x 18 cm
  • Collections
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 2-7298-0607-5
  • Indice
    • 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
  • Tables des matières
      • Nicolas Pouyanne

      • Aline Robert

      • Marc Rogalski

      • Introduction et mode d'emploi9
      • Ch. 1: La notion d'équation17
      • I. Deux manières de définir un ensemble17
      • II. Notion d'équation, injectivité et surjectivité, application réciproque18
      • A. Equations18
      • B. Injection, surjection, bijection, application réciproque20
      • C. Deux problèmes importants concernant équations et fonctions r‚ciproques23
      • III. Le modèle général de l'équation linéaire: cinq exemples de références32
      • A. Le modèle général de l'équation linéaire32
      • B. Cinq exemples de référence34
      • IV. Définir un ensemble géométrique par des équations39
      • A. Le cas général39
      • B. Le cas des équations linéaires41
      • Ch. 2: Compléments sur les nombres complexes45
      • I. Un peu d'histoire en guise d'introduction: nombres complexes, équations, polynômes46
      • A. Des exercices inspirés de l'histoire47
      • B. Indications pour la solution des exercices50
      • C. Le "miracle" des calculs des mathématiciens italiens... n'en est pas un58
      • II. Différentes définitions et différentes écritures des nombres complexes61
      • A. Quelques définitions des nombres complexes61
      • B. Les différents registres d'écriture des nombres complexes, nombres complexes de module 1 et racines n-èmes de l'unité64
      • III. Les nombres complexes comme outils en géométrie ou en algèbre70
      • A. Des rappels sur les nombres complexes et la géométrie71
      • B. Des types de problèmes de géométrie où les complexes sont utiles: alignement, triangle, configurations, lieux, études liées à des homographies77
      • C. Utilisation de la géométrie des complexes pour étudier des questions d'algèbre des polynômes à coefficients complexes87
      • Ch. 3: Le nombre pi entre algèbre, géométrie et analyse91
      • I. La limite en 0 de "formule mathématique non exprimables en texte html" en classe de première: longueur d'un arc et convexité dans le plan91
      • II. La limite en 0 de "formule mathématique non exprimables en texte html" en classe de première: l'aire du secteur de cercle et la division des arcs93
      • III. Pourquoi le périmètre du cercle de rayon 1 est-il le double de son aire? Le même nombre pi?96
      • IV. La relation L = 2S: une preuve presque géométrique98
      • V. Le raisonnement par "exhaustion" d'Archimède pour montrer la relation L = 2S99
      • VI. Le point de vue du XXe siècle102
      • A. L'introduction des fonctions trigonométriques par les séries entières102
      • B. L'introduction des fonctions trigonométriques par la fonction arctangente, primitive nulle en 0 de la fonction "formule mathématique non exprimables en texte html"102
      • VII. Un autre point de vue sur le nombre pi: la période d'un homomorphisme continu de R dans T104
      • A. Conditions nécessaires vérifiées par un tel homomorphisme104
      • B. Comment montrer l'existence d'un homomorphisme continu de R dans T?107
      • C. Attention: il existe beaucoup d'homomorphismes de groupe de R dans T, dont le noyau est Z, mais non continus108
      • VIII. Calculer des valeurs approchées de pi109
      • Ch. 4: La convexité115
      • I. Fonctions et ensembles convexes: définitions et propriétés fondamentales116
      • A. Fonctions convexes sur un intervalle réel116
      • B. Ensembles convexes de la droite, du plan, de l'espace120
      • C. Relations entre ensembles convexes et fonctions convexes122
      • II. Fonctions et ensembles convexes: quelques indications sur les démonstrations125
      • III. Quelques grandes idées sur la convexité et son utilisation131
      • A. Quelques grandes idées importantes131
      • B. Quatre techniques de base pour utiliser la convexité133
      • IV. Quelques exercices sur les fonctions convexes133
      • V. Longueurs, périmètres et convexité140
      • A. Définition et existence140
      • B. La formule de Cauchy pour le pèrimètre d'un corps convexe143
      • VI. Aires et convexité148
      • A. Aire d'un corps convexe148
      • B. Le calcul de l'aire d'un corps convexe149
      • C. L'aire des polygones convexes inscrits ou circonscrits à un cercle: des inégalités150
      • D. La formule de Steiner-Minkowski sur l'aire de C + B*(omicron, epsilon)151
      • E. Le problème du sandwich153
      • F. Convexes et réseaux plans156
      • VII. Quelques résultats supplémentaires: l'inégalité isopérimètrique, le théorème de Brunn-Minkowski158
      • A. La concavité de la racine carrée de l'aire: le théorème de Brunn-Minkowski158
      • B. L'inégalité isopérimètrique162
      • VIII. O- se cache la convexité dans les programmes des lycées et collèges?166
      • A. Convexité et axiomes de base de la géométrie au collège167
      • B. Les polygones convexes au collège et au lycée167
      • C. La convexité du cercle au collège et au lycée167
      • D. La longueur de l'arc de cercle et les fonctions trigonométriques en première168
      • E. Recherche du maximum de fonctions linéaires sous des contraintes linéaires, en terminale168
      • F. Calcul de volumes en terminale168
      • Ch. 5: Aires, intégrales et primitives, un cheminement de la géométrie à l'analyse, inspiré de l'histoire171
      • I. Cheminement historique172
      • A. Galilée et la chute des corps172
      • B. La spirale d'Archimède et la somme "formule mathématique non exprimables en texte html"173
      • C. Cavalieri, Fermat et l'aire "sous les fonctions puissances"174
      • D. L'hyperbole, Grégoire de Saint-Vincent et le logarithme176
      • II. Aire, intégrale et primitive: quels rapports?177
      • III. Sens de la relation primitive-intégrale en terminale scientifique; le problème de l'additivité et les indivisibles de Cavalieri180
      • A. Primitives et intégrales en terminale180
      • B. Quelques activités autour de la méthode des indivisibles183
      • Ch. 6: Le problème des primitives des fonctions continues: une solution directe187
      • I. Primitives d'une fonction, propriétés; primitive entre deux points187
      • II. Approximation globale d'une fonction continue par des fonctions simples190
      • III. Le théorème fondamental sur les primitives192
      • Ch. 7: Les grandeurs géométriques, physiques... et leur formalisation et calcul par les procédures "intégrale" et "dérivée-primitive"197
      • I. La notion de grandeur197
      • A. Qu'est-ce qu'une grandeur?197
      • B. Mesurer une grandeur198
      • C. Caractériser une grandeur par une relation numérique ponctuelle ou locale198
      • II. La procédure "dérivée-primitive"200
      • A. En quoi consiste cette procédure?200
      • B. La procédure dérivée-primitive et le calcul des surfaces et des volumes205
      • III. La procédure intégrale211
      • A. Quel est le problème?211
      • B. La procédure intégrale213
      • C. Une classe de fonctions Darboux-intégrables215
      • D. Un exemple d'application à un calcul d'aire en coordonnées polaires217
      • E. On retrouve l'existence des primitives des fonctions continues218
      • F. Conclusion sur la modélisation par l'intégrale218
      • Ch. 8: Valeur moyenne d'une fonction, valeurs moyennes d'une grandeur223
      • I. Valeur moyenne d'une fonction223
      • A. Passage d'un échantillonage discret à une version continue223
      • B. Moyenne comme constante déterminant la même aire que le graphe de f sur [a, b]224
      • C. Vision barycentrique de la moyenne: on pondère les valeurs224
      • D. Moyenne comme constante minimisant l'erreur quadratique225
      • II. Moyenne d'une fonction par rapport à une fonction densité226
      • III. Valeur moyenne d'une grandeur: problèmes de modélisation227
      • Ch. 9: Aire, volume, mesure de Lebesgue des compacts233
      • I. L'équidécomposabilité de polygones de même aire234
      • II. Les compacts quarrables du plan238
      • A. Objectifs et contraintes238
      • B. Les définitions de base238
      • C. Les propriétés de l'aire des compacts quarrables239
      • D. L'aire du disque240
      • E. L'aire du parallélélogramme comme déterminant241
      • III. Les compacts cubables de l'espace241
      • A. Définitions et résultats241
      • B. Le volume du tétraèdre242
      • C. Le volume du tétraèdre dans les programmes de première de 1950243
      • D. Le volume du parallélépipède comme déterminant245
      • IV. La mesure de Lebesgue d'un compact du plan246
      • A. La mesure des compacts du plan246
      • B. Invariance de la mesure de Lebesgue par les isométries250
      • C. Mesure des sous-graphes et intégrales des fonctions continues251
      • D. L'existence de compacts du plan non quarrables252
      • E. L'effet des bijections affines sur la mesure des compacts254
      • F. Rapports entre les mesures des compacts dans des plans différents de l'espace255
      • V. La mesure de Lebesgue d'un compact de l'espace255
      • A. Mesure d'un cylindre droit à base dans un plan de coordonnées256
      • B. Invariance de la mesure des compacts par les isométries256
      • C. L'effet des bijections affines sur la mesure des compacts de l'espace257
      • D. Cubabilité et mesure de Lebesgue258
      • Appendice au ch. 9: la non-équidécomposabilité du cube et du tétraèdre régulier de même volume261
      • Annexe 1: Les entiers et la récurrence, ensembles finis et infinis, problèmes de dénombrement265
      • I. N et le raisonnement par récurrence265
      • A. La récurrence265
      • B. Existence et unicité des suites définies par récurrence270
      • C. La construction par récurrence271
      • II. Ensembles finis et infinis273
      • A. Ensembles finis, cardinal ou nombre d'éléments d'un ensemble fini273
      • B. Ensembles infinis276
      • C. Ensembles dénombrables279
      • III. L'analyse combinatoire282
      • A. Des résultats généraux de base284
      • B. Problèmes de modélisation292
      • C. Retour de la modélisation vers les mathématiques296
      • Annexe 2: Quelques exemples d'intervention du numérique en géométrie, et autres remarques sur la géométrie du collège299
      • I. Inégalité triangulaire et intersection de deux cercles: un piège au collège299
      • II. Réciproques de quelques théorèmes caractérisant une propriété géométrique par une égalité numérique301
      • III. Mesures des angles du plan303
      • IV. Les oubliés du collège304
      • Annexe 3: Le point sur les nombres réels307
      • I. Une ébauche de construction, les propriétés de R308
      • A. Différentes approches possibles pour une construction308
      • B. Une ébauche de construction, par les développements décimaux illimités311
      • C. Les propriétés essentielles de R318
      • II. Nombres rationnels, irrationnels, transcendants322
      • A. La non-dénombrabilité de R322
      • B. Les nombres irrationnels323
      • C. Nombres algébriques, nombres transcendants327
      • III. Nombres constructibles330

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 510 ROG

    Niveau 2 - Sciences