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Mathématiques : les cours à la Sorbonne, les cours à l'Ecole polytechnique

Livre

Résumé

Ce livre constitue, au-delà de son intérêt historique, un document exceptionnel pour les étudiants d'aujourd'hui, en particulier pour ceux qui se destinent à l'enseignement des mathématiques.


  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2002
  • Langues
    • Français
  • Description matérielle
    • 447 p. ; 26 x 18 cm
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 2-7298-1065-X
  • Indice
    • 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
  • Quatrième de couverture
    • Quand, sur la proposition de Henri Cartan, Gustave Choquet prit, en 1955, la relève de Georges Valiron, tombé malade, pour assurer le cours de Calcul différentiel et intégral (CDI) à la Faculté des Sciences de Paris, il se produisit un véritable bouleversement dans l'enseignement de l'analyse.

      Le mouvement déclenché fut irrésistible, et très rapidement toutes les universités françaises adoptèrent le programme de G. Choquet. La réforme de la licence de 1958 ramena en propédeutique (MGP) les bases de l'algèbre et de l'algèbre linéaire, les nouveaux certificats de Mathématiques I et II gardant en licence le cœur de l'analyse moderne.

      Nous avons souhaité proposer au lecteur, sous une présentation et une typographie modernes, ces polycopiés des cours de G. Choquet qui marquèrent une révolution dans l'enseignement universitaire des mathématiques en France. Leur modernité étant loin de s'être émoussée, nous pensons qu'il est important de les mettre à la disposition des étudiants d'aujourd'hui, qui en retireront un bénéfice certain pour leur formation.

      Figurent dans la première partie de ce livre la plupart des polycopiés de ce cours, initialement publiés par le CDU, dans la collection «les cours de Sorbonne». Nous avons ajouté au cours classique de calcul différentiel et intégral (qui constitue les chapitres I à V) le cours du diplôme d'études supérieures «Topologie et théorie des fonctions». Ce sont les chapitres VI à VIII présentant des notions enseignées à l'époque au niveau du DEA : structures topologiques et uniformes avec application aux espaces de fonctions.

      Dans une seconde partie, nous avons repris les polycopiés de G. Choquet accompagnant ses cours à l'Ecole polytechnique et couvrant les chapitres d'Intégration et d'Analyse de Fourier (chapitres IX et X). Ces chapitres avaient été initialement publiés dans la collection «les cours de l'Ecole polytechnique».

      Ce livre constitue, au-delà de son intérêt historique, un document exceptionnel pour les étudiants d'aujourd'hui, en particulier pour ceux qui se destinent à l'enseignement des mathématiques. Pour les professeurs en exercice, étudiants d'hier ou d'avant-hier, il restera un ouvrage de référence.


  • Tables des matières
      • Mathématiques

      • Les cours à la Sorbonne

      • Les cours à l'Ecole polytechnique

      • Gustave Choquet

      • Ellipses

      • Première partie : les cours à la Sorbonne17
      • I. Algèbre des ensembles19
      • 1- Opération élémentaires. Ensemble des parties d'un ensemble. Produit d'ensembles19
      • 1-1. Notations19
      • 1-2. Opérations élémentaires20
      • 1-3. Propriétés des opérations élémentaires20
      • 1-4. Ensemble des parties d'un ensemble23
      • 1-5. Produit d'un nombre fini d'ensembles23
      • 2- Fonctions24
      • 2-1. Définition. Extension à B. Restriction. Graphe24
      • 2-2. Relation avec les opérations (...) et (...)24
      • 2-3. Application réciproque d'une application25
      • 2-4. Composition des fonctions25
      • 2-5. Applications biunivoques26
      • 2-6. Fonction caractéristique d'un ensemble26
      • 2-7. Notion d'une famille. Réunion, intersection, produit d'une famille d'ensembles26
      • 2-8. Recouvrement et partition d'un ensemble28
      • 3- Relations binaires fondamentales29
      • 3-1. Relations binaires29
      • 3-2. Relations d'équivalence29
      • 3-3. Relations d'ordre31
      • 4- Nombres cardinaux33
      • 4-1. Notions de puissance et de nombre cardinal. Théorème de Bernstein. Axiome du choix33
      • 4-2. Etude de quelques nombres cardinaux. Structure de la classe des nombres cardinaux34
      • Exercices38
      • Bibliographie42
      • II. Algèbre43
      • 1- Structures algébriques43
      • 1-1. Lois de composition internes sur un ensemble43
      • 1-2. Associativité44
      • 1-3. Eléments permutables. Commutativité45
      • 1-4. Eléments réguliers45
      • 1-5. Elément neutre. Eléments symétriques46
      • 1-6. Structures algébriques47
      • 1-7. Distributivité d'une loi par rapport à une autre48
      • 2- Groupes49
      • 2-1. Définitions et notations49
      • 2-2. Sous-groupes d'un groupe49
      • 2-3. Isomorphismes et automorphismes50
      • 2-4. Représentations51
      • 2-5. Relations d'équivalence et groupe quotient52
      • 2-6. Symétrisation d'une loi de composition associative commutative et régulière54
      • 2-7. Produit de groupes57
      • 2-8. Groupes de transformations57
      • 3- Anneaux59
      • 3-1. Définitions et exemples59
      • 3-2. Sous-anneaux61
      • 3-3. Relation d'équivalence sur un anneau. Idéaux (anneau quotient)61
      • 4- Corps64
      • 4-1. Définitions et exemples64
      • 4-2. Notations et règles de calcul dans les corps commutatifs et dans les corps totalement ordonnés66
      • 4-3. Sous-corps d'un corps67
      • 4-4. Idéaux d'un corps. Représentations d'un corps67
      • Exercices69
      • III. Nombres complexes et nombres réels73
      • 1- Introduction73
      • 1-1. Nécessité des extensions successives de l'ensemble des nombres73
      • 1-2. Ce que l'on demande à une extension74
      • 1-3. Schéma d'une extension74
      • 1-4. Qu'est-ce qu'un nombre ?75
      • 1-5. Les ensembles de nombres76
      • 2- L'ensemble N des entiers naturels77
      • 2-1. Définition de N77
      • 2-2. Raisonnement par récurrence78
      • 2-3. Propriétés de la structure d'ordre N79
      • 2-4. Ensembles finis80
      • 2-5. L'addition sur N82
      • 2-6. La multiplication sur N83
      • 3- Groupes commutatifs totalement ordonnés85
      • 3-1. Définitions et théorème d'unicité85
      • 3-2. Construction d'un groupe commutatif totalement ordonné continu89
      • 4- Corps commutatifs totalement ordonnés. Exponentielles et Logarithmes91
      • 4-1. Théorème d'existence et d'unicité91
      • 4-2. Le corps des nombres réels92
      • 4-3. Exponentielles et logarithmes93
      • 5- Le corps des nombres complexes95
      • 5-1. Recherche d'une définition satisfaisante de C95
      • 5-2. Définition et propriétés immédiates de C95
      • 5-3. Le plan complexe97
      • 5-4. Sous-groupes multiplicatifs de C. ; sous-anneaux98
      • 5-5. Fonctions trigonométriques98
      • 5-6. Le théorème de d'Alembert-gauss100
      • Exercices102
      • IV. Algèbre linéaire105
      • 1- Espaces vectoriels. Produit. Sous-espaces105
      • 1-1. Introduction105
      • 1-2. Définition des espaces vectoriels. Isomorphisme106
      • 1-3. Extension des opérations à B (E)107
      • 1-4. Produit d'espaces vectoriels108
      • 1-5. Sous-espaces vectoriels108
      • 1-6. Sous-espaces supplémentaires. Somme directe110
      • 2- Indépendance linéaire. Bases113
      • 2-1. Définition de l'indépendance linéaire113
      • 2-2. Base d'un espace114
      • 2-3. Base d'une somme directe. Rang d'un ensemble117
      • 3- Applications linéaires118
      • 3-1. Définition d'une application linéaire. Composition d'applications linéaires. Image et image réciproque de sous-espaces118
      • 3-2. Application linéaire dans une somme directe119
      • 3-3. Applications linéaires d'une somme directe119
      • 3-4. Rang d'une application linéaire119
      • 3-5. Image d'un système de générateurs120
      • 3-6. Espace L(E, F). Anneau L(E, E)121
      • 3-7. Espace dual d'un espace vectoriel122
      • 4- Equations linéaires124
      • 4-1. Définition d'une équation linéaire et d'un système d'équations linéaires124
      • 4-2. Forme des solutions d'une équation linéaire125
      • 4-3. Systèmes linéaires scalaires126
      • 5- Matrices128
      • 5-1. Définition d'une matrice128
      • 5-2. Matrice d'une application linéaire128
      • 5-3. Opérations sur les matrices128
      • 5-4. Matrices carrées130
      • 5-5. Changement de bases131
      • 5-6. Matrices équivalentes132
      • 5-7. Matrices carrées semblables133
      • 6- Déterminants134
      • 6-1. Applications multilinéaires134
      • 6-2. Déterminants135
      • 6-3. Déterminant du produit de deux matrices136
      • 6-4. Déterminant d'un endomorphisme136
      • 6-5. Condition d'indépendance de p vecteurs137
      • 6-6. Application des déterminants à la résolution des systèmes linéaires scalaires137
      • 7- Forme canonique d'une matrice carrée sur le corps C140
      • 7-1. Polynôme caractéristique. Vecteurs propres140
      • 7-2. Réduction d'une matrice à valeurs caractéristiques distinctes140
      • 7-3. Réduction d'une matrice quelconque141
      • 8- Algèbres145
      • 9- Notions de géométrie affine146
      • 9-1. Variétés linéaires affines. Parallélisme. Dimension146
      • 9-2. Variétés supplémentaires147
      • 9-3. Intersection de variétés. Indépendance affine147
      • 9-4. Applications affines148
      • 9-5. Graphe d'une application affine149
      • 9-6. Barycentres149
      • 9-7. Parties convexes d'un espace vectoriel sur le corps R150
      • 9-8. Cônes et cônes convexes d'un espace vectoriel sur R152
      • Exercices154
      • V. Equations différentielles163
      • 1- Equations numériques du 1er ordre à une inconnue163
      • 1-1. Enoncé du problème : interprétation géométrique163
      • 1-2. Solutions maximales164
      • 1-3. Unicité locale et unicité globale165
      • 1-4. Equation intégrale du problème de Cauchy166
      • 1-5. Méthodes des approximations successives167
      • 1-6. Méthode de Cauchy171
      • 1-7. Exemples de non unicité174
      • 1-8. Interprétation géométrique de la condition de Lipschitz175
      • 1-9. Comparaison d'intégrales176
      • 2- Equations vectorielles du 1er ordre178
      • 2-1. Enoncé du problème. Interprétation géométrique178
      • 2-2. Systèmes d'équations. Equations d'ordre n. Equations implicites178
      • 2-3. Tonneaux de sécurité180
      • 2-4. Solutions maximales. Unicité locale ou globale181
      • 2-5. Intégrale définie d'une fonction vectorielle. Primitive182
      • 2-6. Equation intégrale du problème de Cauchy. Méthode des approximations successives186
      • 2-7. Méthode de Cauchy189
      • 2-8. Interprétation des théorèmes d'existence et d'unicité pour une équation différentielle d'ordre n190
      • 2-9. Théorèmes de comparaison. Variation de l'intégrale en fonction des données191
      • 2-10. Champ d'éléments de contact. Courbes intégrales195
      • 3- Equations différentielles linéaires197
      • 3-1. Définition. Existence et unicité des solutions197
      • 3-2. Solutions d'une équation linéaire homogène198
      • 3-3. Etude du cas où E est une algèbre. Equations x' = A(t)x se résolvant par quadratures201
      • 3-4. Intégration de l'équation linéaire non homogène204
      • 3-5. Cas d'un espace de dimension finie206
      • 3-6. Cas où l'espace E est vectoriel sur le corps C208
      • 3-7. Equations linéaires homogènes à coefficients constants209
      • 3-8. Equations linéaires d'ordre n211
      • 4- Variation d'une intégrale en fonction des données215
      • 4-1. Comparaison de deux solutions au voisinage d'une solution commune215
      • 4-2. Notations et préliminaires au théorème sur la différentiabilité217
      • 4-3. Théorème fondamental. Equation aux variations218
      • 5- Intégrales premières224
      • 6- Equations aux différentielles totales226
      • 6-1. Définition. Exemples. Interprétation géométrique226
      • 6-2. Conditions d'existence et d'unicité des solutions. Restrictions d'une équation y' = f(x, y) à une variété linéaire affine228
      • 6-3. Champ d'éléments de contact232
      • Exercices234
      • VI. Structures Topologiques243
      • 1- Ouverts. Notions associées. Structures topologiques243
      • 2- Autres modes de définition d'une structure topologique246
      • 2-1. Fermés246
      • 2-2. Fermeture d'un ensemble246
      • 2-3. Voisinages247
      • 3- Points adhérents. Frontière d'un ensemble248
      • 4- Comparaison des topologies250
      • 5- Applications continues253
      • 6- Filtres255
      • 7- Ultrafiltres. Bases de filtres258
      • 8- Convergence des filtres. Limites. Espaces séparés. Espaces réguliers260
      • 9- Divers procédés de construction des topologies. Espaces produits264
      • 10- Espaces quotients269
      • 11- Espaces complets271
      • 12- Espaces localement compacts275
      • 13- Espaces connexes278
      • 14- Espaces localement connexes282
      • VII. Structures uniformes285
      • 1- Généralités285
      • 1-1. Espaces métriques285
      • 1-2. Groupes topologiques abéliens286
      • 2- Structures uniformes287
      • 3- Comparaison des structures uniformes289
      • 4- Structures uniformes séparées293
      • 5- Topologie associée à une structure uniforme294
      • 6- Espaces uniformes complets297
      • 7- Espaces uniformes compacts304
      • 8- Ecarts et structures uniformes308
      • 9- Espaces uniformisables. Fonctions semi-continues311
      • 10- Espaces métrisables. Espaces compacts métrisables315
      • 10-1. Espaces uniformes métrisables315
      • 10-2. Espaces topologiques métrisables315
      • 10-3. Espaces compacts métrisables317
      • 11- Espaces normaux. Prolongements de fonctions numériques continues dans un espace normal320
      • VIII. Espaces de fonctions323
      • 1- Structures uniformes dans les espaces de fonctions323
      • 1-1. Convergence uniforme dans un sous-ensemble323
      • 1-2. Convergence uniforme dans les ensembles d'une famille de parties de E324
      • 2- Caractérisation des espaces séparés et complets325
      • 3- Espaces de fonctions continues327
      • 4- Sous-espaces relativement compacts de Cc(E, F)328
      • 5- Approximation des fonctions continues sur un espace compact. Théorème de Stone-Weierstrass331
      • Seconde partie : les cours à l'Ecole polytechnique333
      • IX. Intégration335
      • 1- Mesures de Radon et intégrale de Riemann336
      • 2- Ensembles négligeables et fonctions intégrables339
      • 2-1. Ensembles Mu-négligeables339
      • 2-2. Notion de presque partout342
      • 2-3. La convergence en moyenne dans l'espace K343
      • 3- Espace L1 et espace L1348
      • 3-1. Relation d'équivalence dans L1349
      • 3-2. Semi-norme sur sup (fi) et sur L1350
      • 4- Relations entre convergence en moyenne et convergence presque partout352
      • 5- Ensembles intégrables. Ensembles et fonctions mesurables356
      • 5-1. Ensembles intégrables356
      • 5-2. Ensembles mesurables357
      • 5-3. Fonctions mesurables358
      • 5-4. Quasi-continuité des fonctions mesurables361
      • 5-5. Intégrale de fonctions mesurables ≥ 0363
      • 5-6. Intégration dans un ensemble mesurable364
      • 5-7. Seconde formule de la moyenne366
      • 5-8. Mode d'emploi de la 2e formule de la moyenne367
      • 6- Les espaces Lp et Lp368
      • 6-1. Terminologie368
      • 6-2. L'espace LInfini369
      • 6-3. Dual de L1370
      • 6-4. Dual de LInfini370
      • 6-5. Dual de Lp pour p > 1370
      • 6-6. Etude directe de L2371
      • 7- Intégrale de fonctions dépendant d'un paramètre373
      • 8- Intégrales semi-convergentes376
      • 8-1. Critère (à la Cauchy)376
      • 8-2. Critère d'Abel376
      • 8-3. Intégrales semi-convergentes dépendant d'un paramètre377
      • 9- Opérations sur les mesures380
      • 9-1. Produit d'une mesure par une fonction380
      • 9-2. Image d'une mesure par une application mesurable380
      • 9-3. Produit de deux mesures de Radon381
      • 9-4. Produit de n mesures382
      • 10- Théorème de Fubini384
      • 11- Changement de variable dans Rn387
      • 12- Mesures abstraites393
      • 12-1. Tribu de parties d'un ensemble393
      • 12-2. Usage des mesures abstraites395
      • Exercices résolus396
      • Exercices non résolus402
      • Bibliographie423
      • X. Analyse de Fourier425
      • 1- Convolution425
      • 1-1. Mesures de Radon bornées425
      • 1-2. Convolution sur un groupe localement compact427
      • 1-3. Convolution de mesures et de fonctions dans Rn429
      • 1-4. Application de la convolution à la régularisation432
      • 2- La transformation de Fourier436
      • 2-1. Introduction mathématique de la transformation de Fourier436
      • 2-2. Transformée de Fourier440
      • 2-3. Différentiabilité et comportement à l'infini des fonctions Mu441
      • 2-4. Formule de réciprocité de Fourier443
      • 2-5. La formule de Plancherel445
      • Exercices446

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 510 CHO

    Niveau 2 - Sciences