Les chaos en finance
Approche statistique
Dominique Guégan
Economica
1 Introduction1
2 Modèles paramétriques non linéaires11
2.1 Introduction11
2.2 La notion d'indice de non linéarité a-t-elle un sens ?11
2.3 Processus stochastiques non liné aires19
2.3.1 Les processus hétéroscédastiques asymétriques20
2.3.2 Les processus longue mémoire généralisés21
2.3.3 Les processus à changements d'états26
2.4 Systèmes déterministes chaotiques32
2.4.1 Quelle problématique ?32
2.4.2 Exemples de systèmes déterministes cha otiques35
2.4.3 Systèmes chaotiques bruités42
2.5 A propos de tests46
2.6 Repères bibliographiques50
3 Analyse non paramétrique des séries temporelles55
3.1 Introduction55
3.2 Estimation non paramétrique de la densité58
3.3 Estimation non paramétrique de la régression62
3.4 Estimation non paramétrique de la fonction chaotique63
3.4.1 Estimateur de Nadaraya-Watson64
3.4.2 Estimateur du mode conditionnel64
3.4.3 Estimateur construit à l'aide de la régression polynomiale65
3.4.4 Estimateur construit à l'aide des plus proches voisins66
3.4.5 Estimation par les fonction radiales67
3.4.6 Estimation par les réseaux de neurones68
3.4.7 Remarque70
3.5 A propos d'ondelettes71
3.6 Repères bibliographiques75
4 Présentation des systèmes dynamiques chaotiques81
4.1 Introduction81
4.2 Définitions et propriétés d'un système dynamique84
4.3 Systèmes déterministes chaotiques90
4.4 Les invariants d'un système déterministe chaotique98
4.4.1 Reconstruction de l'espace des phases99
4.4.2 Les exposants de Lyapunov103
4.4.3 Les dimensions109
4.5 Mesure invariante pour un système dynamique117
4.5.1 Opérateur de Frobénius-Perron118
4.5.2 Ergodicité, Mélangeance, Exactitude130
4.6 Les systèmes chaotiques sont-ils ma rkoviens ?140
4.6.1 Propriété de Markov140
4.6.2 Méthode du "coarse graining"141
4.6.3 Processus chaotiques markoviens145
4.7 Simulations et systèmes chaotiques147
4.8 Repères bibliographiques151
5 Problème inverse ou reconstruction d'une dynamique chaotique155
5.1 Introduction155
5.2 Estimation de la dimension de plongement159
5.2.1 Méthodes des retards160
5.2.2 Méthode non paramétrique du mode conditionnel162
5.3 Estimation de la fonction chaotique par la méthode des noyaux171
5.3.1 Introduction171
5.3.2 L'estimateur du régressogramme171
5.3.3 L'estimateur du mode conditionnel173
5.3.4 Estimation de (...) par les polynômes locaux175
5.3.5 Estimation de (...) par les plus proches voisins177
5.3.6 Reconstruction de (...) par les fonctions radiales182
5.3.7 L'approche prédictive184
5.4 Repères bibliographiques201
6 Estimation des invariants associés à un système dynamique chaotique207
6.1 Introduction207
6.2 Estimation de la mesure invariante208
6.2.1 Estimation par la méthode des noyaux208
6.2.2 Estimation récursive211
6.3 Estimation des exposants de Lyapunov215
6.4 Estimation de la dimension de corrélation221
6.5 Repères bibliographiques226
7 A propos des chaos bruités229
7.1 Introduction229
7.2 Quelle représentation pour un chaos bruité ?230
7.3 Débruitage d'un chaos237
7.3.1 Quelques rappels237
7.3.2 Débruitage par les ondelettes239
7.4 Mesure invariante associée à un chaos bruité250
7.4.1 Introduction250
7.4.2 Expression analytique de la mesure invariante de certains chaos bruités251
7.4.3 Estimation de la mesure invariante associée à un système chaotique bruité256
7.5 Estimation des dimensions267
7.5.1 Dimension de corrélation pour des processus stochastiques stationnaires267
7.5.2 Dimension de corrélation pour des systèmes chaotiques bruités269
7.6 Qu'en est-il des exposants de Lyapunov ?273
7.7 Repères bibliographiques275
8 Les systèmes chaotiques peuvent-ils être des processus à mémoire longue ?279
8.1 Introduction279
8.2 Mémoire courte ou mémoire lon gue ?281
8.2.1 Processus à mémoire courte284
8.2.2 Concept de mémoire longue293
8.3 Processus chaotiques à comportement de longue mémoire299
8.3.1 la fonction logistique301
8.3.2 L'application "Tent" généralisée303
8.3.3 L'application "Binary" généralisée306
8.3.4 Fonction de Hénon308
8.3.5 Le système de Rossler310
8.4 Conclusion312
8.5 Repères bibliographiques316
9 Distributions de valeurs extrêmes pour des systèmes chaotiques319
9.1 Introduction319
9.2 Théorie des valeurs extrêmes dans le cas indépendant321
9.3 Notions de dépendance326
9.3.1 Les conditions de type D(un)327
9.3.2 Définition de l'index extrême329
9.4 Théorie des valeurs extrêmes pour des processus stochastiques dépendants330
9.4.1 Processus stationnaires D(un)330
9.4.2 Processus vérifiant une équation aux différences finies331
9.4.3 Processus hétéroscédastiques333
9.4.4 Processus longue mémoire339
9.5 Valeurs extrêmes pour des processus chaotiques342
9.5.1 Famille d'applications "Tent" généralisée342
9.5.2 Maxima pour des chaos bruités347
9.5.3 Estimation de l'index extrême pour un processus chaotique bruité348
9.6 Calculs de risques351
9.6.1 Le risque en environnement univarié353
9.6.2 Le risque en environnement multivarié360
9.6.3 Méthodes d'estimation du paramètre de forme dans les distributions extrêmes380
9.7 Repères bibliographiques384
10 Appendice389
10.1 Preuves des théorèmes du chapitre V389
10.2 Preuves des théorèmes du chapitre VI402
10.2.1 Estimation de la mesure invariante402
10.2.2 Estimation des exposants de Lyapunov403