Promenade aléatoire : chaînes de Markov et simulations, martingales et stratégies

Auteur(s) :

Benaïm, Michel Découvrir l'auteur

Résumé

Introduction aux théories des processus de Markov et des martingales. Aborde les chaînes de Markov et leurs applications à la simulation (algorithme de Métropolis, Propp-Wilson, Recuit simulé). Traite de la notion d'espérance conditionnelle appliquée à l'étude des martingales à temps discret et aux problèmes d'arrêt optimal.

Autre(s) auteur(s)
- El Karoui, Nicole (1944-....)
Éditeur(s)
- les Éd. de l'École polytechnique
Date
- 2004
Notes
- Bibliogr. p. 305-308. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 312 p. : ill., couv. ill. en coul. ; 24 cm
Sujet(s)
ISBN
- 2-7302-1168-3
Indice
- 519 Probabilités et statistiques mathématiques
Tables des matières
- - Promenade aléatoire
  - Chaînes de Markov et simulations ; martingales et stratégies
  - Michel Benaïm et Nicole El Karoui
  - LES ÉDITIONS DE ÉCOLE POLYTECHNIQUE
  - I Modélisation markovienne 13
  - 1 Suites récurrentes aléatoires 17
  - 1.1 Suites récurrentes aléatoires 17
  - 1.2 Battre les cartes 18
  - 1.2.1 Oui, mais combien de fois ? 20
  - 1.3 Marches aléatoires sur Z^d21
  - 1.3.1 La constante de Polya 24
  - 1.4 Convolutions de Bernoulli 25
  - 1.4.1 Autosimilarité 29
  - 1.4.2 Propriétés fines 32
  - 1.4.3 Le problème d'Erdds 37
  - 1.5 Simulation de fractales 37
  - 2 Chaînes de Markov 41
  - 2.1 Matrices de transition et chaînes de Markov 41
  - 2.1.1 Équation de Chapman-Kolmogorov 46
  - 2.1.2 Probabilités invariantes 48
  - 2.1.3 Propriété de Markov 51
  - 2.2 Chaînes de Markov finies 54
  - 2.2.1 Existence des probabilités invariantes 54
  - 2.2.2 Irréductibilité et théorème ergodique presque sûr 55
  - 2.2.3 Apériodicité et convergence en loi 62
  - 2.2.4 Croissance de l'entropie 70
  - 2.3 Chaînes de Markov dénombrables 72
  - 2.3.1 Récurrence et transience 75
  - 2.3.2 Marches aléatoires 80
  - 2.3.3 Théorèmes modiques 85
  - 2.4 Noyaux et chaînes sur un espace quelconque 90
  - 2.4.1 Noyaux de transition 90
  - 2.4.2 Chaînes de Markov sur un espace quelconque 93
  - 3 Simulation par chaînes de Markov 95
  - 3.1 Méthode de Monte-Carlo 95
  - 3.1.1 Algorithme de Metropolis 96
  - 3.1.2 Simulation des lois de Gibbs 99
  - 3.1.3 Optimisation globale et recuit simulé 101
  - 3.1.4 Remarques sur les méthodes;de Monte-Carlo 106
  - 3.2 Simulation exacte : l'algorithme de Propp-Wilson 106
  - 3.2.1 Remarques sur l'algorithme de Propp et Wilson 108
  - 3.3 Vitesse 110
  - 3.3.1 Spectre des transitions réversibles 110
  - 3.3.2 Vitesse de convergence des noyaux réversibles 111
  - 3.3.3 Formes de Dirichlet, trou spectral et inégalités de Poincaré 113
  - 3.3.4 Application à la simulation des lois de Gibbs 117
  - II Martingales et temps d'arrêt 121
  - Martingales à temps discret 125
  - 4.1 Espérance conditionnelle 125
  - 4.1.1 Propriétés 128
  - 4.1.2 Exemples de calcul d'espérances conditionnelles 129
  - 4.2 Filtrations, processus et martingales 130
  - 4.2.1 Processus aléatoires 130
  - 4.2.2 Martingales à temps discret 132
  - 4.2.3 Propriétés des martingales 133
  - 4.3 Convergence des martingales de carré intégrable 136
  - 4.3.1 Inégalité de Doob 136
  - 4.3.2 Convergence des martingales dans L²138
  - 4.3.3 Loi des grands nombres 139
  - 4.4 Convergence : le cas général 141
  - 4.4.1 Loi du zéro-un 146
  - 4.4.2 Théorème ergodique pour les chaînes de Markov 146
  - 4.5 Inégalités et convergences : les preuves classiques 148
  - 4.5.1 Inégalités maximales 149
  - 4.5.2 Théorèmes de Convergence 151
  - 5 Quelques applications des martingales 153
  - 5.1 Processus de branchement 153
  - 5.1.1 Modélisation 154
  - 5.1.2 Vitesse de convergence 159
  - 5.1.3 Une martingale remarquable pour le branchement 161
  - 5.2 Urnes de Polya et économie 164
  - 5.3 Algorithmes d'approximation stochastique 169
  - 6 Stratégies, temps d'arrêt et optimisation 185
  - 6.1 Stratégies et temps d'arrêt 185
  - 6.1.1 La roulette 185
  - 6.1.2 Stratégies et martingales 188
  - 6.1.3 Temps d'arrêt 189
  - 6.2 Théorème d'arrêt et applications 191
  - 6.2.1 Théorème d'arrêt 191
  - 6.2.2 Applications du théorème d'arrêt 192
  - 6.2.3 N'espérez pas gagner au casino ! 196
  - 6.3 Martingales, temps d'arrêt et chaînes de Markov 197
  - 6.3.1 Martingales et chaînes de Markov 198
  - 6.3.2 Problèmes de Cauchy et de Dirichlet pour les chaînes de Markov dénombrables 205
  - 6.4 Arrêt optimal 210
  - 6.4.1 Mathématiques, mariage ou comment choisir ? 210
  - 6.4.2 Arrêt optimal en horizon fini 212
  - 6.4.3 Arrêt optimal en horizon infini 216
  - 7 Introduction à la finance des produits dérivés 219
  - 7.1 Évaluation et couverture dans un modèle à une période 220
  - 7.1.1 Un modèle simplifié à une période 221
  - 7.1.2 Absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) 223
  - 7.2 Un modèle d'arbre binomial à N périodes 232
  - 7.2.1 Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 233
  - 7.2.2 Portefeuille autofinançant 234
  - 7.2.3 Évaluation et couverture 238
  - 7.3 Options américaines et arrêt optimal 245
  - 7.3.1 Étude du problème d'arrêt optimal 246
  - 7.3.2 Étude de la couverture 247
  - 7.4 Les modèles "asymptotiques" 248
  - 7.4.1 La formule de Black et Scholes 249
  - 7.4.2 Le mouvement brownien 252
  - 7.5 Quelques problèmes numériques 255
  - 7.5.1 Un phénomène d'oscillation étrange 255
  - III Appendice 259
  - 8 Probabilités et théorie de l'intégration 261
  - 8.1 Tribus, variables aléatoires et lois de probabilité 261
  - 8.1.1 Tribus 261
  - 8.1.2 Tribu engendrée 262
  - 8.1.3 Variables aléatoires et applications mesurables 263
  - 8.1.4 Mesures, probabilités et lois 269
  - 8.2 Intégrales et espérances 274
  - 8.2.1 Intégrale des fonctions positives 274
  - 8.2.2 Intégrale des fonctions de signe quelconque 276
  - 8.2.3 Continuité et dérivabilité sous le signe ... 279
  - 8.2.4 Le théorème du transport 280
  - 8.2.5 La formule de changement de variable 281
  - 8.2.6 Le théorème de F ubini 282
  - 8.3. Inégalités et espaces Lp284
  - 8.3.1 Inégalités de Jensen, Markov et Chebyshev 284
  - 8.3.2 Espaces Lp285
  - 8.4 Indépendance 286
  - 8.4.1 Événements indépendants 287
  - 8.4.2 Tribus indépendantes 287
  - 8.4.3 Variables aléatoires indépendantes 288
  - 8.5 Convergences des variables aléatoires 288
  - 8.5.1 Convergence presque sûre, en probabilité, et dans Lp289
  - 8.6 Convergence en loi 295
  - 8.6.1 Exemples et définition 295
  - 8.6.2 Le théorème de Prohorov 300
  - 8.6.3 Convergence étroite et fonctions caractéristiques 302
Origine de la notice:
- BNF