par Henrot, Antoine
Springer
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Disponible - 519.8 HEN
Niveau 2 - Sciences
Variation et optimisation de formes : une analyse géométrique : avec 29 figures
Résumé
Initiation aux approches modernes de l'optimisation mathématique de formes. Développe la méthodologie et les outils d'analyse mathématiques et de géométrie nécessaires à l'étude des variations de domaines. Présente notamment une étude systématique des questions géométriques associées à l'opérateur de Laplace, de la capacité classique et de la dérivation par rapport à une forme.
- Autre(s) auteur(s)
- Éditeur(s)
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Date
- 2005
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Notes
- Index
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Langues
- Français
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Description matérielle
- XII-333 p. ; 24 x 16 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 3-540-26211-3
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Indice
- 519.8 Mathématiques appliquées, physique mathématique
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Tables des matières
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Variation et optimisation de formes
Une analyse géométrique
Antoine Henrot
Michel Pierre
Springer
- 1 Introduction, Exemples1
- 1.1 Introduction1
- 1.2 Quelques exemples académiques3
- 1.2.1 Problèmes isopérimétriques3
- 1.2.2 Surfaces minimales et surfaces capillaires5
- 1.2.3 Problèmes de valeurs propres6
- 1.3 Exemples plus appliqués12
- 1.3.1 Formage électromagnétique d'un jet de métal liquide12
- 1.3.2 Optimisation d'un aimant14
- 1.3.3 Segmentation d'images15
- 1.3.4 Identification de fissures ou de défauts16
- 1.3.5 Problèmes de renforcement ou d'isolation17
- 1.3.6 Mélange de matériaux et optimisation de structures19
- 1.3.7 Exemples en aéronautique21
- 2 Topologies sur les domaines de (...)23
- 2.1 Pourquoi une topologie ?23
- 2.2 Différentes topologies sur les domaines24
- 2.2.1 Introduction24
- 2.2.2 La convergence des fonctions caractéristiques25
- 2.2.3 La convergence des ouverts au sens de Hausdorff28
- 2.2.4 La convergence au sens des compacts35
- 2.2.5 Lien entre ces différentes notions de convergence36
- 2.2.6 Résultats de compacité39
- 2.3 Suites d'ensembles à périmètre borné44
- 2.3.1 Définition du périmètre, propriétés44
- 2.3.2 Continuité, compacité47
- 2.4 Suites d'ouverts uniformément réguliers50
- Exercices58
- 3 Continuité par rapport au domaine61
- 3.1 Le problème de Dirichlet62
- 3.1.1 L'espace (...) et son dual H-162
- 3.1.2 « Lip (...) H1 »67
- 3.1.3 L'inégalité de Poincaré70
- 3.1.4 Le problème de Dirichlet pour le Laplacien73
- 3.2 Continuité pour le problème de Dirichlet74
- 3.2.1 Position du problème74
- 3.2.2 Premières propriétés75
- 3.2.3 Indépendance par rapport à f77
- 3.2.4 Suites croissantes78
- 3.2.5 Le cas de la dimension 179
- 3.2.6 Contre-exemples à la continuité en dimension 280
- 3.2.7 Suite d'ouverts uniformément lipschitziens82
- 3.3 Capacité associée à la norme H185
- 3.3.1 Définition(s) et propriétés85
- 3.3.2 Capacité relative et potentiel capacitaire89
- 3.3.3 Quelques exemples de calculs de capacité93
- 3.3.4 Quasi-continuité, quasi-ouverts97
- 3.3.5 Une nouvelle définition de (...)(omega)103
- 3.4 Retour au problème de Dirichlet105
- 3.4.1 Perturbation locale106
- 3.4.2 Convergence compacte et ouverts stables106
- 3.4.3 Contraintes de type capacitaire108
- 3.5 La lambda-convergence112
- 3.5.1 Définition112
- 3.5.2 Lien avec la convergence au sens de Mosco113
- 3.5.3 D'autres opérateurs associés à la (...)lambda-convergence115
- 3.5.4 Remarques pour les opérateurs non-linéaires116
- 3.6 Estimations quantitatives117
- 3.7 Continuité pour le problème de Neumann118
- 3.7.1 Introduction118
- 3.7.2 Le résultat de convergence120
- 3.7.3 D'autres résultats de convergence121
- 3.7.4 lambda-convergence et condition de Neumann124
- 3.8 L'opérateur bi-Laplacien126
- 3.8.1 Capacité H2127
- 3.8.2 Etude de la continuité par rapport au domaine128
- Exercices130
- 4 Existence de formes optimales133
- 4.1 Quelques problèmes géométriques133
- 4.1.1 Problèmes isopérimétriques133
- 4.1.2 Une extension135
- 4.1.3 Surfaces capillaires135
- 4.2 Exemples de non-existence137
- 4.3 Régularité uniforme des formes admissibles144
- 4.4 Contraintes de type capacitaire146
- 4.5 Minimisation de l'énergie de Dirichlet147
- 4.6 L'effet de contraintes sur le périmètre154
- 4.7 Monotonie de la fonctionnelle157
- Exercices165
- 5 Dérivation par rapport au domaine167
- 5.1 Introduction167
- 5.2 Intégrales sur un domaine variable169
- 5.2.1 Introduction169
- 5.2.2 Notations170
- 5.2.3 La formule de dérivation172
- 5.2.4 Les démonstrations173
- 5.2.5 Dérivation sur un intervalle et premières applications176
- 5.3 Un problème modèle178
- 5.3.1 Présentation du problème178
- 5.3.2 Un calcul formel179
- 5.3.3 Les deux énoncés principaux180
- 5.3.4 Les démonstrations181
- 5.3.5 Dérivabilité d'ordre supérieur185
- 5.3.6 Dérivabilité dans des espaces réguliers186
- 5.4 Intégrales sur un bord variable188
- 5.4.1 Intégrales de bord : définitions et propriétés188
- 5.4.2 Un premier énoncé191
- 5.4.3 Un peu de géométrie différentielle192
- 5.4.4 Extension de la normale à un domaine variable197
- 5.4.5 Une formule générale de dérivation au bord199
- 5.5 Dérivation du problème de Neumann202
- 5.6 Comment dériver les problèmes aux limites206
- 5.7 Dérivation d'une valeur propre simple207
- 5.8 Utilisation de l'état adjoint212
- 5.9 Structure des dérivées de forme216
- 5.9.1 Introduction et notations216
- 5.9.2 Un premier résultat de structure217
- 5.9.3 Exemples de dérivées 1ères de forme218
- 5.9.4 Le théorème de structure et ses corollaires220
- 5.9.5 Les démonstrations222
- 5.9.6 Exemples de calculs de dérivées secondes225
- 5.9.7 Trois remarques finales228
- 5.9.8 Conclusion229
- Exercices230
- 6 Propriétés géométriques de l'optimum233
- 6.1 Symétrie233
- 6.1.1 Introduction233
- 6.1.2 Utiliser la symétrisation de Steiner235
- 6.1.3 Utilisation des conditions d'optimalité et du principe du maximum240
- 6.1.4 Utilisation d'un autre problème d'optimisation de forme243
- 6.1.5 Un cas de non symétrie : le problème de Newton247
- 6.2 Convexité249
- 6.2.1 Introduction249
- 6.2.2 Comparaison avec l'enveloppe convexe251
- 6.2.3 Courbure positive254
- 6.3 Caractère étoilé256
- 6.3.1 Utilisation de sous-solutions et sur-solutions256
- 6.3.2 Utilisation de réarrangement étoilé258
- 6.4 Autres propriétés géométrico-topologiques262
- 6.4.1 Connexité262
- 6.4.2 Propriété géométrique de la normale267
- 6.4.3 Autres propriétés en lien avec un domaine fixé269
- 7 Relaxation, homogénéisation271
- 7.1 Introduction271
- 7.1.1 La Gamma-convergence272
- 7.1.2 La G-convergence274
- 7.2 Relaxation pour le problème de Dirichlet277
- 7.2.1 Introduction277
- 7.2.2 Complétion pour la lambda-convergence278
- 7.2.3 Un autre exemple287
- 7.3 Relaxation par homogénéisation299
- 7.3.1 Présentation du problème299
- 7.3.2 Relaxation301
- 7.3.3 Conditions d'optimalité303
- 7.3.4 Un exemple d'application308
- Références313
- Index des notes bibliographiques327
- Index général329
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Origine de la notice:
- Electre
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Disponible - 519.8 HEN
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