Intégrales curvilignes et de surfaces
Maurice Lofficial/Daniel Tanré
Ellipses
I Calcul Différentiel dans Rn
15
I.1 Différentiabilité15
I.2 Matrice Jacobienne18
I.3 Continuité, différentiabilité et dérivées partielles21
I.4 Applications à différentielle nulle22
I.5 Difféomorphisme ou Changement de variables25
I.6 Exemples de changement de variables28
I.7 Fonctions de classe Cp30
I.8 Formules de Taylor34
I.9 Exercices avec solutions37
I.10 Exercices supplémentaires42
II Surfaces
49
II.1 Surfaces paramétrées49
II.2 Exemples de Surfaces paramétrées52
II.3 Surfaces de niveau56
II.4 Plan tangent à une surface59
II.4.1. Plan tangent au graphe d'une fonction59
II.4.2. Plan tangent à une surface paramétrée60
II.4.3. Plan tangent à une surface de niveau63
II.5 Extremum local. Extremum lié65
II.6 Surface paramétrée régulière70
II.7 Exercices avec solutions73
II.8 Exercices supplémentaires77
III Théorie de l'intégration
81
III.1 Intégrale sur un pavé81
III.2 Parties R-mesurables de Rp84
III.3 Intégrale sur une partie R-mesurable86
III.4 Théorème de Fubini87
IV Calcul d'intégrales multiples
89
IV.1 Intégrales itérées89
IV.2 Changement de variables91
IV.3 Exemples de changement de variables93
IV.4 Centre d'inertie94
IV.5 Moments d'inertie97
IV.6 Exercices avec solutions99
IV.7 Exercices supplémentaires104
V Champs de vecteurs et formes différentielles
109
V.1 Champs de vecteurs et Champs scalaires109
V.2 Analyse vectorielle111
V.3 Formes différentielles112
V.4 Champs et formes différentielles114
V.5 Opérateur cobord et analyse vectorielle115
V.6 Coordonnées curvilignes orthogonales117
V.7 Coordonnées curvilignes orthogonales et analyse vectorielle120
V.8 Exercices avec solutions122
V.9 Exercices supplémentaires127
VI Intégrales curvilignes
131
VI.1 Longueur d'un chemin131
VI.2 Abscisse curviligne133
VI.3 Centre d'inertie134
VI.4 Moments d'inertie136
VI.5 Longueur d'une courbe tracée sur une surface136
VI.6 Intégrale d'une 1-forme. Circulation d'un champ de vecteurs138
VI.7 Changement de variables140
VI.8 Forme différentielle exacte. Champ de gradient141
VI.9 Exercices avec solutions143
VI.10 Exercices supplémentaires147
VII Intégrales de surface
149
VII.1 Aire d'une surface149
VII.2 Théorème de Guldin152
VII.3 Centre d'inertie154
VII.4 Moments d'inertie156
VII.5 Intégrale d'une 2-forme. Flux d'un champ de vecteurs157
VII.6 Changement de variables159
VII.7 Un exemple de flux : l'angle solide160
VII.8 Exercices avec solutions162
VII.9 Exercices supplémentaires167
VIII Théorème de Stokes
169
VIII.1 Formule de Green-Riemann169
VIII.2 Formule d'Ostrogradsky172
VIII.3 Formule de Stokes176
VIII.4 Équation de continuité en Mécanique des fluides178
VIII.5 Équations de Maxwell179
VIII.6 Forme différentielle exacte et forme différentielle fermée181
VIII.7 Exercices avec solutions185
VIII.8 Exercices supplémentaires191
A Topologie de Rn
193
A.1 Norme euclidienne et Produit scalaire193
A.2 Ouvert. Fermé. Adhérence195
A.3 Applications de Rn dans Rp196
A.4 Produit vectoriel et produit mixte200
Index
203
Bibliographie
207