Les maths en physique
La physique à travers le filtre des mathématiques avec éléments d'analyse numérique
Cours et applications
Jean-Pierre Provost
Gérard Vallée
Dunod
Liste des abréviations
vi
Table des sujets de physique
vii
Avant-propos
xi
1 Nombres réels; grandeurs physiques; dimensions1
1.1 Grandeurs physiques; continuité; paramétrages additifs1
1.1.1 Survol «physique» des ensembles N, Z, Q, R1
1.1.2 Paramétrage additif des lois de composition; logarithmes4
1.1.3 Fonction et notation exponentielles; applications6
1.1.4 Mesure additive du désordre microscopique; grands nombres et entropie8
1.2 Caractère algébrique des grandeurs physiques10
1.2.1 Pensée «naïve» et pensée algébrique10
1.2.2 Conventions et lois de l'électricité12
1.3 Grandeurs physiques et dimensions15
1.3.1 Changements d'unités et invariance des lois physiques15
1.3.2 Applications et limites de l'analyse dimensionnelle
18
2 Nombres et notation complexes; plan euclidien21
2.1 Calculs avec les nombres complexes21
2.1.1 Règles de calcul; exponentielle imaginaire; fonctions complexes21
2.1.2 «Théorème fondamental de l'algèbre» et applications24
2.2 Plan complexe et transformations associées25
2.2.1 Plan complexe et plan cartésien; produit scalaire; aire25
2.2.2 Transformations dans le plan complexe27
2.3 Etude de courbes et de mouvements plans31
2.3.1 Mouvements et courbes en coordonnées polaires31
2.3.2 Coniques en coordonnées polaires et cartésiennes; foyers32
2.3.3 Mouvement de Kepler36
2.3.4 Mouvement harmonique; vecteurs tournants37
2.4 Notation complexe en physique classique38
2.4.1 Signaux réels et complexes38
2.4.2 Systèmes entrée-sortie; fonctions de transfert et impédances40
2.4.3 Signaux modulés ou quasi-monochromatiques41
2.5 Applications à l'optique ondulatoire42
2.5.1 Interférences42
2.5.2 Diffraction en lumière monochromatique44
2.5.3 Polarisations
46
3 Espace; symétries; calcul vectoriel
51
3.1 Symétrie, invariance et relativité52
3.1.1 Groupes de symétrie et invariance52
3.1.2 Le groupe de symétrie de la physique53
3.1.3 Symétries spatiales (présentation «expérimentale»)55
3.1.4 Transformation des grandeurs et des champs physiques60
3.2 Calcul vectoriel; applications61
3.2.1 Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte; pseudovecteurs61
3.2.2 Equations de plans; fréquences spatiales; réseaux64
3.2.3 Différentielles de chemins; effet Doppler; lois de Descartes66
3.2.4 Vecteurs surface; flux de grandeurs69
3.2.5 Sphère, angle solide et applications71
3.2.6 Géométrie sphérique; notion de transport parallèle74
3.3 Vecteurs tournants; mécanique du solide76
3.3.1 Vecteurs tournants; changements de référentiels76
3.3.2 Référentiel du centre de masse78
3.3.3 Cinématique et dynamique d'un corps solide80
3.4 Systèmes physiques possédant des symétries83
3.4.1 Schéma général; principe de Curie83
3.4.2 Symétries de translation; lois de Descartes et généralisations84
3.4.3 Symétries de rotation et symétries discrètes; applications en électromagnétisme et en acoustique
85
4 Calcul et physique linéaires87
4.1 Espaces vectoriels87
4.1.1 Définitions; changements de bases; applications linéaires87
4.1.2 Structures métriques; fonctions orthonormées90
4.1.3 Formes quadratiques; volume91
4.2 Calcul matriciel95
4.2.1 Bases du calcul matriciel; lien avec le calcul vectoriel95
4.2.2 Spectre d'une matrice n x n; vecteurs propres97
4.2.3 Matrices particulières99
4.2.4 Exponentielles de matrices; groupe des rotations101
4.3 Applications en physique classique104
4.3.1 Déformations et contraintes104
4.3.2 Optique matricielle des systèmes centrés108
4.3.3 Relativité d'Einstein et quadrivecteurs112
4.4 Physique quantique et espaces vectoriels118
4.4.1 Cadre général118
4.4.2 Dynamique des systèmes à deux états; transitions quantiques120
4.4.3 Fonctions d'ondes; oscillateur harmonique; champ électromagnétique
124
5 Fonctions d'une variable; analyse des signaux131
5.1 Savoir-faire concernant les fonctions132
5.1.1 Graphe et informations sur une fonction132
5.1.2 Dérivation, développements limités: principaux résultats135
5.1.3 Intégration; cas des fonctions piquées ou rapidement oscillantes137
5.1.4 Concavité de l'entropie et thermodynamique139
5.2 Opérations sur les fonctions; analyse de Dirac143
5.2.1 Opérations sur les fonctions143
5.2.2 Impulsion de Dirac («fonction delta»)145
5.2.3 Analyse de Dirac; réponse impulsionnelle; convolution; filtrage148
5.3 Transformation de Fourier; analyse de Fourier149
5.3.1 Décomposition de Fourier; spectre d'un signal; formule de Poisson150
5.3.2 Propriétés: dualité temps fréquence; transformée de Laplace152
5.3.3 Signaux stationnaires; signaux chaotiques; langage probabiliste156
5.4 Optique de Fourier; filtrage optique159
5.4.1 Décomposition en ondes planes; filtrage159
5.4.2 Illustrations optiques de la transformée de Fourier
161
6 Equations différentielles; systèmes dynamiques
165
6.1 Systèmes dynamiques et espace de phase166
6.1.1 Définitions; propriétés générales166
6.1.2 Exemples de systèmes dynamiques et de leurs portraits de phase169
6.2 Equations linéaires stationnaires; modes propres; stabilité173
6.2.1 Equations du premier et du second ordre sans et avec second membre173
6.2.2 Cas général; modes propres; oscillateurs couplés176
6.2.3 Stabilité et instabilité d'un système dynamique linéaire stationnaire179
6.3 Equations vectorielles classiques181
6.4 Equations différentielles linéaires à coefficients variables186
6.4.1 Exemples; matrices de transfert186
6.4.2 Ondes stationnaires; états liés; quantification189
6.4.3 Ondes propagatives; réflexion, transmission, adaptation d'impédance190
6.4.4 Equations avec paramètres périodiques; théorème de Floquet-Bloch192
6.4.5 Equations d'amplitude; approximation adiabatique194
6.5 Oscillateurs non linéaires196
6.5.1 Oscillateurs linéairement stables faiblement non linéaires196
6.5.2 Oscillateurs linéairement instables; exemple de Van der Pol; généralisation
199
7 Fonctions de plusieurs variables; analyse vectorielle
203
7.1 Calcul différentiel203
7.1.1 Développement de Taylor; différentielles; extremum203
7.1.2 Dérivées spatiales de champs scalaires et vectoriels207
7.1.3 Dérivées temporelles et applications hydrodynamiques211
7.1.4 Changements de variables213
7.2 Calcul intégral215
7.2.1 Intégration à n dimensions; jacobien; cas des grandes dimensions215
7.2.2 Formes différentielles; formules de Stokes et Ostrogradski218
7.2.3 Analyse vectorielle; frontières et champs dépendant du temps223
7.2.4 Bilans de grandeurs; applications aux milieux continus226
7.3 Applications à la mécanique et à l'optique géométrique230
7.3.1 Mécanique et fonctions énergie potentielle230
7.3.2 Optique géométrique; caustiques et problèmes d'extremum233
7.4 Applications à la thermodynamique237
7.4.1 Equations d'état; entropie; changements de phase238
7.4.2 Potentiels thermodynamiques et équilibres241
7.5 Applications à l'électromagnétisme244
7.5.1 Formulation intégrale; champs statiques; milieux244
7.5.2 Potentiel scalaire et potentiel vecteur; bilans d'énergie et de quantité de mouvement247
7.5.3 Calculs avec des densités microscopiques; rayonnement
249
8 Equations aux dérivées partielles; propagation; diffusion
253
8.1 Chaines de systèmes dynamiques couplés; limite continue253
8.1.1 Chaines d'oscillateurs; rôle des conditions aux limites254
8.1.2 Limite continue; cordes vibrantes; lignes électriques; hydrodynamique256
8.2 Solutions de quelques EDP dynamiques261
8.2.1 EDP linéaires à coefficients constants et solutions ondes planes261
8.2.2 Equations de diffusion et de propagation; fonctions de Green; ondes stationnaires267
8.2.3 Exemples d'EDP liées à une loi de conservation272
8.2.4 Exemples d'EDP non linéaires; ondes solitaires273
8.3 E.D.P. «spatiales» impliquant l'opérateur laplacien274
8.3.1 Exemples et analogies; conditions aux limites274
8.3.2 Unicité des solutions; identité de Green; séparation des variables276
8.3.3 Equation de Laplace Deltaf = 0 dans le plan et fonctions d'une variable complexe
279
9 Principes variationnels
283
9.1 Exemples historiques; principes de Lagrange et de Hamilton283
9.2 Principes d'extremum et généralisation des mouvements inertiels287
9.3 Equations d'Euler-Lagrange; lois de conservation et symétries290
9.4 Applications: électromagnétisme, gravitation, quantique292
9.5 Principes variationnels et géométrie
296
10 Probabilités; processus aléatoires
299
10.1 Langage des probabilités299
10.1.1 Grandeurs aléatoires et raisonnements logiques; conditionnement300
10.1.2 Probabilités; lois de probabilité301
10.1.3 Grandeurs moyennes; moments; corrélations306
10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique307
10.2.1 Théorème de la limite centrale et lois gaussiennes307
10.2.2 Loi binomiale et loi de Poisson309
10.2.3 Loi de Boltzmann; généralisations; réponse linéaire et fluctuations311
10.2.4 Estimation et lois de khi2 (khi-deux)314
10.3 Processus aléatoires316
10.3.1 Marche aléatoire et processus de diffusion316
10.3.2 Processus de Markov; probabilités de transition; bilan détaillé318
10.3.3 Processus stationnaires; théorème de Wiener-Khintchine; ergodicité
320
11 Analyse numérique; physique discrète
323
11.1 Discrétisation324
11.1.1 Représentation des nombres; erreurs; stabilité numérique324
11.1.2 Dérivation et intégration; extrapolation de Richardson326
11.1.3 Nombres aléatoires; méthode de Monte-Carlo327
11.2 Résolution numérique d'ED et d'EDP328
11.2.1 Systèmes dynamiques; schémas d'Euler et de Runge Kutta328
11.2.2 Equations différentielles avec conditions aux limites330
11.2.3 E.D.P. avec conditions initiales331
11.3 Approximation de fonctions; interpolation; moindres carrés334
11.3.1 Approximations polynomiales334
11.3.2 Interpolation de Lagrange et par «cubic-splines»337
11.3.3 Méthode des moindres carrés339
11.4 Equations linéaires341
11.4.1 Méthodes spectrales; éléments finis341
11.4.2 Résolution d'un système d'équations linéaires344
11.5 Recherche de minima348
11.5.1 Méthodes utilisant le gradient348
11.5.2 Autres méthodes
350
Index
353