par Flon, Stéphane
Ellipses
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Disponible - 510 FLO
Niveau 2 - Sciences
Résumé
L'essentiel des notions communes aux trois filières de la première année de classe préparatoire, avec des rappels de cours, des conseils méthodologiques avec des exemples, des exercices corrigés, issus de sujets de concours.
- Éditeur(s)
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Date
- DL 2011
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (VII-419 p.) : graph., couv. en coul. ; 24 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-7298-6319-7
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Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
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Quatrième de couverture
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Vous savez votre cours, mais vous n'arrivez pas à l'appliquer.
Vous séchez devant les énoncés tandis que vous avez passé beaucoup de temps à réviser.
Vous avez des difficultés à proposer des pistes en colle.
Riches de nombreuses méthodes et d'exercices de difficulté progressive (issus des concours ou choisis pour leur intérêt pédagogique), Les Recettes de SUP vous permettront d'avoir les idées claires pour passer du cours aux exercices.
Bonne lecture et bon courage.
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Tables des matières
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Mathématiques
MPSI / PCSI / PTSI
Stéphane Flon
Ellipses
- 1 Nombres complexes1
- 1.1 Choisir une représentation d'un nombre complexe1
- 1.1.1 La représentation neutre1
- 1.1.2 La représentation algébrique2
- 1.1.3 La représentation trigonométrique2
- 1.1.4 La représentation géométrique4
- 1.2 Résoudre une équation algébrique simple5
- 1.2.1 Trouver une racine carrée sous forme algébrique5
- 1.2.2 Résoudre une équation du second degré5
- 1.2.3 Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe6
- 1.3 Retrouver des formules de trigonométrie7
- 1.3.1 Retrouver les formules élémentaires7
- 1.3.2 Linéariser une expression polynomiale trigonométrique8
- 1.3.3 Opération « inverse » de la linéarisation8
- 1.3.4 Simplifier une somme trigonométrique9
- 1.4 Exercices10
- 1.4.1 Entraînement10
- 1.4.2 Perfectionnement15
- 2 Fonctions usuelles21
- 2.1 Montrer une formule21
- 2.2 Simplifier une expression ou résoudre une équation22
- 2.3 Vérifier une relation23
- 2.4 Exercices25
- 2.4.1 Entraînement25
- 2.4.2 Perfectionnement27
- 2.5 Problème : formules pour tangente et arctangente32
- 3 Géométrie dans le plan ou l'espace37
- 3.1 Applications multilinéaires classiques dans le plan ou l'espace37
- 3.2 Déterminer une équation d'un sous-espace affine39
- 3.3 D'une équation cartésienne à une équation paramétrique40
- 3.4 Calcul de distance, de perpendiculaire commune42
- 3.5 Déterminer un lieu43
- 3.6 Exercices46
- 3.6.1 Entraînement46
- 3.6.2 Perfectionnement51
- 3.7 Problème : inversion et points rationnels sur un cercle57
- 4 Équations différentielles63
- 4.1 Résolution d'une équation différentielle standard63
- 4.1.1 Définir un plan d'étude63
- 4.1.2 Résolution de l'équation homogène associée65
- 4.1.3 Recherche d'une solution particulière66
- 4.2 Problème de raccord dans le cas du premier ordre70
- 4.3 Se ramener à une équation différentielle72
- 4.4 Exercices74
- 4.4.1 Entraînement74
- 4.4.2 Perfectionnement80
- 4.5 Problème : d'une solution à une solution paire ou impaire84
- 5 Structures algébriques, arithmétique89
- 5.1 Utiliser la notion de sous-structure89
- 5.2 Utiliser la notion de morphisme91
- 5.3 Étudier une isomorphie93
- 5.4 Étude de la structure de groupe94
- 5.4.1 Déterminer si un groupe est abélien94
- 5.4.2 Calculer dans un groupe95
- 5.5 Étudier la structure d'anneau96
- 5.5.1 Calculer dans un anneau96
- 5.5.2 Éléments simplifiables et diviseurs de zéro97
- 5.6 Calculer dans un corps97
- 5.7 Arithmétique97
- 5.7.1 Déterminer si un nombre est premier97
- 5.7.2 Étudier une divisibilité98
- 5.7.3 PGCD, relation de Bézout, nombres premiers entre eux98
- 5.7.4 Calculer un PPCM99
- 5.8 Exercices101
- 5.8.1 Entraînement101
- 5.8.2 Perfectionnement106
- 6 Suites115
- 6.1 Quelles questions se poser sur une suite ?115
- 6.1.1 La suite est-elle majorée, minorée, bornée ?115
- 6.1.2 La suite est-elle monotone ?116
- 6.2 Comment montrer qu'une suite admet une limite ?117
- 6.2.1 Tout en déterminant sa limite117
- 6.2.2 Sans déterminer sa limite118
- 6.2.3 Lorsqu'on a une idée de sa limite119
- 6.3 Montrer qu'une suite n'admet pas de limite119
- 6.4 Comparaison locale120
- 6.4.1 Les notations120
- 6.4.2 L'équivalence et la somme120
- 6.4.3 Composition et relations de comparaison120
- 6.5 Trois manières de revenir à la définition de la convergence121
- 6.6 Quelques techniques ad hoc122
- 6.7 Suite récurrente124
- 6.7.1 Montrer que (un)n(...) est bien définie124
- 6.7.2 Préparer l'étude124
- 6.7.3 Étudier la monotonie de (un)n(...)125
- 6.7.4 Déterminer un intervalle d'étude125
- 6.8 Exercices127
- 6.8.1 Entraînement127
- 6.8.2 Perfectionnement135
- 6.9 Problème : étude d'une suite récurrente139
- 7 Fonctions réelles d'une variable réelle145
- 7.1 Stabilité des propriétés rencontrées145
- 7.2 Problème de limite149
- 7.2.1 Montrer l'existence d'une limite tout en la calculant149
- 7.2.2 Montrer l'existence d'une limite sans la calculer150
- 7.2.3 Montrer qu'une fonction n'admet pas de limite150
- 7.2.4 Étudier une continuité ponctuelle151
- 7.2.5 Étudier une dérivabilité ponctuelle151
- 7.3 Extension d'un résultat par continuité153
- 7.4 Parties stables par image continue153
- 7.5 Étudier l'uniforme continuité, le caractère lipschitzien154
- 7.6 Dériver sur un intervalle155
- 7.6.1 Calculer une dérivée155
- 7.6.2 Calculer une dérivée n-ième156
- 7.7 Utiliser la dérivation sur un intervalle157
- 7.8 Montrer qu'une fonction est de classe C1158
- 7.9 Chercher et exploiter les extrémums d'une fonction160
- 7.10 Recherche de zéros ou de points fixes d'une fonction160
- 7.11 Étudier une équation fonctionnelle161
- 7.12 Convexité163
- 7.13 Exercices sur la continuité165
- 7.13.1 Entraînement165
- 7.13.2 Perfectionnement169
- 7.14 Exercices sur la dérivation174
- 7.14.1 Entraînement174
- 7.14.2 Perfectionnement180
- 7.15 Quelques résultats sur l'uniforme continuité184
- 7.16 Problème : taux d'accroissement d'une fonction187
- 8 Espaces vectoriels193
- 8.1 Exploiter le concept de linéarité193
- 8.1.1 La notion de combinaison linéaire193
- 8.1.2 Propriété stable par combinaison linéaire194
- 8.1.3 Exemples de propriétés stables par combinaison linéaire195
- 8.2 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels196
- 8.2.1 Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel196
- 8.2.2 Exemples fondamentaux d'espaces vectoriels196
- 8.2.3 Montrer qu'une partie de E en est un sous-espace vectoriel197
- 8.2.4 Déterminer une dimension198
- 8.3 Relations ensemblistes entre sous-espaces vectoriels199
- 8.3.1 Prouver une inclusion entre sous-espaces vectoriels199
- 8.3.2 Prouver une supplémentarité200
- 8.4 Applications linéaires200
- 8.4.1 Exemples classiques d'applications linéaires200
- 8.4.2 Déterminer si une application est linéaire202
- 8.4.3 Calculer le rang d'une application linéaire203
- 8.4.4 Prouver l'injectivité (et autre) d'une application linéaire203
- 8.4.5 Utiliser l'injectivité (et autre) d'une application linéaire204
- 8.4.6 Résoudre une équation linéaire204
- 8.5 Étudier une famille de vecteurs205
- 8.5.1 Étudier la liberté205
- 8.5.2 Montrer qu'une famille est liée209
- 8.5.3 Étudier le caractère générateur209
- 8.5.4 Déterminer si la famille est une base210
- 8.5.5 Déterminer une base210
- 8.6 Calculer dans l'anneau des endomorphismes210
- 8.6.1 Que dire de deux endomorphismes commutant ?211
- 8.6.2 Polynômes d'un endomorphisme211
- 8.6.3 Utiliser un polynôme annulateur d'un endomorphisme212
- 8.6.4 Projecteurs et symétries213
- 8.7 Exercices215
- 8.7.1 Entraînement215
- 8.7.2 Perfectionnement218
- 9 Intégration227
- 9.1 Calculer une intégrale227
- 9.1.1 Calculer une primitive227
- 9.1.2 Calculer une intégrale229
- 9.2 Inégalités intégrales231
- 9.3 Étudier une suite grâce au calcul intégral233
- 9.3.1 Calculer la limite d'une suite de sommes de Riemann233
- 9.3.2 Calculer la limite d'une suite d'intégrales233
- 9.3.3 Calculer une limite par comparaison somme-intégrale235
- 9.4 Exercices236
- 9.4.1 Entraînement236
- 9.4.2 Perfectionnement241
- 9.5 Problème de synthèse analyse : un calcul de dzeta(2)247
- 9.6 Problème classique : intégrales de Wallis251
- 10 Développements limités255
- 10.1 Relations de comparaison255
- 10.2 Utiliser les différentes formules de Taylor256
- 10.3 Calculer un développement limité257
- 10.3.1 Justifier l'existence d'un développement limité257
- 10.3.2 Opérations sur les développements limités258
- 10.3.3 Quelques techniques de calcul259
- 10.3.4 Mise en oeuvre d'un calcul de développement limité261
- 10.3.5 Développer ailleurs qu'en O261
- 10.3.6 Autres méthodes d'obtention d'un développement limité263
- 10.4 Utilisation des développements limités264
- 10.4.1 Calcul de limite, d'équivalents265
- 10.4.2 Développements asymptotiques266
- 10.4.3 Applications aux suites récurrentes266
- 10.4.4 Application à des études graphiques267
- 10.5 Exercices268
- 10.5.1 Entraînement268
- 10.5.2 Perfectionnement272
- 11 Polynômes et fractions rationnelles279
- 11.1 Étudier l'ensemble richement structuré (...) [khi]279
- 11.1.1 Choisir une approche adaptée au problème279
- 11.1.2 Montrer la nullité d'un polynôme281
- 11.1.3 Montrer qu'une fonction est polynomiale (ou pas)282
- 11.1.4 Montrer qu'une famille de polynômes est libre283
- 11.1.5 Choisir et travailler dans une base adaptée au problème283
- 11.1.6 Exemples polynomiaux classiques de linéarité285
- 11.2 Étudier les racines d'un polynôme285
- 11.2.1 Montrer l'existence ou trouver une racine d'un polynôme285
- 11.2.2 Ordre de multiplicité d'une racine, polynôme scindé287
- 11.2.3 Utiliser les fonctions symétriques élémentaires des racines288
- 11.3 Étude arithmétique de (...)[khi]289
- 11.3.1 Montrer qu'un polynôme divise un autre (ou pas)289
- 11.3.2 Étudier l'irréductibilité d'un polynôme291
- 11.3.3 Effectuer une division euclidienne, calculer un reste291
- 11.3.4 Calculer le pgcd ou le ppcm de deux polynômes293
- 11.4 Décomposition en éléments simples295
- 11.4.1 Déterminer la partie entière de F295
- 11.4.2 Déterminer une partie polaire296
- 11.4.3 Trouver des relations entre les parties polaires297
- 11.4.4 Pratique de la décomposition297
- 11.5 Utilité de la décomposition en éléments simples298
- 11.6 Un cas particulier important : la dérivée logarithmique299
- 11.7 Exercices300
- 11.7.1 Entraînement300
- 11.7.2 Perfectionnement309
- 12 Matrices317
- 12.1 L'aspect vectoriel des matrices317
- 12.1.1 Rappels317
- 12.1.2 Exploiter la structure des espaces matriciels317
- 12.2 Apprivoiser le produit matriciel318
- 12.2.1 Défrichage318
- 12.2.2 Calculer dans l'anneau Mn ((...))318
- 12.2.3 Bon comportement d'applications avec le produit319
- 12.3 Montrer que des matrices commutent320
- 12.4 Calculer le rang d'une matrice321
- 12.5 Calculer les puissances d'une matrice carrée322
- 12.6 Inverse d'une matrice324
- 12.6.1 Preuves constructives325
- 12.6.2 Preuves non constructives327
- 12.6.3 Montrer une non inversibilité327
- 12.7 Résoudre un système linéaire327
- 12.8 Étudier une suite récurrente linéaire328
- 12.9 Matrices et changement de base330
- 12.9.1 Comment se rappeler les formules de changement de base ?330
- 12.9.2 Comment déterminer si deux matrices sont équivalentes ?331
- 12.9.3 Montrer que deux matrices ne sont pas semblables332
- 12.9.4 Comment montrer que deux matrices sont semblables ?333
- 12.10 Exercices335
- 12.10.1 Entraînement335
- 12.10.2 Perfectionnement341
- 12.11 Problème : fonctions de matrices nilpotentes349
- 12.12 Problème : sous-groupes à un paramètre de GLp((...))355
- 13 Déterminant361
- 13.1 Piqûre de rappel361
- 13.2 Utilité d'un déterminant361
- 13.2.1 Qu'exprime la nullité d'un déterminant ?361
- 13.2.2 Signe d'un déterminant362
- 13.2.3 Invariance du déterminant par similitude362
- 13.2.4 Utiliser la comatrice362
- 13.2.5 Systèmes de Cramer363
- 13.2.6 Propriétés calculatoires du déterminant363
- 13.2.7 Formule compliquée du déterminant363
- 13.3 Comment calculer un déterminant ?364
- 13.4 Exercices366
- 13.4.1 Entraînement366
- 13.4.2 Perfectionnement371
- 14 Espaces euclidiens377
- 14.1 Montrer qu'une application définit un produit scalaire377
- 14.1.1 Produit scalaire canonique377
- 14.1.2 Produit scalaire intégral378
- 14.1.3 Produit scalaire d'interpolation379
- 14.1.4 Est-ce tout ?380
- 14.2 Qu'apporte la notion d'orthogonalité ?381
- 14.2.1 L'orthogonalité est stable par combinaison linéaire381
- 14.2.2 De l'orthogonalité à la liberté381
- 14.2.3 Supplémentaire orthogonal381
- 14.2.4 Norme induite par un produit scalaire381
- 14.2.5 Déterminer si un vecteur est nul382
- 14.2.6 Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz382
- 14.2.7 Montrer l'orthogonalité de deux vecteurs383
- 14.3 Problèmes de famille383
- 14.3.1 Montrer qu'une famille est une base orthogonale383
- 14.3.2 Coordonnées dans une base orthonormale384
- 14.3.3 Quel est l'intérêt du procédé de Schmidt ?384
- 14.3.4 Trouver une base orthonormale d'un espace euclidien385
- 14.4 Projetés orthogonaux et distance à un sous-espace386
- 14.4.1 Déterminer un projeté orthogonal sur un sous-espace386
- 14.4.2 Calculer la distance d'un point à un sous-espace387
- 14.5 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales388
- 14.5.1 Généralités388
- 14.5.2 Automorphismes orthogonaux du plan389
- 14.5.3 Automorphismes orthogonaux dans (...)3 euclidien canonique390
- 14.6 Isométries393
- 14.6.1 Montrer qu'une application est une isométrie393
- 14.7 Exercices395
- 14.7.1 Entraînement395
- 14.7.2 Perfectionnement402
- 14.8 Problème de synthèse sur les espaces euclidiens407
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Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre
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Disponible - 510 FLO
Niveau 2 - Sciences
