par Roussarie, Robert
EDP sciences
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Disponible - 517.6 ROU
Niveau 2 - Sciences
Des équations différentielles aux systèmes dynamiques : . Tome 2. Vers la théorie des systèmes dynamiques
| Auteur(s) : |
Roussarie, Robert
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Résumé
Cette introduction à la théorie des systèmes dynamiques aborde les notions de généricité et transversalité, l'étude locale au voisinage des singularités hyperboliques, la stabilité structurelle et la théorie des bifurcations.
- Autre(s) auteur(s)
- Éditeur(s)
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Date
- 2012
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (310 p.) ; 24 x 17 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-7598-0654-6
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Indice
- 517.6 Équations différentielles, différences finies, équations intégrales et intégrodifférentielles, équations fonctionnelles, fonctions spéciales
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Quatrième de couverture
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Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II
Vers la théorie des systèmes dynamiques
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants d'un master de mathématiques ou de physique théorique, mais il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des informations sur les aspects topologiques de la théorie des systèmes dynamiques.
Il est une introduction à certains aspects de la théorie des systèmes dynamiques s'appuyant sur la théorie développée dans le tome I, publié dans la même collection (Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle).
On ne propose pas un exposé systématique du sujet. Les auteurs ont voulu, au contraire, se concentrer sur quelques thèmes de nature assez topologique et les développer avec détails, comme par exemple les idées de René Thom sur généricité et transversalité, l'étude locale au voisinage des singularités hyperboliques, la stabilité structurelle... La théorie des bifurcations est largement présentée, ainsi que les résultats et méthodes de cette théorie pour les champs de vecteurs de dimension 2.
Chaque chapitre est illustré par de nombreux exemples.
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Tables des matières
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Des équations différentielles aux systèmes dynamiques
Vers la théorie des systèmes dynamiques
Robert Roussarie et Jean Roux
EDP Sciences
- Avant-Proposvii
- 1 Introduction1
- 1.1 Modélisation d'évolutions par champs de vecteurs et itérations1
- 1.2 Équivalences entre systèmes dynamiques5
- 1.3 Un survol des propriétés des systèmes dynamiques8
- 1.4 Exemples de systèmes dynamiques12
- 1.5 Plan du tome 218
- 2 Généricité et transversalité23
- 2.1 Germe23
- 2.2 Topologie sur les espaces fonctionnels24
- 2.2.1 Convergence de classe Ck sur les ouverts euclidiens24
- 2.2.2 Généralisation aux variétés31
- 2.3 La notion de généricité32
- 2.4 Le lemme fondamental de transversalité35
- 2.5 Le théorème de transversalité de Thom42
- 2.5.1 Le cas euclidien42
- 2.5.2 Formulation générale45
- 2.6 Exemples de propriétés génériques50
- 2.7 Remarques finales52
- 2.7.1 Intérêt et limite du théorème de transversalité52
- 2.7.2 Topologie de Whitney54
- 2.7.3 Notion de singularité55
- 3 Étude locale des singularités hyperboliques59
- 3.1 Points singuliers et points fixes hyperboliques59
- 3.2 Champs et difféomorphismes linéaires hyperboliques62
- 3.2.1 Champs contractants et contractions hyperboliques65
- 3.2.2 Cas général d'un point de selle linéaire70
- 3.3 Variétés invariantes locales73
- 3.3.1 Variétés invariantes locales pour les difféomorphismes74
- 3.3.2 Variétés invariantes locales pour les champs de vecteurs78
- 3.4 Le lambda-Lemma de Palis81
- 3.4.1 Quelques estimations préalables83
- 3.4.2 Suites convergentes85
- 3.4.3 Énoncés et preuves du lambda-Lemma88
- 3.5 Feuilletages invariants locaux96
- 3.5.1 Le cas des champs de vecteurs96
- 3.5.2 Le cas des difféomophismes99
- 3.6 Linéarisation topologique locale102
- 3.7 Variétés invariantes globales105
- 4 Systèmes dynamiques structurellement stables111
- 4.1 Introduction111
- 4.2 Stabilité structurelle locale112
- 4.3 Stabilité des champs en dimension 1116
- 4.4 Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre 0118
- 4.5 Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre (...) 1125
- 4.5.1 Champs de vecteurs du tore T2 sans singularités125
- 4.5.2 Le cas général135
- 4.6 Les systèmes de Morse-Smale généraux137
- 4.7 Les ensembles hyperboliques139
- 4.7.1 Le fer à cheval de Smale139
- 4.7.2 Généralités sur les ensembles hyperboliques156
- 4.7.3 Quelques autres exemples de systèmes hyperboliques159
- 4.8 Au-delà de la stabilité structurelle163
- 4.8.1 Non-généricité de la stabilité structurelle163
- 4.8.2 Attracteurs non hyperboliques165
- 5 Les bases de la théorie des bifurcations167
- 5.1 Introduction167
- 5.2 Premiers exemples de bifurcation167
- 5.3 Déploiements versels pour les singularités179
- 5.4 Réduction à une variété centrale188
- 5.4.1 Champs de vecteurs et difféomorphismes188
- 5.4.2 Déploiements de champs de vecteurs et de difféomorphismes189
- 5.5 Déploiements de type selle-noeud192
- 5.5.1 Déploiements de type selle-noeud sur (...)192
- 5.5.2 Déploiements de type selle-noeud sur (...)196
- 5.6 Formes normales197
- 5.6.1 Formes normales pour les champs de vecteurs198
- 5.6.2 Formes normales pour les déploiements de champs205
- 5.6.3 Formes normales pour les difféomorphismes206
- 5.7 Bifurcations de Hopf-Takens206
- 5.7.1 Digression sur les homéomorphismes de (...)209
- 5.7.2 Démonstration du théorème 5.14214
- 5.7.3 Caractérisation des déploiements versels217
- 6 Compléments théorie des bifurcations225
- 6.1 Désingularisation226
- 6.1.1 Désingularisation des germes de champs de vecteurs en 0 (...)228
- 6.1.2 Désingularisation des déploiements de champs de vecteurs en 0 (...)233
- 6.2 La bifurcation de Bogdanov-Takens240
- 6.3 Déploiements de champs en dimension 2243
- 6.3.1 Singularités de codimension (...) 2245
- 6.3.2 Sous-filtrations particulières246
- 6.3.3 Singularités de codimension (...) 3247
- 6.4 Déploiements d'orbites périodiques et polycycles248
- 6.4.1 Bifurcation des orbites périodiques250
- 6.4.2 Connection de selle de codimension 1251
- 6.4.3 Déploiements génériques de polycycles hyperboliques256
- 6.4.4 Connection de selle de codimension quelconque256
- 6.4.5 Autres résultats sur les bifurcations de polycycles258
- 6.5 Bifurcations globales sur la sphère260
- 6.5.1 Le problème de la cyclicité finie260
- 6.5.2 Le seizième problème de Hilbert infinitésimal265
- 6.5.3 Difficulté d'une théorie de bifurcation globale271
- 7 Le système de Lorenz275
- 7.1 Les équations de la convection276
- 7.2 Formulation et approximation variationnelles277
- 7.3 Considérations générales279
- 7.4 Hypothèses du modèle et fonctions de base281
- 7.4.1 Le conditions limites282
- 7.4.2 Construction modale des fonctions (...) et (...)283
- 7.5 Le modèle de Lorenz285
- 7.6 Étude partielle du modèle de Lorenz287
- 7.6.1 Propriété de confinement du flot de Xa,b,r287
- 7.6.2 Étude des points singuliers de Xa,b,r289
- 7.6.3 Sous-criticité de la bifurcation de Hopf et comportement du modèle pour (...)299
- Bibliographie309
- Index315
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Origine de la notice:
- Electre
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Disponible - 517.6 ROU
Niveau 2 - Sciences
