Introduction à la mécanique des solides et des structures
Michel del pedro
Thomas Gmür
John Botsis
Presses polytechniques et universitaires romandes
Avant-proposv
Chapitre 1 Equilibre intérieur d'un solide1
1.1 Généralités1
1.2 Hypothèses fondamentales2
1.2.1 Hypothèse de continuité2
1.2.2 Hypothèse d'homogénéité3
1.2.3 Hypothèse d'isotropie3
1.2.4 Hypothèse de proportionnalité3
1.2.5 Hypothèse des petites déformations3
1.3 Efforts intérieurs et contraintes4
1.3.1 Définition des efforts intérieurs4
1.3.2 Définition des contraintes5
1.3.3 Principe d'équivalence8
1.3.4 Cas particuliers d'efforts intérieurs9
1.4 Constantes caractéristiques des matériaux linéaires isotropes10
1.4.1 Module d'élasticité10
1.4.2 Coefficient de Poisson11
1.4.3 Coefficient de dilatation thermique13
Chapitre 2 Traction ou compression simple15
2.1 Définitions et notions générales15
2.2 Exemples d'application18
2.2.1 Deux problèmes élémentaires18
2.2.2 Introduction aux systèmes hyperstatiques21
2.2.3 Influence du poids propre25
2.3 Analyse de l'état de contrainte en traction ou compression simple27
2.3.1 Notions préliminaires27
2.3.2 Etat de contrainte monodimensionnel28
2.4 Energie de déformation32
2.4.1 Energie de déformation dans le domaine élastique32
2.4.2 Energie de déformation dans le domaine plastique34
Chapitre 3 Etat de contrainte bidimensionnel39
3.1 Définitions et notions générales39
3.1.1 Principe de superposition39
3.1.2 Variation relative de volume39
3.1.3 Densité d'énergie41
3.2 Analyse de l'état de contrainte bidimensionnel42
3.2.1 Axes de référence coïncidant avec les axes principaux42
3.2.2 Axes de références différents des axes principaux46
Chapitre 4 Cisaillement simple51
4.1 Définitions et notions générales51
4.1.1 Contrainte de cisaillement52
4.1.2 Déformation en cisaillement simple53
4.2 Analyse de l'état de contrainte54
4.3 Variation relative de volume56
4.4 Energie de déformation57
4.5 Relation enter les modules de glissement et d'élasticité57
Chapitre 5 Torsion simple59
5.1 Définitions et notions générales59
5.1.1 Contrainte de cisaillement en torsion circulaire59
5.1.2 Déformation en torsion circulaire62
5.2 Analyse de l'état de contrainte en torsion circulaire63
5.2.1 Etat de contrainte en torsion circulaire64
5.2.2 Lignes isostatiques66
5.3 Variation relative de volume en torsion circulaire67
5.4 Energie de déformation en torsion circulaire67
5.5 Torsion non circulaire70
5.5.1 Torsion de barres à sections pleines courantes71
5.5.2 Torsion de barres à sections de faible largeur74
Chapitre 6 Flexion des poutres droites79
6.1 Définitions et notions générales79
6.1.1 Contraintes normales en flexion pure80
6.1.2 Déformation en flexion pure82
6.1.3 Contraintes tangentielles en flexion simple85
6.2 Analyse de l'état de contrainte92
6.2.1 Etat de contrainte en flexion simple92
6.2.2 Lignes isostatiques95
6.3 Energie de déformation98
6.3.1 Energie due au moment de flexion98
6.3.2 Energie dues à l'effort tranchant99
Chapitre 7 Déformée des poutres droites en flexion simple103
7.1 Equation différentielle de la déformée103
7.1.1 Influence du moment de flexion104
7.1.2 Influence de l'effort tranchant104
7.1.3 Déformée totale105
7.2 Superposition des déformations111
7.3 Poutres à section variable114
7.4 Poutres d'égale résistance à la flexion117
Chapitre 8 Flexion déviée et flexion composée121
8.1 Contraintes normales en flexion déviée121
8.2 Flexion composée de traction ou compression124
8.2.1 Calcul des contraintes et recherche de l'axe neutre125
8.2.2 Détermination du noyau central de la section126
Chapitre 9 Flexion des poutres courbes129
9.1 Définition et notions générales129
9.1.1 Contraintes de flexion dans les poutres courbes130
9.1.2 Courbure des poutres courbes après déformation132
9.2 Flexion combinée135
9.3 Poutres à faible courbure136
Chapitre 10 Energie de déformation élastique141
10.1 Forme quadratique de l'énergie de déformation141
10.1.1 Formule de Clapeyron141
10.1.2 Coefficients d'influence143
10.2 Théorème de réciprocité de Betti-Rayleigh144
10.3 Egalité des coefficients d'influence réciproques147
10.4 Théorème de Castigliano148
10.4.1 Enoncé du théorème de Castigliano et démonstration148
10.4.2 Application du théorème de Castigliano aux poutres droites149
Chapitre 11 Systèmes hyperstatiques157
11.1 Généralités157
11.1.1 Systèmes hyperstatiques extérieurement157
11.1.2 Systèmes hyperstatiques intérieurement159
11.2 Théorème de Menabrea163
11.2.1 Enoncé du théorème de Menabrea163
11.2.2 Démonstration du théorème de Menabrea163
Chapitre 12 Flambage des poutres droites, des anneaux et des tubes circulaires171
12.1 Notions de stabilité et d'instabilité élastiques d'un système171
12.2 Cas fondamental du flambage d'un poutre173
12.2.1 Formule d'Euler173
12.2.2 Amplitude de la déformation177
12.3 Cas dérivés du flambage d'une poutre179
12.4 Flambage en dehors du domaine élastique182
12.4.1 Limite de validité de la formule d'Euler182
12.4.2 Formule de Tetmayer184
12.5 Méthode de Timoshenko188
12.5.1 Principe de la méthode188
12.5.2 Application au cas fondamental191
12.6 Flambage des anneaux circulaires195
12.6.1 Généralités195
12.6.2 Pression critique des anneaux circulaires196
12.6.3 Pressions critiques supérieures199
12.7 Flambage des tubes circulaires200
12.7.1 Généralités200
12.7.2 Tubes longs200
12.7.3 Flambage hors du domaine élastique202
12.7.4 Tubes courts (réservoirs)203
Chapitre 13 Analyse des états de contrainte et de déformation205
13.1 Analyse de l'état de contrainte205
13.1.1 Théorème de Cauchy206
13.1.2 Matrice des contraintes207
13.1.3 Calcul des contraintes principales209
13.1.4 Equations d'équilibre211
13.1.5 Forme quadratique des contraintes212
13.1.6 Quadrique des contraintes normales214
13.1.7 Ellipsoïde des contraintes totales215
13.2 Cercles de Mohr217
13.2.1 Equations des cercles de Mohr217
13.2.2 Contraintes de cisaillement maximales218
13.3 Cas particuliers de l'état de contrainte220
13.3.1 Trois contraintes principales égales220
13.3.2 Deux contraintes principales égales220
13.3.3 Une contrainte principale nulle220
13.3.4 Deux contraintes principales nulles221
13.4 Analyse de l'état de déformation222
13.4.1 Matrice des déformations222
13.4.2 Calcul des déformations principales226
13.4.3 Interprétation des composantes de déformation227
Chapitre 14 Eléments d'élasticité linéaire233
14.1 Introduction233
14.2 Bases de l'élastostatique linéaire233
14.2.1 Equations fondamentales de l'élastostatique linéaire233
14.2.2 Conditions aux limites235
14.3 Problèmes plans en élasticité linéaire isotrope236
14.3.1 Etat de déformation unidimensionnel236
14.3.2 Etat de contrainte unidimensionnel237
14.3.3 Conditions de déformation plane238
14.3.4 Conditions de contrainte plane241
Chapitre 15 Critères de rupture de l'équilibre élastique257
15.1 Notions générales257
15.1.1 Etat limite de contrainte257
15.1.2 Coefficient de sécurité257
15.1.3 Théories de la rupture258
15.1.4 Contrainte de comparaison258
15.2 Critères de rupture259
15.2.1 Critère de Mohr-Coulomb259
15.2.2 Critère de Tresca261
15.2.3 Critère de von Mises263
Chapitre 16 Choix de problèmes271
16.2 Traction ou compression simple271
16.2.1 Allongement d'une barre de section variable en traction271
16.2.2 Dilatation thermique d'un assemblage272
16.2.3 Dilatation thermique d'un ensemble de trois barres272
16.2.4 Déformation d'un système composé d'une barre et de tiges273
16.2.5 Déformation d'un système composé d'une barre et d'un câble273
16.2.6 Oscillations longitudinales d'une masse suspendue274
16.3 Etat de contrainte bidimensionnel ou tridimensionnel275
16.3.1 Module d'élasticité apparent275
16.3.2 Dilatation thermique d'un cylindre sous pression275
16.3.3 Effet géométrique d'un état de contrainte bidimensionnel275
16.4 Cisaillement simple277
16.4.1 Variation relative de volume en cisaillement277
16.4.2 Cisaillement d'un parallélépipède277
16.5 Torsion simple277
16.5.1 Dimensionnement d'un cylindre creux en torsion277
16.5.2 Torsion accompagnée de traction d'un barreau circulaire278
16.5.3 Oscillations de torsion d'un arbre278
16.5.4 Comparaison de barres à section circulaire et rectangulaire en torsion279
16.5.5 Déformation angulaire d'un profilé en torsion280
16.6 Flexion des poutres droites280
16.6.1 Moments d'inertie principaux d'une section280
16.6.2 Dimensionnement d'une poutre en flexion281
16.6.3 Contraintes tangentielles dans une poutre en flexion282
16.6.4 Etat de contrainte en flexion simple282
16.7 Déformée des poutres droites en flexion simple283
16.7.1 Fréquence fondamentale d'une poutre à masse concentrée283
16.7.2 Déformée d'une poutre soumise à un moment de flexion283
16.7.3 Réaction hyperstatique dans une poutre en flexion284
16.8 Flexion déviée ou composée284
16.8.1 Contraintes normales en flexion déviée284
16.8.2 Contraintes normales en flexion composée285
16.9 Flexion des poutres courbes286
16.9.1 Facteur associé à l'aire modifiée d'une section circulaire286
16.9.2 Dimensionnement d'un crochet286
16.9.3 Effort intérieur hyperstatique dans un anneau circulaire à forte courbure287
16.10 Energie de déformation élastique287
16.10.1 Application du théorème de Betti-Rayleigh287
16.10.2 Déplacement de deux forces agissant sur un anneau ouvert288
16.10.3 Déplacement de l'extrémité d'une poutre coudée288
16.11 Systèmes hyperstatiques289
16.11.1 Effort intérieur hyperstatique dans un arc fermé par un tirant289
16.11.2 Hyperstatique extérieure dans une poutre appuyant sur un ressort290
16.11.3 Moment hyperstatique interne dans un cadre rectangulaire291
16.12 Flambage des poutres droites291
16.12.1 Dimensionnement d'une poutre au flambage291
16.12.2 Charge critique d'une poutre à tronçon infiniment rigide291
16.12.3 Charge critique d'une poutre contrainte par un ressort spiral292
16.13 Analyse des états de contrainte et de déformation292
16.13.1 Calcul des contraintes principales292
16.13.2 Matrice des contraintes en sollicitation combinée293
16.14 Eléments d'élasticité linéaire293
16.14.1 Contraintes de déformation en coordonnées polaires293
16.14.2 Expression des équations d'équilibre en état plan de contrainte294
16.14.3 Distribution des contraintes au voisinage d'une force concentrée294
16.15 Critères de rupture de l'équilibre élastique295
16.15.1 Dimensionnement d'un cylindre à la rupture295
16.15.2 Coefficient de sécurité dans un arbre de machine295
16.15.3 Contrainte de comparaison295
Annexe A Propriétés mécaniques des matériaux297
A.1 Essai de traction297
A.2 Propriétés mécaniques de certains matériaux301
Annexe B Efforts intérieurs dans les poutres droites305
B.1 Définitions305
B.2 Principe de la coupe et conventions de signes309
B.3 Poutre sur deux appuis soumise à des charges concentrées verticales311
B.4 Poutre en console soumise à des charges concentrées verticales314
B.5 Poutre sur deux appuis soumise à une charge verticale continue316
Annexe C Moments d'une aire plane321
C.1 Définition des moments d'une aire plane321
C.1.1 Moments du premier ordre321
C.1.2 Moments du second ordre322
C.2 Translation des axes de coordonnées324
C.3 Rotation des axes de coordonnées326
C.4 Axes et moments principaux d'inertie327
C.5 Ellipse d'inertie328
Annexe D Flèches et rotations de quelques poutres droites en flexion simple333
D.1 Cas I : poutre sur appuis simples334
D.2 Cas II : poutre encastrée en une extrémité335
Annexe E Calcul des réactions de structures hyperstatiques extérieurement337
E.1 Exposé de la démarche337
E.2 Exemple d'application338
Liste des symboles347
Bibliographie sommaire355
Index357