Supraconductivité
Introduction
Philippe Mangin - Rémi Kahn
edp sciences
Chapitre 1 - Introduction
1
1.1 - Une histoire, des hommes1
1.2 - Manifestations expérimentales de la supraconductivité2
1.2.1 - Découverte de la supraconductivité : température critique2
1.2.2 - Comportement magnétique des supraconducteurs3
Effet Meissner-Ochsenfeld3
Champs critiques et supraconducteurs de type I et II3
1.2.3 - Densité de courant critique4
1.2.4 - Effet isotopique4
1.2.5 - Courants Josephson et quantification du flux4
1.3 - Les modèles phénoménologiques5
1.3.1 - Théorie de London6
1.3.2 - Approche thermodynamique7
1.3.3 - Théorie de Ginzburg-Landau7
1.3.4 - Les vortex8
1.4 - La théorie microscopique BCS8
1.5 - Les effets tunnel9
1.6 - Une grande diversité de matériaux supraconducteurs10
1.7 - Des supraconducteurs non « conventionnels »11
1.8 - Des applications spectaculaires12
1.9 - La supraconductivité dans l'histoire des hommes13
Chapitre 2 - Théorie de London
15
2.1 - Les équations de Maxwell15
2.2 - Comportement attendu d'un conducteur parfait16
2.2.1 - Conduction électrique dans un conducteur normal16
2.2.2 - Conduction électrique dans un conducteur parfait17
2.2.3 - Champ magnétique dans un conducteur parfait18
Application à une plaque de conducteur parfait19
2.3 - Supraconducteur versus conducteur parfait22
2.3.1 - Refroidissement en champ nul suivi de l'application d'un champ22
2.3.2 - Application du champ magnétique lorsque T > Tc puis refroidissement sous champ23
2.4 - Les équations de London24
2.4.1 - Les électrons supraconducteurs25
2.4.2 - Première équation de London25
2.4.3 - Seconde équation de London25
2.4.4 - Plaque supraconductrice plongée dans un champ magnétique26
Plaque épaisse (d (...) lambdaL)26
Plaque mince (d (...) lambdaL)27
2.5 - Longueur de London29
2.5.1 - Détermination expérimentale de lambdaL28
2.5.2 - Dépendance thermique de la longueur de London29
2.6 - Application au fil supraconducteur30
2.6.1 - Fil soumis à un champ magnétique30
2.6.2 - Fil parcouru par un courant32
2.6.3 - Fil de petit diamètre parcouru par un courant33
2.6.4 - Généralisation34
2.7 - Expérience d'Ochsenfeld34
2.8 - Supraconducteur non simplement connexe (avec trou)36
2.8.1 - Séquence 1 : refroidissement en champ nul36
2.8.2 - Séquence 2 : refroidissement sous champ37
2.8.3 - Conclusion37
2.9 - Point de vue énergétique38
2.9.1 - Interprétation énergétique de la longueur de London38
Energie magnétique38
Energie cinétique des électrons supraconducteurs38
2.9.2 - Seconde équation de London par méthode variationnelle39
2.10 - Approche de la supraconductivité par la mécanique des fluides41
Trois remarques importantes42
2.11 - Moment de London42
2.11.1 - Approche intuitive42
2.11.2 - Evaluation du moment de London43
2.12 - Equation de London en jauge de London46
2.12.1 - Notion de jauge46
2.12.2 - Jauge de London46
2.12.3 - Seconde équation de London en jauge de London47
2.12.4 - Impulsion p et équation de London48
2.12.5 - Supraconducteur non simplement connexe48
Complément 2A - Dérivation totale et partielle par rapport au temps
49
Complément 2B - Propriété d'une fonction harmonique dont la composante du gradient sur la normale à la surface est nulle
50
Complément 2C : Fonctions de Bessel modifiées
51
Au voisinage de l'origine (x (...) 0)51
Comportements asymptotiques à l'infini (x (...))51
Chapitre 3 - Equations non-locales de Pippard
53
3.1 - Origine des équations non-locales53
3.2 - Caractère non-local dans les supraconducteurs purs54
3.3 - Longueur de pénétration du champ magnétique55
3.4 - Analyse de Fourier des équations de Pippard56
3.5 - Supraconducteurs « sales »60
Chapitre 4 - Thermodynamique des supraconducteurs de type I
63
4.1 - Description thermodynamique64
4.2 - Les variables thermodynamiques de la supraconductivité65
4.2.1 - Equivalence entre courants de London et aimantation65
Matière aimantable65
Matière supraconductrice65
4.2.2 - Systèmes thermodynamiques66
Système solénoïde + matière66
Système matière supraconductrice seule68
4.2.3 - Interprétation de la lévitation des supraconducteurs de type I68
4.3 - Les fonctions thermodynamiques de la supraconductivité69
4.4 - Les données thermodynamiques71
4.4.1 - Equations d'état71
Phase normale71
Phase supraconductrice71
4.4.2 - Chaleurs spécifiques71
Chaleur spécifique de réseau Cvib71
Chaleur spécifique électronique C(...) en phase normale72
Chaleur spécifique électronique C(...) en phase supraconductrice73
4.4.3 - Diagramme de phase - Ligne de champ critique73
4.5 - Transition état supraconducteur - état normal75
4.5.1 - Enthalpie libre de condensation75
4.5.2 - Relation entre chaleur spécifique et pente de la ligne de transition76
4.5.3 - Chaleurs latentes de transformation78
4.5.4 - Ordre de la transition de phase79
Transitions du premier ordre80
Transitions du second ordre80
Complément 4 - Les milieux magnétiques
81
4C.1 - Champs dans la matière aimantée81
Equivalence aimantation - distribution de courants ampériens81
Courants ampériens dans un cylindre uniformément aimanté82
Champ magnétique B82
Champ H83
Champs B et H dans un cylindre uniformément aimanté83
Champs B et H dans un cylindre infini placé dans un solénoïde84
Ellipsoïde uniformément aimanté85
Cas général86
4C.2 - Travail d'aimantation de la matière88
Travail de charge d'un solénoïde vide88
Travail de charge d'un solénoïde contenant un cylindre de matière89
Travail de la matière aimantée seule89
Chapitre 5 - Etat intermédiaire des supraconducteurs de type I
91
5.1 - Critères d'apparition d'une transition S/N91
5.2 - Transition S/N d'un cylindre infini92
5.3 - Transition dans un échantillon de petite taille93
5.3.1 - Film mince93
5.3.2 - Fil de petit diamètre94
5.4 - Effet de forme des échantillons95
5.4.1 - Rappel de résultats de magnétisme95
5.4.2 - Application aux supraconducteurs96
Courants de London comprimés sur la surface96
Courants de London décompressés97
5.5 - Etat intermédiaire dans une sphère98
5.5.1 - Première approche98
5.5.2 - Structure plus réaliste99
5.6 - Etat intermédiaire dans une plaque mince102
5.6.1 - Modèle laminaire102
5.6.2 - Bilan énergétique103
Energie de création d'interfaces103
Energie due à la perturbation du champ magnétique hors de la plaque104
Energie due à la perturbation du champ magnétique dans la plaque104
5.6.3 - Structure d'état intermédiaire de la plaque105
5.7 - Eviter les confusions107
5.8 - Fil parcouru par un courant (modèle d'état intermédiaire)107
5.8.1 - Position du problème107
5.8.2 - Modèle d'état intermédiaire109
5.8.3 - Fil de petit diamètre111
5.9 - Courant critique d'un fil plongé dans un champ magnétique112
5.9.1 - Cas général112
5.9.2 - Champ magnétique appliqué parallèlement à l'axe du fil112
5.9.3 - Champ magnétique appliquée perpendiculairement à l'axe du fil113
Chapitre 6 - Supraconducteurs de type II
115
6.1 - Deux types de comportement magnétique115
6.1.1 - Emergence des supraconducteurs de type II115
6.1.2 - Comportement magnétique des supraconducteurs de type II116
Supraconducteur de type I (appelé aussi de Pippard)116
Supraconducteur de type II (appelé aussi de London)117
Supraconductivité de surface117
6.1.3 - Répartition des matériaux supraconducteurs117
6.2 - Enthalpie libre magnétique de surface118
6.3 - Filament normal dans un supraconducteur120
6.4 - Enthalpie libre de surface (positive) par défaut de condensation122
6.4.1 - Longueur de cohérence122
6.4.2 - Interprétation géométrique de la longueur de cohérence123
6.4.3 - Enthalpie libre de condensation surfacique124
6.4.4 - Enthalpie libre de surface totale125
6.5 - Vortex et supraconducteurs de type II126
6.5.1 - Description d'un vortex126
6.5.2 - Stabilité des vortex127
Condition de stabilité127
Dépendance en température129
Effet des impuretés130
6.5.3 - Quantification du flux porté par un vortex130
6.5 - Résultats de la théorie GLAG131
6.6 - Réseau de vortex132
6.6.1 - Réseau d'Abrikosov132
6.6.2 - Visualisation des réseaux de vortex134
6.7 - Champ critique Hc2136
6.8 - Eléments sur la structure et la dynamique des vortex138
6.8.1 - Pénétration des vortex138
6.8.2 - Diagrammes de phase des vortex140
Cristal de vortex140
Verre de Bragg140
Verre de vortex140
Liquide de vortex141
Diagramme de phase141
6.9 - Transport de courant dans les supraconducteurs de type II142
6.9.1 - Problématique des supraconducteurs de type II142
6.9.2 - Distribution de la densité de courant142
6.9.3 - Densité de courant critique143
6.10 - Lévitation en présence de vortex144
6.11 - Quelques illustrations de la diversité de comportement des vortex145
6.11.1 - Effet du champ démagnétisant145
6.11.2 - Réorganisation de vortex sous l'effet d'un courant146
6.11.3 - Répulsion par des surfaces147
6.11.4 - Piégeage de lignes de vortex dans des nanostructures148
6.11.5 - Effet de confinement149
Chapitre 7 - Champs et courants dans les supraconducteurs de type II - Modèles d'état critique
153
7.1 - Forces subies par les vortex153
7.1.1 - Force sur un vortex créée par un courant électrique154
7.1.2 - Forces d'interaction entre vortex154
Force entre deux vortex154
Force sur un vortex situé dans un groupe de vortex155
Force moyenne, force volumique156
7.2 - Dissipation d'énergie par déplacement de vortex156
7.2.1 - Modèle d'écoulement de vortex157
7.2.2 - Champ électrique induit158
7.2.3 - Origine de la force de freinage - Modèle de Bardeen-Stephen158
7.3 - Densité de courant critique159
7.3.1 - Force d'ancrage159
7.3.2 - Densité de courant critique160
7.3.3 - Retour sur la résistivité d'écoulement de vortex160
7.3.4 - Sauts de vortex162
7.3.5 - Fluage de vortex162
7.3.6 - Autres comportements163
7.4 - Modèles d'état critique163
7.4.1 - Etat critique163
7.4.2 - Lois de comportement164
7.5 - Modèle de Bean165
7.5.1 - Champ croissant : pénétration des vortex165
7.5.2 - Champ décroissant : profil de champ et distribution des vortex167
7.5.3 - Règles de profil du champ magnétique et de densité de courant (en géométrie plane)168
7.6 - Aimantation d'une plaquette supraconductrice de type II169
7.6.1 - Aimantation d'une plaquette169
7.6.2 - Courbe de première aimantation (modèle de Bean)170
7.6.3 - Cycle d'hystérésis en modèle de Bean172
7.6.4 - Cycle d'hystérésis en modèle de Kim-Ji174
7.7 - Aimantation en géométrie cylindrique (modèle de Bean)176
7.7.1 - Cylindre plein, champ magnétique appliqué suivant l'axe176
7.7.2 - Géométrie tubulaire, aimantation du vide178
7.8 - Mise en évidence expérimentale des états critiques179
7.9 - Transport de courant en phase de Schubnikov180
7.9.1 - Transport de courant en absence de champ extérieur180
7.9.2 - Transport de courant en présence d'un champ extérieur184
Complément 7A - Différents aspects de la force de Lorentz
186
7CA.1 - Introduction186
7CA.2 - Force de Lorentz187
7CA.3 - Force de London187
Energie d'un vortex187
Energie d'un vortex isolé188
Energie d'interaction entre vortex188
Extension à un vortex dans une densité de courant uniforme189
7CA.4 - Force de Magnus190
Sphère dans un fluide en translation190
Vitesse autour d'un coeur de vortex191
Force de Magnus191
7CA.5 - Conclusion192
Complément 7B - Modèle de Bardeen-Stephen
194
7CB.1 - Articulation du raisonnement194
7CB.2 - Densité de courant194
7CB.3 - Champ électrique extérieur194
7CB.4 - Densité de charge en surface de coeur195
7CB.5 - Champ intérieur196
7CB.6 - Puissance dissipée et résistivité d'écoulement de vortex196
Chapitre 8 - Paires de Cooper - Principaux résultats de la théorie BCS
199
8.1 - Gaz d'électrons libres199
8.1.1 - Gaz d'électrons libres à 0 K199
Densité d'états200
Niveau de Fermi201
Effet de la température202
8.2 - Gaz d'électrons à deux particules203
8.2.1 - Fonctions d'onde à deux particules indépendantes203
8.2.2 - Potentiel d'interaction204
8.2.3 - Interaction par l'intermédiaire des phonons205
8.3 - Système de référence207
8.3.1 - Système à une particule207
Système à états dégénérés207
Généralisation à N états dégénérés208
Système à états non-dégénérés209
Généralisation à N états non-dégénérés211
8.3.2 - Systèmes de paires211
8.4 - Paires de Cooper214
8.4.1 - Les états de paires accessibles214
8.4.2 - Définition du zéro des énergies215
8.4.3 - Etat lié de la paire de Cooper à 0 K215
8.4.4 - Fonction d'onde, probabilité de présence216
8.4.5 - Extension de la paire de Cooper218
8.5 - Eléments de la théorie BCS218
8.5.1 - Assemblée de paires de Cooper218
8.5.2. - Etat fondamental219
8.5.3 - Quasiparticules221
8.6 - Conséquences de la structure énergétique222
8.6.1 - Température critique222
8.6.2 - Nature du gap supraconducteur224
8.6.3 - Longueur de cohérence225
8.6.4 - Champ critique - Enthalpie libre de condensation226
8.6.5 - Chaleur spécifique électronique227
8.6.6 - Densité de courant critique228
Métal normal228
Métal en phase supraconductrice230
Bilan énergétique231
8.7 - Les électrons supraconducteurs et la longueur de London232
Complément 8 - Eléments de matrices du potentiel d'interaction entre particules
234
Chapitre 9 - Cohérence et quantum de flux
235
9.1 - Densité de courant et équation de London235
9.2 - Phase de la fonction d'onde236
9.3 - Quantification du flux237
9.3.1 - Le fluxon237
9.3.2 - Supraconducteur simplement connexe238
9.3.3 - Supraconducteur non-simplement connexe239
9.3.4 - Preuve expérimentale de l'existence des paires de Cooper239
9.4 - Retour sur les jauges242
9.4.1 - Seconde équation de London241
9.4.2 - Supraconducteur simplement connexe241
9.4.3 - Supraconducteur non-simplement connexe242
9.5 - Quantification du flux : application aux vortex242
9.5.1 - Fluxion porté par un vortex isolé242
9.5.2 - Fluxon en réseau d'Abrikosov243
9.5.3 - Vortex confiné244
9.5.4 - Densité de courant autour d'un coeur de vortex245
9.6 - Equation de London généralisée en présence de vortex246
9.7 - Retour sur le moment de London247
Complément 9 - Impulsion (généralisée)
249
9C.1 - Mécanique lagrangienne et hamiltonienne249
Notations249
Lagrangien et équations de Lagrange249
Lagrangien d'une particule chargée249
Impulsion d'une particule chargée249
Fonction de Hamilton250
9C.2 - Passage à la mécanique quantique250
Quelques principes250
Impulsion et vecteur d'onde251
Hamiltonien d'une particule dans un champ électromagnétique251
Densité de courant251
9C.3 - Jauge251
Chapitre 10 - Effet Josephson
253
10.1 - Equations de Josephson dans une jonction SIS253
10.1.1 - Molécule d'hydrogène ionisée254
10.1.2 - Transfert entre blocs supraconducteurs254
10.2 - Effet Josephson continu (SIS)256
10.2.1 - Courant Josephson256
10.2.2 - Courant maximum257
Relation d'Ambegaokar et Baratoff (jonction SIS)257
10.3 - Effet Josephson alternatif258
10.3.1 - Fréquence de Josephson258
10.3.2 - Application : représentation du volt258
10.4 - Caractéristique « courant-tension » d'une jonction Josephson SIS259
10.4.1 - Jonction Josephson alimentée en tension259
10.4.2 - Modèle RCSJ261
10.4.3 - Equations du système RCJS alimenté en courant262
10.4.4 - Analogie mécanique au modèle RCJS262
10.4.5 - Fréquences caractéristiques263
D'oscillation du pendule libre263
D'oscillation de la phase de jonction à ses bornes265
10.4.6 - Réponses comparées des systèmes mécaniques et RCSJ « alimentés » en couple Gamma ou intensité I265
Etat initial265
Régime Josephson265
Seuil critique265
Au-delà des seuils critiques266
Retour en dessous des seuils critiques - Hystérésis266
10.4.7 - Système suramorti266
10.4.8 - Représentations graphiques269
10.4.9 - Amortissement faible et intermédiaire271
10.4.10 - Quelques exemples de jonction SIS272
10.5 - Energie stockée dans une jonction Josephson (SIS)273
10.6 - Jonction Josephson soumise à une onde électromagnétique274
10.6.1 - Effets de résonance274
10.6.2 - Marches de Shapiro275
10.7 - Jonctions SNS et SCS277
10.7.1 - Effets de proximité, modèle d'Aslamazov-Larkin277
10.7.2 - Courant Josephsonvia les niveaux d'Andreev278
Niveaux d'Andreev278
Réflexions d'Andreev-Saint James279
Niveau d'Andreev280
Courant Josephson281
10.7.3 - Exemple de jonctions SNS283
10.7.4 - Signature de l'effet Josephson285
10.8 - Jonctions Josephson de type pi285
10.8.1 - Définition et énergie285
10.8.2 - Familles de jonctions Josephson pi287
10.8.3 - Jonctions SFS : mécanismes de jonctions pi288
10.9 - Jonction Josephson : un système à grand nombre d'états292
10.9.1 - Electron sur une chaîne atomique292
10.9.2 - Généralisation294
10.9.3 - Application à l'effet Josephson294
Première équation de Josephson296
Energie stockée dans une jonction296
Seconde équation de Josephson296
10.9.4 - Propriété générale des condensats de Bose-Einstein296
Complément 10A - Résolution des équations de couplage
297
Complément 10B - Jonction Josephson en régime suramorti
299
Equations initiales299
Tension moyenne (...)V(...) et période T299
Tension moyenne (...)V(...) en fonction du courant d'alimentation I299
Complément 10C - Jonction Josephson soumise à une tension alternative
301
Chapitre 11 - Superconducting QUantum Interference Device (SQUID)303
11.1 - Nature du courant SQUID303
11.2 - rf-SQUID à inductance nulle306
11.2.1 - rf-SQUID non-inductif à une jonction306
11.2.2 - rf-SQUID non-inductif à deux jonctions308
11.3 - rf-SQUID inductif309
11.3.1 - Déphasage magnétique et flux du champ extérieur309
11.3.2 - Fonctionnement du rf-SQUID inductif311
11.4 - rf-SQUID à jonction pi313
11.5 - SQUID inductif à une jonction : approche énergétique314
11.6 - rf-SQUID à 2 jonctions Josephson de natures différentes318
11.6.1 - rf-SQUID hétérojonction à inductance nulle318
11.6.2 - rf-SQUID hétérojonction d'inductance significative319
11.7 - Lecture du rf-SQUID321
11.8 - DC-SQUID (SQUID à polarisation en courant continu)321
11.8.1 - Principe du DC-SQUID321
DC-SQUID à inductance nulle (bêtaL = 0)322
DC-SQUID inductif (bêtaL # 0)324
11.8.2 - DC-SQUID en régime suramorti324
11.8.3 - Lecture du DC-SQUID324
11.8.4 - DC-SQUID hétérojonction325
Chapitre 12 - Jonctions Josephson sous champ magnétique
329
12.1 - Champ magnétique dans une jonction étroite329
12.2 - Courant dans une jonction Josephson étroite soumise à un champ magnétique332
12.3 - Jonction 0-pi étroite sous champ magnétique337
12.4 - Cas général d'une jonction sous champ magnétique339
12.4.1 - Longueur de Josephson339
12.4.2 - Equations générales340
12.4.3 - Comportement en champ très faible341
12.4.4 - Cas particulier de la jonction étroite343
12.5 - Jonction Josephson large sous champ magnétique343
12.5.1 - Analogie mécanique343
12.5.2 - Mouvements remarquables du pendule346
Scénario I346
Scénario II347
12.5.3 - Jonction large en régime Meissner348
12.5.4 - Jonction large en régime de vortex351
12.5.5 - Vortex de Josephson isolé352
12.6 - Transport de courant dans une jonction Josephson large354
12.6.1 - Jonction large parcourue par un courant354
12.6.2 - Jonction Josephson soumise à un champ magnétique et parcourue par un courant357
Régime Meissner357
Régime vortex358
12.7 - Demi fluxon au raccordement 0-pi d'une jonction Josephson hybride358
Complément 12 - Déphasage entre les blocs supraconducteurs au sein d'une jontion 0-Pi infinie
362
12C.1 - Les équations qui gouvernent la jonction362
12C.2 - Conditions aux limites362
12C.3 - Profil du déphasage363
Notations
365
Quelques ouvrages de référence
371
Index
373