Cours et exercices d'analyse : mathématiques spéciales MP-MP-PSI, CAPES-agrégation

Auteur(s) :

Meunier, Pierre (1944-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Exercices issus de programme de classe de Spé MP* et rédigés à partir des questions posées aux écrits et aux oraux des concours d'entrée aux grandes écoles scientifiques.

Éditeur(s)
- Cépaduès-éd.
Date
- impr. 2014
Notes
- Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (279 p.) : couv. ill. ; 21 cm
Sujet(s)
- Analyse mathématique
ISBN
- 978-2-36493-094-0
Indice
- 517 Analyse
Quatrième de couverture
- Cet ouvrage d'analyse correspond au cours et exercices donnés dans une classe de Spé MP* à partir des exigences du programme mais aussi et surtout à partir des questions posées tant aux écrits qu'aux oraux des concours d'entrée aux Grandes Écoles scientifiques.
  Comme le programme le rappelle, l'analyse en classe de spéciale de la filière MP est organisée autour des concepts fondamentaux de suite, de série ou de calcul intégral dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie, plus exactement dans le cadre numérique des nombres réels ou des nombres complexes.
  C'est la raison pour laquelle ce recueil a été élaboré à partir des quatre chapitres suivants :
  
  Chapitre 1 : Suites, séries, familles sommables
  
  Chapitre 2 : Suites et séries de fonctions
  
  Chapitre 3 : Les séries entières
  
  Chapitre 4 : Calcul intégral
  
  Les chapitres sont illustrés par environ 200 exercices entièrement résolus.
Tables des matières
- - Cours et exercices d'analyse
  - Mathématiques spéciales MP - MP* - PSI* CAPES - Agrégation
  - Pierre Meunier
  - Cépaduès-Éditions
  - Introduction9
  - Chapitre 1 : Suites - séries - familles sommables11
  - 1.1 Rappels de cours11
  - A - Les suites19
  - 1.2 Suites numériques sous-additives (resp. à croissance lente)19
  - 1.2.1 Suites sous-additives de réels19
  - 1.2.2 Suites réelles à croissance lente22
  - 1.3 Etude de la suite (eⁱⁿ)26
  - 1.4 Suites réelles équiréparties27
  - 1.5 Suites réelles du type u_{n + 1} = f(u_n)31
  - 1.6 Etude de quelques suites fréquemment rencontrées34
  - 1.6.1 L'algorithme Babylonien34
  - 1.6.2 La constante d'Euler :35
  - 1.6.3 L'exponentielle complexe37
  - 1.6.4 Un classique38
  - 1.6.5 Une suite définissant la fonction Gamma en tout z de C, z non entier </= 039
  - 1.6.6 Encore un classique :40
  - B - Séries numériques41
  - 1.7 Inégalités de Gronwall, de Carlemann et de Hardy41
  - 1.7.1 Inégalités de Gronwall41
  - 1.7.2 Inégalité de Carlemann43
  - 1.7.3 Inégalité de Hardy45
  - 1.8 Quelques exemples de séries à termes positifs fréquemment rencontrés46
  - 1.8.1 Séries associées aux sommes partielles ou aux restes46
  - 1.8.2 Le critère de condensation de Cauchy48
  - 1.8.3 Exemples significatifs d'approche concernant la nature d'une série à termes >/= 049
  - 1.9 Séries à termes quelconques : généralités51
  - 1.9.1 Comparaison avec une intégrale51
  - 1.9.2 Etude de la série binomiale de paramètre Alpha réel54
  - 1.9.3 Utilisation de groupements par paquets56
  - 1.10 Convergence au sens de Poisson des séries numériques57
  - C - Familles sommables63
  - 1.10.1 Commençons donc par des exemples de familles sommables63
  - 1.10.2 Des applications des théorèmes de Fubini et de sommation par paquets66
  - 1.10.3 Familles sommables et arithmétique68
  - 1.10.4 Famille sommable associée à une suite de carré sommable : inégalité de Hilbert70
  - 1.10.5 Des exemples laissés aux soins du lecteur71
  - Chapitre 2 : Suites et Séries de fonctions73
  - 2.1 Rappels de cours74
  - 2.2 Des cas importants où la convergence simple implique la convergence uniforme77
  - 2.2.1 Le théorème de Dini77
  - 2.2.2 Un théorème d'Ascoli79
  - 2.2.3 Des théorèmes "moins connus"81
  - 2.3 Approximation uniforme d'une fonction réelle continue sur un segment [a, b]83
  - 2.4 Théorème de densité trigonométrique de Weierstrass85
  - 2.5 Approximations uniformes via les noyaux de Poisson ou de Dirac90
  - 2.5.1 Utilisation du noyau de Poisson : procédé de sommation d'Abel90
  - 2.5.2 Noyaux de Dirac et suites régularisantes associées93
  - 2.6 En pratique, comment peut-on s'y prendre pour démontrer la convergence uniforme ?98
  - 2.7 Une série de fonctions liée à l'équation de la chaleur105
  - 2.8 Techniques d'estimation Taubériennes des sommes de séries de fonctions113
  - Chapitre 3 : Les séries entières123
  - 3.1 Rappels de cours124
  - 3.2 Des développements en SE "essentiels"126
  - 3.3 Approches pratiques assurant l'existence d'un développement en SE127
  - 3.3.1 D'abord, pour commencer, un exemple :127
  - 3.3.2 Cas des fonctions absolument monotones128
  - 3.3.3 Approche dite de "l'équation différentielle"130
  - 3.3.4 Cas où la fonction à développer f est du type f = 1/g134
  - 3.3.5 Cas où f est une fraction rationnelle n'admettant pas 0 pour pôle :137
  - 3.4 Inégalités de Cauchy139
  - 3.4.1 Les inégalités de Cauchy139
  - 3.4.2 Applications139
  - 3.5 Analyticité des fonctions sommes de SE Applications143
  - 3.5.1 Elle fait l'objet de l'énoncé suivant :143
  - 3.5.2 Application : la série génératrice des polynômes d'Hermite144
  - 3.6 Comportement de la somme d'une SE réelle aux bornes de son intervalle de convergence145
  - 3.6.1 Le théorème de la convergence radiale d'Abel-Dirichlet145
  - 3.6.1.1 C'est un théorème qui a pour objet "d'étendre" le champ de la convergence uniforme pour une SE de variable réelle145
  - 3.6.1.2 Remarques et applications :146
  - 3.6.1.3 Exemple d'application : Calcul pour Thêta (...) ]0,2Pi[ de 8 Sigma n=1 sin(nThêta)/n147
  - 3.6.2 Cas où la suite (a_n) est positive et où Sigma n>/=0 a_nRⁿ = +Infini149
  - 3.6.2.1 L'étude du comportement de f au voisinage de x = R est souvent réglée à l'aide de l'énoncé suivant149
  - 3.6.2.2 Des exemples d'application150
  - 3.6.2.3 D'autres techniques très efficaces dans le cas où Sigma n>/=0 a_nRⁿ = +Infini153
  - 3.7 Séries entières et dénombrements157
  - 3.8 Séries entières et équations différentielles166
  - 3.9 Séries entières lacunaires170
  - 3.9.1 Définition :170
  - 3.9.2 Un résultat valable pour toutes ses SE lacunaires du type Sigma n>/=0 x_Pn170
  - 3.9.3 Deux exemples de SE lacunaires172
  - 3.9.3.1 Cas de Psi(x) :172
  - 3.9.3.2 Cas de Phi(x) :173
  - 3.10 Un résultat important concernant les SE Sigma n>/=0 a_nRⁿ de rayon de convergence égal à 1 où a_n >/= 0 pour tout n174
  - Chapitre 4 : Calcul intégral183
  - 4.1 Rappels de cours183
  - A - Rappels de cours de mathématiques supérieures184
  - B - Rappels de cours de deuxième année185
  - 4.2 Exercices d'initiation au calcul intégral190
  - A - Autour du théorème de la convergence dominée190
  - B - Des énoncés de calcul intégral très utiles en analyse195
  - 4.3 Calculs d'intégrales classiques225
  - 4.3.1 Calcul de l'intégrale de Dirichlet225
  - 4.3.2 Les intégrales de Fresnel227
  - 4.3.3 Calcul de l'intégrale de Gauss227
  - 4.3.4 Calcul des intégrales de Poisson229
  - 4.3.5 Des calculs intégraux utilisant le cours et ce qui précède232
  - 4.4 Le produit de convolution intégral237
  - 4.5 Fonctions définies par des intégrales247
  - 4.5.1 Transformée de Fourier de la densité du khi-deux a une dimension248
  - 4.5.2 Transformée de Fourier de la fonction de Gauss :252
  - 4.5.3 Identité de Poisson254
  - 4.5.4 Encore quelques calculs de fonctions définies par une intégrale260
  - 4.6 La transformation intégrale de Fourier262
  - 4.6.1 Définition et exemples262
  - 4.6.2 La formule d'inversion de Fourier263
  - 4.6.3 Applications de la formule d'inversion aux fonctions de la classe de Schwartz266
  - 4.6.4 Application de la transformée de Fourier au produit de convolution268
  - 4.6.5 Transformée de Fourier et formule sommatoire de Poisson269
  - 4.6.6 Formules de Parseval et de Plancherel : applications271
  - Index alphabétique277
Origine de la notice:
- FR-751131015