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Relativité générale

Livre

Résumé

Un cours sur la relativité générale adapté au premier cycle universitaire.


  • Contributeur(s)
  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2014
  • Notes
    • Index
  • Langues
    • Français
    • , traduit de : Anglais
  • Description matérielle
    • 1 vol. (481 p.) : illustrations en noir et blanc ; 28 x 22 cm
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 978-2-8041-8470-4
  • Indice
  • Quatrième de couverture
    • Qu'est-ce que la gravitation ?

      La relativité générale, qui permet de décrire la gravitation dans un cadre qui respecte les lois de la relativité restreinte, est une théorie complexe, dont l'étude et l'expertise sont longtemps restées réservées aux physiciens particulièrement courageux et amateurs de sensations fortes mathématiques.

      Depuis une vingtaine d'années, la situation a beaucoup changé et plusieurs auteurs ont su extraire de cette complexité des façons beaucoup plus simples de présenter et d'enseigner cette discipline. Cette matière est aujourd'hui enseignée en début de master, voire en fin de licence universitaire, permettant à un grand nombre d'étudiants d'aborder des thèmes qui les intriguent ou les font rêver : trous noirs, cosmologie, ondes gravitationnelles, etc.

      La relativité générale à la portée de tous

      L'ouvrage de Thomas A. Moore est un des premiers qui proposent un cours de relativité générale au niveau de la licence universitaire, en adaptant la présentation et la pédagogie à ce public pour qu'il découvre cette discipline, sans sacrifier pour autant le contenu : il est parfaitement adapté aussi pour les étudiants de master.

      Un bon guide à travers les trous noirs

      De la présentation des fondements de cette théorie à ses applications les plus avancées (cosmologie, thermodynamique des trous noirs, ondes gravitationnelles), le lecteur est sans cesse guidé dans sa progression grâce à de nombreux encadrés qui développent pas à pas la plupart des calculs importants. Les aspects calculatoires sont clairement séparés des aspects conceptuels, dans le texte principal.


  • Tables des matières
      • Relativité générale

      • De boeck

      • 1 Introduction 1
      • 2 Rappels de relativité restreinte 13
      • Encadré 2.1 : Les référentiels inertiels qui se chevauchent ont des vitesses relatives constantes19
      • Encadré 2.2 : Conversions entre les unités SI et les unités RG20
      • Encadré 2.3 : Une démonstration de la transformation de Lorentz21
      • Encadré 2.4 : Transformations de Lorentz et rotations25
      • Encadré 2.5 : L'intervalle d'espace-temps ne dépend pas du référentiel26
      • Encadré 2.6 : L'ordre des événements ne dépend pas du référentiel26
      • Encadré 2.7 : Temps propre le long d'un chemin27
      • Encadré 2.8 : Contraction des longueurs27
      • Encadré 2.9 : Transformation relativiste des vitesses28
      • 3 Quadri-vecteurs 31
      • Encadré 3.1 : Le produit scalaire est indépendant du référentiel36
      • Encadré 3.2 : La norme invariante de la quadri-vitesse36
      • Encadré 3.3 : La limite de u à faible vitesse37
      • Encadré 3.4 : Conservation de la quantité de mouvement ou de la quadri-quantité de mouvement ?38
      • Encadré 3.5 : Exemple : la coupure GZK sur l'énergie des rayons cosmiques40
      • 4 Notation indicielle 43
      • Encadré 4.1 : Comportement du delta de Kronecker48
      • Encadré 4.2 : Unité du champ électromagnétique dans le système d'unités RG48
      • Encadré 4.3 : Les équations de l'électromagnétisme en notation indicielle49
      • Encadré 4.4 : Identifier les indices libres et les indices muets50
      • Encadré 4.5 : Violations des règles50
      • Encadré 4.6 : Exemples de démonstrations51
      • 5 Coordonnées arbitraires 53
      • Encadré 5.1 : La base naturelle en coordonnées polaires58
      • Encadré 5.2 : Démonstration de la loi de transformation de la métrique59
      • Encadré 5.3 : Un exemple 2D : les coordonnées paraboliques60
      • Encadré 5.4 : Les transformations de Lorentz comme transformations générales62
      • Encadré 5.5 : Transformation de la métrique en espace plat62
      • Encadré 5.6 : Une métrique pour la sphère63
      • 6 Équations tensorielles 65
      • Encadré 6.1 : Exemples de covecteurs gradient70
      • Encadré 6.2 : Descendre les indices71
      • Encadré 6.3 : L'inverse de la métrique72
      • Encadré 6.4 : Le delta de Kronecker est un tenseur73
      • Encadré 6.5 : Opérations sur les tenseurs73
      • 7 Équations de Maxwell 77
      • Encadré 7.1 : Équation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss82
      • Encadré 7.2 : La dérivée de m283
      • Encadré 7.3 : Monter et descendre des indices en coordonnées cartésiennes83
      • Encadré 7.4 : L'équation tensorielle de conservation de la charge84
      • Encadré 7.5 : L'antisymétrie de F entraine la conservation de la charge85
      • Encadré 7.6 : Le potentiel vecteur86
      • Encadré 7.7 : Démonstration des équations de Maxwell dans le vide (équation 7.20)87
      • 8 Géodésiques 89
      • Encadré 8.1 : La ligne d'univers de temps propre maximal en espace-temps plat93
      • Encadré 8.2 : Dérivation de l'équation d'Euler-Lagrange94
      • Encadré 8.3 : Dérivation de la seconde forme de l'équation des géodésiques95
      • Encadré 8.4 : Géodésiques de l'espace plat en coordonnées paraboliques96
      • Encadré 8.5 : Géodésiques pour la surface d'une sphère98
      • Encadré 8.6 : L'équation des géodésiques ne détermine pas l'échelle de Tau100
      • Encadré 8.7 : Géodésiques de la lumière en espace-temps plat101
      • 9 Métrique de Schwarzschild 105
      • Encadré 9.1 : Distance radiale110
      • Encadré 9.2 : Chute libre depuis le repos dans l'espace-temps de Schwarzschild111
      • Encadré 9.3 : Valeur de GM pour la Terre et pour le Soleil112
      • Encadré 9.4 : Décalage vers le rouge gravitationnel en champ faible112
      • 10 Orbites de particules 115
      • Encadré 10.1 : Les orbites de Schwarzschild doivent être planes120
      • Encadré 10.2 : L'équation de «conservation de l'énergie» de Schwarzschild121
      • Encadré 10.3 : Conservation de l'énergie des orbites newtoniennes122
      • Encadré 10.4 : Les rayons des orbites circulaires122
      • Encadré 10.5 : La troisième loi de Kepler124
      • Encadré 10.6 : L'orbite stable de plus faible rayon125
      • Encadré 10.7 : Énergie rayonnée par une particule spiralant vers l'intérieur126
      • 11 Précession du périhélie 129
      • Encadré 11.1 : Vérification de l'équation orbitale pour u(Phi)135
      • Encadré 11.2 : Vérification de l'équation orbitale newtonienne135
      • Encadré 11.3 : Vérification de l'équation sur la perturbation orbitale136
      • Encadré 11.4 : Application à Mercure136
      • Encadré 11.5 : Construction du diagramme de plongement de Schwarzschild137
      • Encadré 11.6 : Calcul du secteur angulaire Delta138
      • Encadré 11.7 : Calcul numérique des orbites de Schwarzschild138
      • 12 Orbites de photons 143
      • Encadré 12.1 : Interprétation du paramètre d'impact b148
      • Encadré 12.2 : Démonstration de l'équation du mouvement pour un photon148
      • Encadré 12.3 : Propriétés de l'énergie potentielle pour la lumière149
      • Encadré 12.4 : Mouvement d'un photon en espace-temps plat149
      • Encadré 12.5 : Évaluation des composantes d'un quadri-vecteur dans le référentiel d'un observateur150
      • Encadré 12.6 : Une base orthonormée en coordonnées de Schwarzschild150
      • Encadré 12.7 : Angles critiques pour l'émission de photons151
      • 13 Déviation de la lumière 153
      • Encadré 13.1 : Vérification de l'équation 13.2159
      • Encadré 13.2 : L'équation différentielle donnant la forme de l'orbite des photons160
      • Encadré 13.3 : L'équation différentielle donnant la perturbation de l'orbite des photons160
      • Encadré 13.4 : La forme de la solution u(Phi) dans la limite de grand r161
      • Encadré 13.5 : L'angle de déviation maximale de la lumière par le Soleil161
      • Encadré 13.6 : L'équation des lentilles162
      • Encadré 13.7 : Rapport entre la luminosité des images et celle de la source163
      • 14 Horizon des événements 167
      • Encadré 14.1 : La distance jusqu'à r = 2GM est finie172
      • Encadré 14.2 : Temps propre lors d'une chute libre de r = R à r = 0174
      • Encadré 14.3 : Le futur est fini à l'intérieur de l'horizon des événements175
      • 15 Coordonnées alternatives 179
      • Encadré 15.1 : Calcul de (...)/(...)r184
      • Encadré 15.2 : La métrique de pluie globale185
      • Encadré 15.3 : Les limites de dr / d(...) à l'intérieur de l'horizon des événements185
      • Encadré 15.4 : Obtention des coordonnées de Kruskal-Szekeres186
      • 16 Thermodynamique des trous noirs 189
      • Encadré 16.1 : Temps de chute libre sur l'horizon depuis r = 2GM + (...)194
      • Encadré 16.2 : Calcul de EInfini195
      • Encadré 16.3 : Calcul de kB, (...) et T pour un trou noir solaire196
      • Encadré 16.4 : Temps de vie d'un trou noir197
      • 17 Dérivée covariante 199
      • Encadré 17.1 : Dérivée covariante d'un vecteur204
      • Encadré 17.2 : Dérivée covariante d'un covecteur204
      • Encadré 17.3 : Symétrie des symboles de Christoffel205
      • Encadré 17.4 : Les symboles de Christoffel en fonction de la métrique205
      • Encadré 17.5 : Vérification de l'équation des géodésiques206
      • Encadré 17.6 : Une astuce pour calculer les symboles de Christoffel206
      • Encadré 17.7 : Le théorème de platitude locale207
      • 18 Déviation des géodésiques 211
      • Encadré 18.1 : Déviation de marée newtonienne près d'un objet sphérique216
      • Encadré 18.2 : Démonstration de l'équation 18.9217
      • Encadré 18.3 : La dérivée covariante de n217
      • Encadré 18.4 : Démonstration de l'équation 18.14218
      • Encadré 18.5 : Exemple de calcul du tenseur de Riemann218
      • 19 Tenseur de Riemann 221
      • Encadré 19.1 : Le tenseur de Riemann dans un référentiel localement inertiel224
      • Encadré 19.2 : Symétries du tenseur de Riemann225
      • Encadré 19.3 : Comptage des degrés de liberté indépendants du tenseur de Riemann226
      • Encadré 19.4 : Identité de Bianchi227
      • Encadré 19.5 : Le tenseur de Ricci est symétrique228
      • Encadré 19.6 : Le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci pour une sphère228
      • 20 Tenseur énergie-impulsion 231
      • Encadré 20.1 : Pourquoi la source de la gravitation doit être l'énergie et non la masse237
      • Encadré 20.2 : Interprétation de Tij dans un référentiel localement inertiel237
      • Encadré 20.3 : Le tenseur énergie-impulsion d'un fluide parfait dans son référentiel au repos238
      • Encadré 20.4 : L'équation 20.16 se ramène à l'équation 20.15240
      • Encadré 20.5 : La dynamique des fluides à partir de la conservation de la quadri-quantité de mouvement240
      • 21 L'équation d'Einstein 245
      • Encadré 21.1 : Divergence du tenseur de Ricci250
      • Encadré 21.2 : Détermination de la valeur de b251
      • Encadré 21.3 : Démonstration de - R + 4Lambda = kT252
      • 22 Interprétation de l'équation 255
      • Encadré 22.1 : La conservation de la quadri-impulsion entraîne que 0 = (...)v(Rhôouµ)260
      • Encadré 22.2 : L'inverse de la métrique en champ faible260
      • Encadré 22.3 : Le tenseur de Riemann dans la limite de champ faible261
      • Encadré 22.4 : Le tenseur de Ricci dans la limite de champ faible262
      • Encadré 22.5 : Les sources d'énergie-impulsion des perturbations de la métrique263
      • Encadré 22.6 : L'équation des géodésiques pour une particule lente dans un champ faible264
      • 23 La solution de Schwarzschild 267
      • Encadré 23.1 : Diagonalisation d'une métrique à symétrie sphérique272
      • Encadré 23.2 : Les composantes du tenseur de Ricci273
      • Encadré 23.3 : Détermination de B276
      • Encadré 23.4 : Détermination de a(r)277
      • Encadré 23.5 : Les symboles de Christoffel ayant pour indices tt277
      • 24 L'Univers observé 281
      • Encadré 24.1 : Mesure des distances astronomiques dans le Système solaire286
      • Encadré 24.2 : Détermination de la distance des amas stellaires288
      • Encadré 24.3 : Relation entre décalage Doppler et vitesse radiale289
      • Encadré 24.4 : Valeurs de la constante de Hubble290
      • Encadré 24.5 : Tout point est le «centre» de l'expansion290
      • Encadré 24.6 : Indications de la présence de matière noire291
      • 25 Une métrique pour le Cosmos 295
      • Encadré 25.1 : Le tenseur de Ricci de l'Univers300
      • Encadré 25.2 : Montrer un indice du tenseur de Ricci de l'Univers300
      • Encadré 25.3 : Le tenseur énergie-impulsion avec un indice en bas300
      • Encadré 25.4 : L'équation d'Einstein avec un indice en bas303
      • Encadré 25.5 : Vérification de la solution pour q304
      • 26 Évolution de l'Univers 307
      • Encadré 26.1 : Les autres composantes de l'équation d'Einstein312
      • Encadré 26.2 : Conservation locale de l'énergie et de la quantité de mouvement313
      • Encadré 26.3 : Relation densité/échelle pour le rayonnement314
      • Encadré 26.4 : Démonstration de l'équation de Friedmann314
      • Encadré 26.5 : L'équation de Friedmann pour le temps présent315
      • Encadré 26.6 : L'équation de Friedmann en fonction des Omegas315
      • Encadré 26.7 : Comportement d'un Univers dominé par la matière316
      • 27 Implications cosmiques 319
      • Encadré 27.1 : Relation entre le redshift z et la constante de Hubble324
      • Encadré 27.2 : La loi de Hubble en fonction du redshift z324
      • Encadré 27.3 : Distance de luminosité325
      • Encadré 27.4 : L'équation différentielle sur a(Eta)325
      • Encadré 27.5 : Résolution numérique de l'équation 27.18326
      • 28 L'Univers primordial 329
      • Encadré 28.1 : Univers à une composante334
      • Encadré 28.2 : Transition vers l'Univers dominé par la matière335
      • Encadré 28.3 : Relation temps/température335
      • Encadré 28.4 : Découplage des neutrinos337
      • Encadré 28.5 : La densité numérique des photons339
      • 29 Fluctuations du CMB et inflation 341
      • Encadré 29.1 : La taille angulaire des plus grandes fluctuations du CMB347
      • Encadré 29.2 : L'équation sur Omegak(t)348
      • Encadré 29.3 : Platitude cosmique à la fin de la nucléosynthèse primordiale349
      • Encadré 29.4 : La formule de l'inflation exponentielle349
      • Encadré 29.5 : Calculs d'inflation350
      • 30 Liberté de jauge 353
      • Encadré 30.1 : L'équation d'Einstein en champ faible en fonction de hµUpsilon357
      • Encadré 30.2 : Inversion de la trace de hµUpsilon358
      • Encadré 30.3 : L'équation d'Einstein en champ faible en fonction de HµUpsilon359
      • Encadré 30.4 : Transformations de jauge des perturbations de la métrique360
      • Encadré 30.5 : Une transformations de jauge qui n'affecte pas RAlphaßµUpsilon361
      • Encadré 30.6 : Jauge de Lorenz362
      • Encadré 30.7 : Liberté de jauge additionnelle363
      • 31 Détection des ondes gravitationnelles 365
      • Encadré 31.1 : Contraintes sur notre solution d'essai370
      • Encadré 31.2 : Transformation vers la jauge transverse de trace nulle371
      • Encadré 31.3 : Une particule au repos reste au repos dans les coordonnées TT373
      • Encadré 31.4 : Effet d'une onde gravitationnelle sur des particules disposées en cercle374
      • 32 Énergie des ondes gravitationnelles 377
      • Encadré 32.1 : Le tenseur de Ricci381
      • Encadré 32.2 : Le scalaire de courbure moyen381
      • Encadré 32.3 : Densité d'énergie des ondes gravitationnelles, dans le cas général381
      • 33 Sources des ondes gravitationnelles 385
      • Encadré 33.1 : H pour une source compacte dont le centre de masse est au repos390
      • Encadré 33.2 : Une identité utile390
      • Encadré 33.3 : Les composantes transverses et de trace nulle de AµUpsilon392
      • Encadré 33.4 : Comment trouver (...)jkTT pour des ondes se déplaçant dans la direction (...)393
      • Encadré 33.5 : Le flux en fonction de (...)jk395
      • Encadré 33.6 : Évaluation des intégrales dans le calcul de la puissance396
      • 34 Astronomie des ondes gravitationnelles 399
      • Encadré 34.1 : Le (...)jk de l'haltère404
      • Encadré 34.2 : Puissance rayonnée par l'haltère405
      • Encadré 34.3 : Énergie totale d'un couple binaire en orbite406
      • Encadré 34.4 : Vitesse de variation de la période orbitale406
      • Encadré 34.5 : Caractéristiques de Iota Bootis407
      • 35 Gravitomagnétisme 409
      • Encadré 35.1 : Condition de Lorenz pour les potentiels414
      • Encadré 35.2 : Équations de Maxwell pour le champ gravitationnel415
      • Encadré 35.3 : Les équations de Lorentz gravitationnelles416
      • Encadré 35.4 : Le «moment gravito-magnétique» d'un objet en rotation416
      • Encadré 35.5 : Vitesse angulaire de précession d'un gyroscope417
      • 36 Métrique de Kerr 419
      • Encadré 36.1 : Développement de ||(...) - (...)||-1 au premier ordre en r / R423
      • Encadré 36.2 : L'intégrale donnant htx424
      • Encadré 36.3 : Pourquoi les autres termes du développement donnent zéro dans l'intégrale425
      • Encadré 36.4 : Transformation en coordonnées sphériques de la solution en champ faible426
      • Encadré 36.5 : La limite en champ faible de la métrique de Kerr427
      • 37 Orbites des particules dans l'espace-temps de Kerr 429
      • Encadré 37.1 : Calcul des expressions de dt/dTau et dPhi/dTau433
      • Encadré 37.2 : Vérification de la valeur de [gtPhi]2 - gttgPhiPhi434
      • Encadré 37.3 : Les équations de «conservation de l'énergie» au cours du mouvement435
      • Encadré 37.4 : Troisième loi de Kepler436
      • Encadré 37.5 : Rayon minimal des orbites circulaires stables quand a = GM437
      • 38 Ergorégion et horizon 439
      • Encadré 38.1 : Les rayons où gtt = 0443
      • Encadré 38.2 : L'intervalle de vitesses angulaires lorsque dr ou dThêta (...) 0444
      • Encadré 38.3 : Limites sur la vitesse angulaire dans le plan équatorial445
      • Encadré 38.4 : La métrique de l'horizon des événements446
      • Encadré 38.5 : L'aire de l'horizon des événements externe de Kerr447
      • Encadré 38.6 : Transformations qui préservent le signe du déterminant des matrices447
      • 39 Orbites d'énergie négative 451
      • Encadré 39.1 : Forme quadratique pour la conservation de l'énergie456
      • Encadré 39.2 : La racine carrée est nulle sur l'horizon des événements457
      • Encadré 39.3 : e ne peut être négatif que dans l'ergorégion458
      • Encadré 39.4 : La limite fondamentale sur DeltaM en fonction de DeltaS459
      • Encadré 39.5 : DeltaM >/= 0460
      • Encadré 39.6 : La contribution de l'énergie de rotation à la masse du trou noir461

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 53(07) MOO

    Niveau 2 - Sciences