La théorie des ensembles : introduction à une théorie de l'infini

Auteur(s) :

Dehornoy, Patrick (1952-2019) Découvrir l'auteur

Résumé

Les fondamentaux de la théorie des ensembles sont présentés, des débuts aux derniers résultats. ©Electre 2017

Éditeur(s)
- Calvage et Mounet
Date
- 2017
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (672 p.) ; 24 x 16 cm
Collections
- Tableau noir
Sujet(s)
- Théorie des ensembles
- Mathématiques
ISBN
- 978-2-916352-40-4
Indice
- 511.1 Théorie des ensembles, classes, structures, morphismes et catégories
Quatrième de couverture
- Tableau Noir - Calvage et Mounet
  Non, la théorie des ensembles, ce n'est pas dessiner des patates et des flèches... c'est élaborer en une théorie mathématique notre exploration de l'infini, ni plus, ni moins. Non, la théorie des ensembles n'est pas le système fondationnel unique des mathématiques... c'est un des systèmes possibles, tout comme par exemple la récente théorie homotopique des types. Non, l'entier 2 n'est pas l'ensemble (...)... celui-ci n'est qu'une représentation de l'entier 2 par un ensemble. Non, la non-prouvabilité de l'hypothèse du continu à partir du système ZF n'indique pas que la question doive rester à jamais ouverte... c'est juste le signe que les bases axiomatiques actuelles sont incomplètes : le système ZF a d'ores et déjà été amendé, et le sera probablement à nouveau dans le futur.
  Oui, la théorie des ensembles est une magnifique théorie qui, peu à peu, apporte de la lumière dans le monde de l'infini, et oui, même si les détails sont parfois arides et exigeants, il est possible de bien saisir les grandes étapes de son cheminement. C'est le sujet de ce livre.
  Si la théorie des ensembles n'est peut-être pas le paradis que décrivait Hilbert, elle reste un domaine captivant ! Ce livre présente de manière très accessible non seulement les résultats de base de la théorie, mais aussi des résultats récents absolument fascinants pour tout mathématicien curieux sur les fondements de sa discipline.
  Thierry Coquand
  This book is a remarkable achievement, one that will find a distinctive place among modern expositions of set theory. Assuming some considerable mathematical sophistication, Dehornoy takes the industrious reader on a journey through the theory of the infinite and the ascent into the heights of large cardinals and determinacy.
  Akihiro Kanamori
  Le livre qui vous fera réaliser que la théorie des ensembles n'est pas ce que vous imaginiez.
  Cédric Villani
Tables des matières
- - La théorie des ensembles
  - Introduction à une théorie de l'infini et des grands cardinaux
  - Patrick Dehornoy
  - Calvage et Mounet
  - Partie A. Théorie élémentaire
  - I. Le type « ensemble »
  - 1. Pourquoi une théorie des ensembles ?4
  - 1.1. La notion d'ensemble4
  - 1.2. Utilité des ensembles6
  - 1.3. Premiers résultats, premiers problèmes7
  - 2. Opérations ensemblistes14
  - 2.1. Le treillis des parties d'un ensemble15
  - 2.2. Les algèbres de Boole comme structures algébriques17
  - 2.3. Algèbres de Boole finies19
  - 3. Ébauche d'une théorie des ensembles21
  - 3.1. Une tentative naïve21
  - 3.2. Le système de Cantor23
  - 3.3. Le paradoxe de Berry24
  - 3.4. Le paradoxe de Russell28
  - 3.5. Ensembles purs et système de Zermelo32
  - II. Les ordinaux
  - 1. Les bons ordres40
  - 1.1. Relations bien fondées et bons ordres41
  - 1.2. Rigidité et comparabilité des bons ordres44
  - 1.3. Opérations sur les bons ordres47
  - 2. Une construction des ordinaux54
  - 2.1. Ensembles transitifs et ordinaux54
  - 2.2. L'ordre sur les ordinaux59
  - 2.3. Borne supérieure ; ordinaux limites61
  - 2.4. Le théorème de comparaison64
  - 3. L'arithmétique ordinale66
  - 3.1. L'addition ordinale66
  - 3.2. La multiplication ordinale69
  - 3.3. L'exponentiation ordinale72
  - 3.4. Ordinaux non dénombrables74
  - 4. Deux applications76
  - 4.1. Le théorème de Cantor-Bendixson77
  - 4.2. Le théorème de Goodstein79
  - III. Le système de Zermelo-Fraenkel
  - 1. Représentation par des ensembles purs86
  - 1.1. Ensembles purs86
  - 1.2. Représentation des entiers naturels90
  - 1.3. Représentation des couples et des fonctions91
  - 1.4. Représentation de tous les objets mathématiques94
  - 2. Axiomatisation des exemples purs96
  - 2.1. Extensions par définition96
  - 2.2. Représentations des couples et des fonctions99
  - 2.3. Construction des ordinaux101
  - 2.4. Les axiomes de remplacement106
  - 3. Définitions récursives110
  - 3.1. Récursion sur les entiers110
  - 3.2. Récursion ordinale112
  - 3.3. Récursion ordinale généralisée114
  - 4. La théorie des ensembles120
  - 4.1. L'axiome de fondation et le système ZF120
  - 4.2. La règle du jeu123
  - IV. L'axiome du choix
  - 1. L'axiome du choix130
  - 1.1. Fonctions de choix130
  - 1.2. Formes alternatives de l'axiome du choix133
  - 2. Des applications de l'axiome du choix140
  - 2.1. Dénombrement140
  - 2.2. Ensembles ordonnés et algèbre142
  - 2.3. Topologie et analyse145
  - 2.4. Géométrie150
  - 3. L'axiome du choix est-il vrai ?156
  - 3.1. Une question ambiguë156
  - 3.2. Est-il opportun d'adopter l'axiome du choix ?157
  - V. Les cardinaux
  - 1. Cardinaux finis et infinis162
  - 1.1. La notion de cardinal162
  - 1.2. Dénombrements finis165
  - 1.3. Les cardinaux infinis166
  - 2. L'arithmétique cardinale169
  - 2.1. Opérations à deux arguments169
  - 2.2. Sommes et produits infinis172
  - 2.3. Les cardinaux sans axiome du choix173
  - 3. La cofinalité176
  - 3.1. Ensemble cofinaux176
  - 3.2. Cardinaux réguliers et singuliers179
  - 3.3. Puissance et exponentiation cardinales180
  - 4. La combinatoire sur w₁184
  - 4.1. Ensembles clos cofinaux et le théorème de Fodor184
  - 4.2. Le théorème de Silver187
  - Partie B. Un peu de logique mathématique
  - VI. Logique propositionnelle
  - 1. La logique booléenne196
  - 1.1. Logiques formelles : syntaxe et sémantique196
  - 1.2. La logique booléenne198
  - 1.3. Sémantique de la logique booléenne200
  - 2. Un théorème de complétude202
  - 2.1. Preuve par coupure203
  - 2.2. La forme locale du théorème de complétude205
  - 2.3. La forme globale du théorème de complétude208
  - VII. Logique du premier ordre
  - 1. Logiques du premier ordre216
  - 1.1. Les formules de la logique (...)216
  - 1.2. Sémantique de la logique (...)220
  - 1.3. Exprimabilité au premier ordre223
  - 2. Le théorème de complétude226
  - 2.1. Preuves226
  - 2.2. Le théorème de la déduction229
  - 2.3. Théories explicitement complètes230
  - 2.4. La méthode de Henkin233
  - 3. Applications du théorème de complétude236
  - 3.1. La méthode sémantique237
  - 3.2. Limitations du pouvoir d'expression240
  - 3.3. Modèles de l'arithmétique244
  - 4. La logique du premier ordre comme modèle248
  - 4.1. Modélisation par la logique du premier ordre249
  - 4.2. Contexte métamathématique252
  - 4.3. Les logiques du second ordre255
  - VIII. Théorèmes de limitation
  - 1. Fonctions et relations récursives260
  - 1.1. Fonctions primitives récursives261
  - 1.2. Représentation des suites finies266
  - 1.3. Fonctions et relations récursives269
  - 2. Arithmétisation de la syntaxe273
  - 2.1. Numérotation des formules273
  - 2.2. Numérotation des preuves276
  - 3. L'arithmétique de Robinson279
  - 3.1. Modules du système PA_faible280
  - 3.2. Absoluité des formules (...)284
  - 3.3. Représentabilité286
  - 4. Indécidabilité et incomplétude292
  - 4.1. Le lemme diagonal292
  - 4.2. Le théorème d'indécidabilité de Church294
  - 4.3. Le théorème de non-définissabilité de la vérité de Tarski296
  - 4.4. Le premier théorème d'incomplétude de Gödel299
  - 4.5. Le second théorème d'incomplétude de Gödel302
  - IX. Théorie descriptive des ensembles
  - 1. Les boréliens d'un espace polonais312
  - 1.1. Les espaces polonais313
  - 1.2. La hiérarchie borélienne319
  - 1.3. Classification des espaces polonais324
  - 2. La hiérarchie projective327
  - 2.1. Les ensembles analytiques328
  - 2.2. Les ensembles projectifs330
  - 2.3. Le théorème de Souslin332
  - 3. Les hiérarchies effectives339
  - 3.1. Les ensembles récursifs340
  - 3.2. Les hiérarchies arithmétique et analytique342
  - 3.3. Lien avec les ensembles boréliens et projectifs346
  - Partie C. Théorie axiomatique des ensembles
  - X. Modèles de ZF
  - 1. La notion de modèle de ZF354
  - 1.1. Le modèle d'Ackermann355
  - 1.2. Construction de modèles de ZF357
  - 1.3. La méthode sémantique en théorie des ensembles361
  - 2. Modèles transitifs365
  - 2.1. Satisfaction des axiomes de ZF366
  - 2.2. Formules et opérations absolues367
  - 2.3. Absoluité des formules (...)375
  - 2.4. Réduction aux modèles transitifs377
  - 3. Exemples et applications383
  - 3.1. Les structures (V_alpha, (...)) et (H_k, (...))383
  - 3.2. Résultats de non-prouvabilité387
  - XI. Les ensembles constructibles
  - 1. La classe L394
  - 1.1. Les opérations de Gödel395
  - 1.2. Le schéma de réflexion399
  - 1.3. La classe des ensembles constructibles403
  - 1.4. L'axiome du choix dans L406
  - 2. Les ensembles (...)408
  - 2.1. Définissabilités externe et interne409
  - 2.2. Les ensembles (...)413
  - 2.3. L'hypothèse généralisée du continu415
  - 2.4. Élimination de AC et HC420
  - 3. Propriétés combinatoires de L422
  - 3.1. Le bon ordre canonique de L423
  - 3.2. Les principes combinatoires (...) et (...)426
  - 3.3. L'axiome V = L est-il vrai ?431
  - 4. D'autres modèles intérieurs432
  - 4.1. Constructibilité relative433
  - 4.2. Les modèles HOD et leurs variantes434
  - XII. La méthode du forcing
  - 1. Extensions génériques440
  - 1.1. La méthode sémantique441
  - 1.2. Les noms et leur évaluation443
  - 1.3. Ensembles génériques et forcing445
  - 2. Pratique du forcing452
  - 2.1. Consistance relative de V (...) L452
  - 2.2. Consistance relative de (...)453
  - 2.3. Consistance relative de (...)457
  - 3. Des notions de forcing innombrables460
  - 3.1. Changement de cardinalité et de cofinalité460
  - 3.2. L'axiome de Martin464
  - 3.3. Valeur booléenne d'une formule469
  - 3.4. Indépendance vs. indécidabilité471
  - XIII. Les grands cardinaux (I)
  - 1. Les « petits » grands cardinaux476
  - 1.1. Les cardinaux inaccessibles477
  - 1.2. Les cardinaux faiblement compacts480
  - 1.3. Les cardinaux indescriptibles485
  - 2. Les cardinaux mesurables488
  - 2.1. Ultrafiltres complets488
  - 2.2. Ultraproduits et théorème de (...)492
  - 2.3. Ultrapuissances de modèles de ZFC497
  - 3. Le réel (...)503
  - 3.1. Cardinaux mesurables et constructibles504
  - 3.2. Le réel (...)506
  - 3.3. Le monde sans (...)511
  - 3.4. Les grands cardinaux existent-ils ?512
  - XIV. Les grands cardinaux (II)
  - 1. Les « grands » grands cardinaux516
  - 1.1. Plongements élémentaires517
  - 1.2. Les cardinaux forts et les cardinaux de Woodin520
  - 1.3. Les cardinaux supercompacts525
  - 2. Rangs autosimilaires528
  - 2.1. La borne de Kunen529
  - 2.2. Les cardinaux de Laver531
  - 2.3. Itérations d'un plongement élémentaire535
  - 3. Périodes dans les tables de Laver539
  - 3.1. Les tables de Laver540
  - 3.2. Quotients finis de Iter((...))544
  - 3.3. Deux résultats sur les périodes550
  - 3.4. Un type nouveau d'application de la théorie des ensembles554
  - 3.A. Appendice : propriétés élémentaires des tables de Laver556
  - XV. La détermination projective
  - 1. La propriété de détermination566
  - 1.1. Jeux infinis566
  - 1.2. Pouvoir d'expression570
  - 1.3. La détermination comme moyen d'exploration576
  - 2. Détermination et grands cardinaux580
  - 2.1. La détermination (...)581
  - 2.2. La détermination projective586
  - 2.3. La direction réciproque592
  - 3. Un nouveau cadre axiomatique595
  - 3.1. Deux approches complémentaires595
  - 3.2. Qu'est-ce qu'un axiome vrai ?597
  - 3.3. Le système ZFC+DP598
  - XVI. Un bilan mitigé
  - 1. Une accumulation de malentendus604
  - 1.1. Les espoirs déçus604
  - 1.2. Dogmes et errances bourbachiques606
  - 1.3. Un système fondationnel parmi d'autres608
  - 2. Une théorie de l'infini encore incomplète610
  - 2.1. Des réponses611
  - 2.2. Des questions qui résistent611
  - 2.3. Des interactions, mais souvent indirectes et limitées613
  - 3. Quelques pistes617
  - 3.1. Absoluité générique et axiomes de forcing617
  - 3.2. Les modèles canoniques623
  - 3.3. Une conclusion626
  - Bibliographie629
  - Notations635
  - Index641
Origine de la notice:
- Electre