Les ensembles : aux fondements des mathématiques
Résumé
Une introduction à la théorie des ensembles, dont le cadre axiomatique permet de décrypter l'ensemble du savoir mathématique : les nombres, les opérations, les structures, l'infini, la théorie et ses axiomes ou encore le dénombrable et le continu. ©Electre 2018
- Éditeur(s)
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Date
- 2017
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (155 p.) : illustrations en noir et en couleur ; 24 x 17 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-84884-213-4
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Indice
- 511.1 Théorie des ensembles, classes, structures, morphismes et catégories
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Quatrième de couverture
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Les ensembles
Aux fondements des mathématiques
¤ Histoire d'une théorie révolutionnaire
¤ Ensembles, relations et applications
¤ Opérations, structures, nombres
¤ L'infini et les paradoxes
¤ La théorie et ses axiomes
La théorie des ensembles a laissé un souvenir à tous ceux qui sont passés par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « dérouler » l'ensemble du savoir mathématique. Comment ? C'est ce que propose de découvrir cet ouvrage en levant le voile sur l'origine et la construction de cette théorie.
Tout est parti d'un malaise scientifique profond, la crise des fondements. L'édifice mathématique, que l'on croyait solide et inaltérable, était en fait morcelé de contradictions et d'objets mal définis ! L'introduction des ensembles à la fin du XIXe siècle a permis d'assainir la situation, tout en donnant naissance à son lot de paradoxes, d'impossibilités, de situations défiant l'intuition...
Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C'est ainsi qu'émergent les notions de structures et de fonctions, qui régissent la majorité des concepts mathématiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la géométrie en découlent de manière naturelle. Une telle simplicité conceptuelle confère aux ensembles et aux fonctions une efficacité redoutable !
Mais choisir les bons axiomes pour développer la théorie des ensembles et décrire les mathématiques (et, au-delà, toutes les sciences !) n'est pas une mince affaire...
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Tables des matières
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Tangente Hors-série n° 61
Les ensembles
Aux fondements des mathématiques
Pole
- Dossier Histoire d'une théorie révolutionnaire7
- La théorie des ensembles est l'archétype même d'une théorie structurante. Cette architecture abstraite n'est pas sortie de nulle part : elle trouve son origine dans des problèmes relatifs aux fondements des mathématiques durant le XIXe siècle.
- L'oeuvre mathématique de Bourbaki8
- Une approche des mathématiques qui dérange14
- Lewis Caroll, vers la logique moderne20
- Premières utilisations des ensembles22
- Le jeu de Dobble26
- Borges, la Bibliothèque de Babel30
- L'hôtel de Hilbert36
- Dossier Ensembles, relations, applications : une nouvelle approche37
- Au-delà de leur représentation naïve en « patatoïdes » connue sous le nom de « diagrammes de Venn », les ensembles offrent un cadre à une formalisation rigoureuse applicable à tous les domaines des mathématiques.
- De la collection d'objets à l'ensemble38
- L'ensemble et ses parties42
- Les diagrammes en patate, une idée qui donne la frite46
- Relations et applications : structurer les ensembles50
- Éblouissantes relations binaires54
- La médaille Hausdorff57
- Construire des nombres, une histoire au long cours58
- Un pour un64
- Le nom des éléments d'un ensemble66
- Un peu d'étymologie5, 6
- La querelle des maths modernes13
- Le jeu de Set29
- L'ensemble des ensembles41
- L'ensemble triadique de Cantor63, 85
- Sacrés paradoxes101, 108, 120, 135
- Dossier Opérations, structures, nombres69
- Les nombres sont au centre de l'édifice mathématique. Après un long règne de l'intuition, le besoin d'une axiomatique rigoureuse s'est fait sentir. Celle introduite par Péano pour définir les entiers naturels en est le plus bel exemple. Les opérations, elles aussi, entrent dans un cadre structurel d'une grande richesse.
- Kurt Gödel et l'indécidabilité70
- Adhérez aux groupes !74
- Qu'est-ce qu'un groupe ?80
- La dimension fractale de l'ensemble triadique85
- La naissance des concepts algébriques86
- L'algèbre logique de George Boole90
- Dossier Infini et paradoxes93
- Une étude des axiomes sur lesquels la théorie des ensembles est fondée fait émerger la notion d'infini, mais aussi des paradoxes : un ensemble peut-il être membre de lui-même ? Combien de types d'infinis existent-ils ?
- Une brève histoire de l'infini94
- Georg Cantor : passer du fini à l'infini98
- La multiplicité des infinis102
- Le roman de Lotfi Zadeh107
- Les ensembles flous :110
- modéliser les appartenances incertaines John von Neumann, mesure et démesure114
- Dossier Axiomatique121
- On reproche souvent à la théorie des ensembles son caractère formel, abstrait, axiomatique. Pourtant, de nombreuses richesses émanent d'un cadre général que l'on pourra décliner selon les envies et les besoins !
- Mais que sont les axiomes ?122
- La tentative de Zermelo pour éliminer les paradoxes128
- L'axiome du choix, si naturel, et pourtant si étonnant...132
- L'axiomatisation du hasard136
- Aux sources de la topologie140
- Dix problèmes en patates144
- En bref19, 36, 45, 149
- Nouvelle, Bizarre hasard127
- Problèmes150
- Solutions154
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Origine de la notice:
- Electre
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Disponible - 511.1 LES
Niveau 2 - Sciences
