Algèbre linéaire
Joseph Grifone
Cépaduès
Avant-ProposV
1 Espaces Vectoriels1
1.1 Introduction1
1.2 Espaces vectoriels4
1.3 Sous-espaces vectoriels6
1.4 Bases (en dimension finie)10
1.5 Existence de bases (en dimension finie)15
1.6 Les théorèmes fondamentaux sur la dimension17
1.7 Bases en dimension infinie20
1.8 Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires21
1.9 Somme et somme directe de plusieurs sous-espaces25
Exercices29
2 La méthode du pivot (ou méthode d'élimination de Gauss)37
2.1 Etude d'un système d'équations linéaires par la méthode du pivot37
2.2 Cas des systèmes linéaires homogènes42
2.3 Application aux familles libres et aux familles génératrices44
2.4 Utilisation pratique de la méthode du pivot48
Exercices53
3 Applications linéaires et matrices59
3.1 Applications linéaires59
3.2 Image et noyau. Image d'une famille de vecteurs61
3.3 Matrices et applications linéaires65
3.4 Produit de deux matrices72
3.5 Matrice d'un vecteur. Calcul de l'image d'un vecteur74
3.6 Produits de matrices. Matrice de l'inverse d'une application76
3.7 Changement de base78
3.8 Rang d'une application linéaire et rang d'une matrice82
3.9 Espace dual83
3.10 Annulateur d'un sous-espace89
Exercices91
4 Déterminants105
4.1 Définition des déterminants par récurrence105
4.2 Les déterminants vus comme formes multilinéaires alternées107
4.3 Permutations, transpositions, signature111
4.4 Une formule explicite pour le déterminant114
4.5 Déterminant de la transposée d'une matrice116
4.6 Calcul des déterminants117
4.7 Déterminant du produit de matrices. Déterminant d'un endomorphisme121
4.8 Calcul de l'inverse d'une matrice123
4.9 Application des déterminants à la théorie du rang124
4.10 Interprétation géométrique du déterminant : volume dans (...)129
4.11 Orientation133
Exercices136
5 Systèmes d'équations linéaires143
5.1 Définitions et interprétations143
5.2 Systèmes de Cramer144
5.3 Cas général. Le théorème de Rouché-Fontené146
5.4 Cas des systèmes homogènes150
Exercices151
6 Réduction des endomorphismes155
6.1 Position du problème155
6.2 Vecteurs propres157
6.3 Recherche des valeurs propres. Polynôme caractéristique159
6.4 Digression sur les polynômes160
6.5 Recherche des vecteurs propres163
6.6 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables165
6.7 Trois applications170
6.8 Trigonalisation173
6.9 Polynômes annulateurs. Théorème de Cayley-Hamilton176
6.10 Le Lemme des noyaux181
6.11 Recherche des polynômes annulateurs. Polynôme minimal183
6.12 Réduction en blocs triangulaires (ou réduction selon les espaces caractéristiques)186
6.13 Décomposition de Dunford190
6.14 La réduction de Jordan194
Exercices201
7 Espaces euclidiens219
7.1 Produit scalaire canonique dans (...) et (...)219
7.2 Produit scalaire sur un espace vectoriel. Espaces euclidiens223
7.3 Méthode de Gauss pour la réduction en carrés225
7.4 Le théorème fondamental des espaces euclidiens. Procédé d'ortho-normalisation de Schmidt229
7.5 Norme d'un vecteur. Angle non orienté233
7.6 Représentation matricielle du produit scalaire235
7.7 Sous-espaces orthogonaux238
7.8 Endomorphisme adjoint240
7.9 Groupe orthogonal241
7.10 Étude de O(...) et O(...)244
7.11 Rotations et angle dans un espace euclidien de dimension 2 ou 3248
7.12 Produit vectoriel251
7.13 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien254
Exercices258
8 Espaces hermitiens275
8.1 Formes hermitiennes. Produit scalaire hermitien275
8.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme279
8.3 Matrices hermitiennes281
8.4 Bases orthonormées. Orthogonalité282
8.5 Endomorphisme adjoint284
8.6 Groupe unitaire284
8.7 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints d'un espace hermitien. Endomorphismes normaux287
Exercices290
9 Formes bilinéaires et formes quadratiques297
9.1 Rang et noyau d'une forme bilinéaire297
9.2 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques en dimension finie301
9.3 Définition de forme quadratique en dimension infinie303
9.4 Rang, Noyau et vecteurs isotropes d'une forme quadratique304
9.5 Bases orthogonales. Réduction des formes quadratiques306
9.6 Recherche d'une base orthogonale par la méthode de Gauss308
9.7 Classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel complexe310
9.8 Classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel. Théorème de Sylvester311
9.9 Sous-espaces orthogonaux313
9.10 Formes quadratiques dans un espace euclidien315
9.11 Endomorphisme adjoint317
9.12 Groupe orthogonal associé à une forme quadratique318
Exercices320
10 Formes hermitiennes329
10.1 Rang et noyau d'une forme hermitienne329
10.2 Orthogonalité. Vecteurs isotropes331
10.3 Bases orthogonales et classification des formes hermitiennes332
10.4 Groupe unitaire associé à une forme hermitienne333
10.5 Formes hermitiennes dans un espace hermitien334
Exercices335
A.1 Vocabulaire de base339
A.2 Polynômes347
A.3 Quotients353
A.4 Compléments sur la méthode du pivot. Indications sur les méthodes directes361
A.5 Inverses généralisées367
A.6 Exponentielle d'une matrice375
A.7 Espaces affines381
A.8 Sur les isométries dans le plan et dans l'espace397
A.9 Groupes de symétries403
A.10 Sur la décomposition des transformations orthogonales411
A.11 Espaces symplectiques417
A.12 Coniques et quadriques425
A.13 Portrait de phase d'un système autonome433
A.14 Formes bilinéaires et sesquilinéaires. Table de correspondance443
Quelques références bibliographiques447
Index449