Mathématiques pour le Capes : analyse

Auteur(s) :

Darracq, Marie-Cécile Découvrir l'auteur

Résumé

Un cours couvrant l'ensemble du programme d'analyse du Capes externe de mathématiques. Chaque notion abordée est illustrée par des exercices et des problèmes intégralement corrigés. L'ensemble est complété d'évaluations et de rapports de jurys. ©Electre 2020

Autre(s) auteur(s)
- Rombaldi, Jean-Étienne
Éditeur(s)
- De Boeck supérieur
Date
- DL 2020
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (VI-487 p.) ; 26 cm
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-8073-3092-4
Indice
- 517 Analyse
Quatrième de couverture
- Mathématiques pour le Capes. Analyse
  Ce cours d'analyse s'adresse aux candidats préparant spécifiquement le Capes externe de mathématiques.
  Les notions étudiées ici le sont de façon rigoureuse en démontrant tous les résultats énoncés. Chaque chapitre se termine par une série d'exercices tous corrigés en détail qu'il faut maîtriser avant de travailler sur des épreuves écrites du concours.
  Les quinze premiers chapitres sont consacrés à l'étude des suites et séries numériques, des fonctions d'une variable réelle, de l'intégration, des espaces vectoriels normés, des équations différentielles d'ordre 1 ou 2 et des suites et séries de fonctions. Le dernier chapitre rassemble une sélection de sept problèmes d'analyse issus des épreuves du Capes. Bibliographie sélective et index viennent compléter l'ensemble.
  1. Le corps R des nombres réels
  2. Suites numériques
  3. Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
  4. Comparaison des fonctions et développements limités
  5. Intégrales et primitives
  6. Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor
  7. Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
  8. Séries numériques
  9. Intégrales impropres
  10. Espaces vectoriels normés
  11. Fonctions de plusieurs variables réelles
  12. Suites de fonctions
  13. Séries de fonctions
  14. Séries entières
  15. Série de Fourier d'une fonction périodique
  16. Problèmes de Capes
  Les plus
  ¤ Cours rédigé avec démonstration systématique des résultats énoncés
  ¤ Chaque théorème est suivi d'une série d'applications
  ¤ 200 exercices et 7 problèmes intégralement corrigés
Tables des matières
- - Mathématiques pour le Capes
  - Analyse
  - Marie-Cécile Darracq
  - Jean-Étienne Rombaldi
  - deboeck supérieur
  - Avant-proposvii
  - 1 Le corps (...) des nombres réels1
  - 1.1 Ensembles ordonnés1
  - 1.2 Construction de (...) à l'aide des suites de Cauchy de nombres rationnels4
  - 1.3 Le corps totalement ordonné (...)5
  - 1.4 Exercices8
  - 2 Suites numériques13
  - 2.1 Généralités13
  - 2.2 Suites convergentes ou divergentes14
  - 2.3 Valeurs d'adhérence19
  - 2.4 Comparaison des suites numériques20
  - 2.5 Suites réelles monotones21
  - 2.6 Suites adjacentes23
  - 2.7 Le critère de Cauchy26
  - 2.8 Le théorème de Cesàro27
  - 2.9 Exercices28
  - 3 Limites, continuité, dérivabilité des fonctions d'une variable réelle41
  - 3.1 Limite finie en un point41
  - 3.2 Limites à l'infini46
  - 3.3 Continuité en un point, continuité sur I50
  - 3.4 Définition séquentielle de la continuité52
  - 3.5 Prolongement par continuité53
  - 3.6 Opérations sur les fonctions continues53
  - 3.7 Propriétés globales des fonctions continues54
  - 3.8 Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I61
  - 3.9 Opérations sur les fonctions dérivables63
  - 3.10 Extrema et dérivation65
  - 3.11 Le théorème de Darboux65
  - 3.12 Exercices66
  - 4 Comparaison des fonctions et développements limités71
  - 4.1 Prépondérance, domination et équivalents71
  - 4.2 Développements limités76
  - 4.3 Opérations sur les développements limités78
  - 4.4 Position d'une courbe par rapport aux tangentes ou aux asymptotes82
  - 4.5 Développements asymptotiques82
  - 4.6 Exercices83
  - 5 Intégrales et primitives87
  - 5.1 Subdivisions. Intégrale des fonctions en escalier87
  - 5.2 Fonctions Riemann-intégrables91
  - 5.3 Exemples de fonctions intégrables98
  - 5.4 Intégrale de Riemann et primitives103
  - 5.5 Les fonctions logarithme népérien et exponentielle105
  - 5.6 Calculs d'intégrales et de primitives108
  - 5.7 Calculs de primitives particulières109
  - 5.8 Sommes de Riemann114
  - 5.9 Exercices118
  - 6 Théorèmes de Rolle, des accroissements finis et de Taylor125
  - 6.1 Le théorème de Rolle125
  - 6.2 Quelques applications du théorème de Rolle127
  - 6.3 Théorème et inégalité des accroissements finis130
  - 6.4 Quelques applications du théorème des accroissements finis131
  - 6.5 La formule de Taylor-Lagrange134
  - 6.6 Le théorème de Taylor-Young135
  - 6.7 Formule de Taylor avec reste intégral136
  - 6.8 Quelques applications de la formule de Taylor-Lagrange136
  - 6.9 Exercices138
  - 7 Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2143
  - 7.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre143
  - 7.2 Équations différentielles d'ordre 1 classiques147
  - 7.3 Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants149
  - 7.4 Exercices154
  - 8 Séries numériques161
  - 8.1 Convergence d'une série numérique161
  - 8.2 Séries alternées163
  - 8.3 Convergence absolue, semi-convergence164
  - 8.4 Séries à termes réels positifs165
  - 8.5 Produit de deux séries176
  - 8.6 La transformation d'Abel178
  - 8.7 Exercices182
  - 9 Intégrales impropres195
  - 9.1 Définitions et exemples d'intégrales généralisées195
  - 9.2 Les intégrales généralisées de Riemann198
  - 9.3 Opérations sur les intégrales généralisées199
  - 9.4 Condition nécessaire de convergence de (...)201
  - 9.5 Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales absolument convergentes202
  - 9.6 Un théorème d'Abel207
  - 9.7 Exercices208
  - 10 Espaces vectoriels normés219
  - 10.1 Semi-normes et normes219
  - 10.2 Topologie associée à une norme220
  - 10.3 Applications linéaires continues226
  - 10.4 Normes équivalentes227
  - 10.5 Espaces vectoriels normés de dimension finie231
  - 10.6 Exercices233
  - 11 Fonctions de plusieurs variables réelles239
  - 11.1 Fonctions différentiables239
  - 11.2 Dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles243
  - 11.3 Différentielles d'ordre supérieur247
  - 11.4 Théorème et inégalité des accroissements finis250
  - 11.5 Formule de Taylor-Lagrange251
  - 11.6 Recherche d'extrema253
  - 11.7 Exercices256
  - 12 Suites de fonctions263
  - 12.1 Convergence simple et convergence uniforme263
  - 12.2 Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme267
  - 12.3 Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment272
  - 12.4 Le théorème de Weierstrass277
  - 12.5 Exercices281
  - 13 Séries de fonctions289
  - 13.1 Convergence simple, uniforme et normale289
  - 13.2 Propriétés de la somme d'une série de fonctions convergente292
  - 13.3 Exercices294
  - 14 Séries entières301
  - 14.1 Rayon de convergence d'une série entière301
  - 14.2 Opérations sur les séries entières305
  - 14.3 Fonctions développables en série entière307
  - 14.4 Séries entières et équations différentielles314
  - 14.5 Exercices315
  - 15 Série de Fourier d'une fonction périodique323
  - 15.1 Séries entières et séries de Fourier323
  - 15.2 L'espace préhilbertien D de Dirichlet325
  - 15.3 Polynômes trigonométriques et séries de Fourier327
  - 15.4 L'inégalité de Bessel330
  - 15.5 Convergence ponctuelle des séries de Fourier332
  - 15.6 Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques334
  - 15.7 Le théorème de Dirichlet339
  - 15.8 Exercices342
  - 16 Problèmes de Capes353
  - 16.1 Capes 1999, épreuve 1353
  - 16.2 Capes 2000, épreuve 1367
  - 16.3 Capes 2004, épreuve 1383
  - 16.4 Capes 2007, épreuve 1402
  - 16.5 Capes 2008, épreuve 1417
  - 16.6 Capes 2009, épreuve 1435
  - 16.7 Capes 2011, épreuve 1465
  - Bibliographie484
  - Index485
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre