131 développements pour l'oral
Agrégation externe mathématiques / Informatique
D. Lesesvre, P. Montagnon
P. Le Barbenchon, T. Pierron
Dunod
Avant-proposiii
Liste des notationsxiii
Développements d'algèbre1
Groupes, actions et représentations3
1. Incertitude de Heisenberg pour les groupes *5
2. Théorème de Dixon *10
3. Générateurs de SL2(Z) *14
4. Ensembles de transpositions engendrant Ϭn *18
5. Paires génératrices de sous-groupes de Ϭn **23
6. Ordre maximum des permutations **28
7. Commutativité de permutations aléatoires **35
8. Cyclicité des groupes d'ordre pq *41
9. Groupes d'ordre 105 ***44
10. Table des caractères des groupes diédraux *49
11. Théorème paqb de Burnside ***54
Anneaux, corps et théorie des nombres61
12. Théorème de Cohn *63
13. Lemme de Hensel *69
14. Méthodes polynomiales en combinatoire **73
15. C est algébriquement clos *78
16. Lemme d'intersection de Krull **81
17. Cyclicité de Fxp **84
18. Automorphismes de Fpm *89
19. Automorphismes d'un corps cyclotomique *92
20. Automorphismes sauvages de C ***96
21. Théorème d'Artin ***103
22. L'unique entier entre un carré et un cube **109
23. Valeurs absolues sur Q **114
24. Théorème de Fermat et cyclotomie ***120
25. Problème de Waring modulo q ***128
Algèbre linéaire133
26. Perturbation par des matrices de rang un *135
27. Quaternions et isomorphismes *138
28. Lemmes de Schwartz-Zippel et de Kakeya **147
29. Calculs de polynômes caractéristiques *155
30. Endomorphismes conservant le déterminant *163
31. Endomorphismes conservant le rang **167
32. Théorème de Chebotarev ***172
33. Images par l'exponentielle **178
34. Décomposition polaire *185
35. Réduction des endomorphismes nilpotents *190
36. Décomposition de Dunford *194
37. Forme normale de Smith **201
38. Sous-algèbres réduites de Mn(C) **207
39. Théorème d'Engel ***212
Formes quadratiques et géométrie217
40. Billard circulaire *219
41. Le plongeoir le plus long **225
42. Théorèmes de Helly et de Carathéodory *235
43. Théorème des trois réflexions *239
44. Théorème de Killing-Hopf *243
45. Isométries directes des solides de Platon **251
46. Théorème d'Hermite *260
47. Formes quadratiques semi-réduites **264
48. Théorème de Minkowski pour les formes quadratiques ***268
Développements d'analyse273
Analyse fonctionnelle et topologie275
49. Compacts d'un espace de Hilbert séparable **277
50. Opérateurs compacts d'un espace de Hilbert **281
51. Décomposition de Mityagin **285
52. Une isométrie de L2(R+) non surjective **290
53. Logarithme et théorème de Brouwer **296
54. Théorème de Riesz-Fischer *303
Calcul différentiel, équations différentielles et EDP309
55. Théorème de Cartan-von Neumann *313
56. Théorème de stabilité de Liapounov *318
57. Des extrema liés au consommateur323
58. Théorème de Cauchy-Peano **332
59. Modèle de croissance de Solow-Swan *341
60. Croissance logistique et prédation *347
61. Modèle épidémiologique SIS353
62. Modèle épidémiologique SIR **361
63. Étude qualitative d'une équation de Riccati **367
64. Modèle de Lotka-Volterra ***372
65. Equation des ondes pour une corde vibrante *381
66. Caractère bien posé : équation de transport388
67. Dualité contrôlabilité-observabilité ***396
Analyse classique et complexe407
68. Une méthode archimédienne pour approcher ? *409
69. Convergence d'une suite de polygones **413
70. Développement en fractions continues **417
71. Théorèmes de Choquet et de Birkhoff **423
72. Théorème de Nash **429
73. Formules de Frenet-Serret *437
74. Méthode de descente de gradient *441
75. Méthode de Gauss-Seidel *445
76. Méthode de relaxation *451
77. Méthode de Kaczmarz *455
78. Prolongement analytique suivant une courbe *461
79. Domaines d'holomorphie à une variable **464
80. Forme normale de Jordan et résidus ***469
81. Espace des formes modulaires ***477
Intégration et approximation de fonctions485
82. Calcul des intégrales de Fresnel *487
83. Racine carrée de la primitivation *496
84. Méthode de la phase stationnaire *502
85. Théorème de Paley-Wiener *509
86. Théorème de Plancherel514
87. Prolongement de la fonction ? de Riemann **522
88. Théorème de Fejér-Cesàro *531
89. Théorème de Minkowski pour les réseaux **539
90. Théorème taubérien de Hardy-Littlewood *545
91. Divergence de l'interpolation de Lagrange **552
92. Meilleure approximation polynomiale **557
Probabilités et statistiques563
93. Aiguille de Buffon *565
94. Paradoxe de Penney *570
95. Formule de Stirling par la limite centrale *580
96. Une marche aléatoire sur [0, 1] **588
97. Loi forte des grands nombres **594
98. Théorème de Pólya - version dénombrement **599
99. Théorème de Pólya - version analytique **606
100. Un théorème de grandes déviations **613
101. Théorème de Cramér-Chernoff ***617
Développements d'informatique623
Algorithmique625
102. Autour du tri rapide **627
103. Tri par tas *634
104. Distance de Kendall et tri par insertion **640
105. Tirage aléatoire de population **644
106. Transformée de Fourier rapide **651
107. B-arbres **658
Modèles de calcul665
108. Complexité du langage des palindromes *683
109. Turing-calculable implique µ-récursive **687
110. Caractérisation de RE **692
111. µ-recursive implique λ-définissable **696
112. Théorème de Scott-Curry **700
Théorie des graphes705
113. Polynôme chromatique *717
114. Théorème de Turán **724
115. Formule d'Euler par déchargement **731
116. Problème du voyageur de commerce *738
117. Tri topologique *743
118. Séquençage ADN et graphe de De Bruijn *747
Langages réguliers et algébriques753
119. Recherche de motif **763
120. Problème de séparation par automate *768
121. Universalité d'un automate **774
122. Algorithme de Cocke-Younger-Kasami *779
123. Caractérisation de Premier en analyse LL(1) **783
Logique et preuves789
124. Théorème de Cook-Levin *791
125. Transformation de Tseitin *797
126. 2Sat est NL-dur **802
127. Compacité de la logique propositionnelle *807
128. Indécidabilité du problème ValidFO **812
129. Indécidabilité du problème RelSat ***817
130. Complétude de la logique de Hoare824
131. Équivalence entre deux sémantiques ***830
Compléments d'informatique835
Schémas algorithmiques836
Bases de données839
Sémantiques des langages de programmation847
Problèmes indécidables855
Réductions classiques859
Problèmes NP-complets863
Annexes869
Liste des leçons871
Correspondances entre leçons et développements881
Bibliographie897
Index901