Cours de mécanique des structures
Poutres élastiques
Maurizio Brocato
Presses des Ponts
Introduction1
1 Rappels de mécanique des milieux continus
5
1.1 Introduction5
1.2 Cadre générale de l'étude5
1.3 Notations6
1.4 Problème de l'équilibre élastique7
1.4.1 Équations7
1.4.2 Types de conditions aux bords9
1.5 Équations de compatibilité de Saint-Venant9
1.6 Équations de compatibilité de Beltrami-Mitchell12
1.7 Écriture du problème de l'équilibre élastique en déplacements15
1.8 Écriture du problème de l'équilibre élastique en contraintes15
1.9 Théorème des travaux virtuels16
2 Géométrie des surfaces planes
17
2.1 Introduction17
2.2 Définitions17
2.2.1 Aire17
2.2.2 Moments statiques et barycentres18
2.2.3 Moments d'inertie ou quadratiques19
2.2.4 Moments d'ordre supérieur20
2.3 Changements du repère20
2.3.1 Rotations21
2.3.2 Translations22
2.4 Ellipse centrale d'inertie23
2.5 Sections structurées27
2.5.1 Définitions27
2.5.2 Caractéristiques géométriques sectorielles28
2.6 Exercices33
3 La poutre de Saint-Venant
55
3.1 Introduction55
3.2 Problème de la poutre élastique56
3.2.1 Géométrie57
3.2.2 Chargement57
3.2.3 Élasticité h.p.p.58
3.3 Problème de Saint-Venant59
3.3.1 Énoncé et hypothèses59
3.3.2 Torseurs des actions appliquées aux bases62
3.3.3 Moment de torsion et centre de cisaillement65
3.3.4 L'hypothèse de Saint-Venant sur l'état de contrainte67
3.3.5 Solution en déplacement des équations indéfinies67
3.3.6 Solution en contrainte des équations indéfinies75
3.3.7 Retour sur la solution en déplacements81
3.3.8 Conditions aux bords sur la contrainte normale82
3.3.9 Conditions aux bords sur les contraintes tangentielles86
3.4 Étude de la solution89
3.4.1 Caractéristiques89
3.4.2 Orthogonalité91
3.5 Logique des démonstrations93
3.6 Solutions du problème de Saint-Venant par la méthode semi-inverse94
3.6.1 Extension ou contraction d'un prisme de base quelconque94
3.6.2 Flexion circulaire d'un prisme de base quelconque96
3.7 Résumé des équations100
4 Étude de l'extension ou de la contraction et de la flexion
101
4.1 Introduction101
4.2 Étude de la solution de Saint-Venant101
4.2.1 Contraintes101
4.2.2 Déformations et déplacements108
4.3 Exercices112
5 Étude de la torsion
129
5.1 Introduction129
5.2 Théorie de Saint-Venant130
5.2.1 Contraintes130
5.2.2 Déformations et déplacements133
5.2.3 Inertie de torsion134
5.2.4 Applications aux sections à symétrie radiale135
5.2.5 Applications à d'autres sections138
5.3 Sections ouvertes à parois minces147
5.3.1 Section rectangulaire allongée147
5.3.2 Sections composées de rectangles allongés150
5.3.3 Retour sur la section rectangulaire allongée157
5.3.4 Sections composées de rectangles allongés convergents en un point157
5.4 Tubes à parois minces. Théorie de Bredt158
5.5 Sections creuses161
5.5.1 Géométrie161
5.5.2 Inertie de torsion162
5.5.3 Conditions de compatibilité sur la fonction de Prandtl164
5.5.4 Inertie de torsion des tubes à parois minces165
5.5.5 Recherche de la fonction de Prandtl par décomposition additive166
5.5.6 Limite des parois minces168
5.5.7 Théorie simplifiée des sections creuses à parois minces170
5.6 Exercices171
6 Étude du cisaillement
183
6.1 Introduction183
6.2 Théorie de Saint-Venant184
6.2.1 Contraintes184
6.2.2 Cinématique187
6.2.3 Centre de cisaillement et centre de torsion188
6.2.4 Applications193
6.2.5 Sections à connexion multiple198
6.3 Contrainte moyenne sur un corde. Formule de Jouravski199
6.3.1 Conditions d'équilibre pour les fonctions de gauchissement202
6.3.2 Déduction alternative de la formule de Jouravski203
6.3.3 Application206
6.3.4 Détermination approchée du centre de cisaillement207
6.3.5 Sections symétriques207
6.4 Sections structurées210
6.4.1 Introduction210
6.4.2 Centre de cisaillement et pôle principal210
6.4.3 Sections à connexion non simple212
6.5 Exercices219
7 La conjecture de Saint-Venant
243
7.1 La question physique243
7.2 La nature mathématique de la solution de Saint-Venant245
7.2.1 Les champs de contrainte de Saint-Venant245
7.2.2 Les champs de contrainte auto-équilibrés246
7.2.3 Propriété de minimum de l'énergie élastique248
7.3 Définitions utiles pour une formulation mathématique de la conjecture251
7.3.1 Digression sur le tenseur d'élasticité252
7.3.2 Digression sur la théorie des vibrations libres255
7.4 Démonstration de la conjecture256
7.5 Calcul de la plus petite valeur propre (...)262
7.5.1 Approche numérique262
7.5.2 Exemples calculés263
7.6 Conclusion268
8 Cercles de Mohr et lignes isostatiques
271
8.1 Introduction271
8.2 Analyse de l'état de contrainte en un point de la poutre272
8.2.1 Notations272
8.2.2 Changement du repère273
8.2.3 Tracé du cercle de Mohr275
8.2.4 Méthode du pôle275
8.3 Cercles de Mohr en état de contrainte tridimensionnel280
8.4 Contrainte de Tresca et de von Mises283
8.4.1 Directions principales, lignes isostatiques284
8.5 Exemple d'une poutre en flexion pure composée avec l'effort tranchant286
8.6 Exemple d'une ossature réciproque289
8.6.1 Présentation du problème289
8.6.2 Solution290
8.6.3 Calcul des contraintes293
8.6.4 Traçage des lignes isostatiques295
8.6.5 Optimisation300
8.6.6 Informations sur le calcul des épaisseurs minimales301
8.6.7 Résultats302
Annexe A Intégrales de Mohr307
Annexe B Aperçu de la théorie des poutres élastiques à parois minces311
B.1 Introduction311
B.2 Hypothèses312
B.3 Cinématique313
B.4 Conséquences et actualité314
Annexe C Code pour l'étude des contraintes normales317
Annexe D Code pour l'étude des arbelos de Mohr323
Annexe E Code pour tracer les lignes isostatiques327
Annexe F Glossaire essentiel331
Bibliographie335