Théorie des ensembles et logique mathématique : des infinis mathématiques aux théorèmes de Gödel

Auteur(s) :

Patarin, Jacques (1965-....)

Résumé

Un manuel consacré à la théorie des ensembles ainsi qu'à la logique mathématique, deux domaines scientifiques qui ont de nombreuses interactions. ©Electre 2020

Éditeur(s)
- Ellipses
- Impr. Présence graphique
Date
- DL 2020
Notes
- Bibliogr. p. 291-292
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (VIII-292 p.) : ill. ; 24 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
- Manuels d'enseignement supérieur
- Logique mathématique
ISBN
- 978-2-340-04100-4
Indice
- 511.1 Théorie des ensembles, classes, structures, morphismes et catégories
Quatrième de couverture
- Théorie des ensembles et logique mathématique
  Des infinis mathématiques aux théorèmes de Gödel
  Cet ouvrage traite de deux des domaines les plus célèbres des mathématiques : la théorie des ensembles et la logique.
  La théorie des ensembles, développée au XIX^e et au XX^e siècle, est en particulier une théorie mathématique de l'infini. À ce titre, elle présente souvent des résultats très étonnants. La logique a une histoire qui remonte à l'Antiquité, mais elle a été totalement renouvelée au XX^e siècle par les très célèbres résultats de Kurt Gödel, en particulier par ses résultats d'incomplétude. Ces deux domaines ont de très nombreuses interactions.
  De plus, avec le développement spectaculaire de l'informatique actuelle, de nombreux résultats de ce livre prennent aussi une importance pratique, et plus seulement théorique.
  
  Quels sont les différents infinis en mathématiques ?
  
  Existe-t-il une infinité d'infinis différents ?
  
  Existe-t-il une différence fondamentale entre ce qui est vrai et ce qui est prouvable ?
  
  En mathématiques, exister signifie-t-il la même chose qu'être non contradictoire ?
  
  Peut-on fonder toutes les mathématiques à partir d'un petit nombre d'axiomes ?
  
  Existe-t-il un ensemble de tous les ensembles ?
  
  Peut-on créer un anti-virus informatique parfait ?
  
  Voici quelques-unes des questions qui seront abordées ici.
  Presque tous les résultats sont présentés avec leurs preuves et de nombreux exercices (corrigés à la fin du livre) sont également inclus.
Tables des matières
- - Théorie des ensembles et logique mathématique
  - Des infinis mathématiques aux théorèmes de Gödel
  - Jacques Patarin
  - Ellipses
  - Avant-propos i
  - I Résultats de théorie des ensembles 1
  - Chapitre 1 : Cardinaux 5
  - I Le théorème de Cantor5
  - II Le théorème de Cantor-Bernstein8
  - III Il existe une infinité de cardinaux infinis10
  - IV Opérations sur un nombre fini de cardinaux11
  - V Somme et produit d'une infinité de cardinaux, Théorème de König16
  - VI Les trois cardinaux infinis usuels19
  - VII L'hypothèse du continu24
  - VIII Exercices du Chapitre 126
  - Chapitre 2 : Les Axiomes de Zermelo-Fraenkel 27
  - I Le paradoxe de Russell28
  - II Les axiomes de Z29
  - III Définitions des notions de produit, d'application, etc. dans le cadre de Z32
  - IV Les axiomes de ZF et de ZFC34
  - V Exercices du Chapitre 236
  - Chapitre 3 : Cardin alite des ensembles usuels 37
  - I Tableau récapitulatif37
  - II Ensembles dénombrables39
  - III Le continu40
  - IV Le fonctionnel44
  - V Exercices du Chapitre 348
  - Chapitre 4 : L'axiome du choix 51
  - I Qu'est ce que l'axiome du choix ?51
  - II Utilisation de l'axiome du choix en mathématiques54
  - III Formes affaiblies de l'axiome de choix56
  - IV Exercices du Chapitre 458
  - Chapitre 5 : L'équivalence du choix, Zorn et Zermelo 59
  - I L'axiome de Zermelo60
  - II L'axiome de Zorn63
  - Chapitre 6 : Ordinaux 67
  - I Présentation des ordinaux67
  - II Opérations sur un nombre fini d'ordinaux70
  - III Exemples72
  - IV Addition d'une infinité d'ordinaux75
  - V Quelques propriétés fondamentales76
  - VI La succession des ordinaux81
  - VII Applications aux cardinaux82
  - VIII La définition de von Neumann des ordinaux83
  - Chapitre 7 : Induction 91
  - I Principe91
  - II Premiers exemples d'utilisation de l'induction95
  - III La notation Np des cardinaux96
  - IV Théorème (Hessenberg) : Pour tout cardinal infini C, C2 = C99
  - V Le cardinal de l'ensemble des boréliens est Card(R)101
  - VI Exercices du Chapitre 7103
  - Chapitre 8 : Le paradoxe de banach-tarski 105
  - I Présentation du paradoxe106
  - II Le lemme de base107
  - III Le paradoxe de Haussdorff108
  - IV Propriétés préliminaires de la relation ≈110
  - V Les paradoxes de Banach-Tarski111
  - II Logique mathématique 115
  - Chapitre 9 : Formules et modèles 121
  - I Le calcul propositionnel122
  - II Le calcul des prédicats127
  - III La notion de modèle139
  - IV Le choix de règle de déduction148
  - V Exercices du Chapitre 9153
  - Chapitre 10 : Complétude 157
  - I L'équivalence non contradiction / existence d'un modèle157
  - II Complétude et paradoxes de Skolem165
  - III Modèles non standard170
  - IV Conclusions pour le Chapitre 10175
  - V Exercices du Chapitre 10176
  - Chapitre 11 : Incomplétude 179
  - I Le problème de la décision179
  - II Exemple de modélisation arithmétique de l'informatique185
  - III Théorème de l'incomplétude191
  - IV Autres exemples de limitations199
  - V Au-delà du récursif208
  - VI Exercices du Chapitre 11213
  - Chapitre 12 : Arithmétisation et consistance 215
  - I L'arithmétisation des Mathématiques215
  - II Le théorème d'incomplétude et ses généralisations221
  - III Le Deuxième Théorème d'incomplétude de Gödel229
  - IV Exemples de problèmes de consistance237
  - Chapitre 13 : Autres théories des ensembles & résultats 241
  - I NBG : la Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel241
  - II MK : la théorie des ensembles de Morse-Kelley244
  - III Cardinaux inaccessibles245
  - IV La méthode du forcing de Cohen246
  - V Généralisations du théorème de Gödel246
  - VI Les nombres Ω de Chaitin246
  - VII L'axiome de détermination projective(DP)248
  - Appendices 249
  - A1 : Rappel de quelques définitions mathématiques élémentaires250
  - A2 : Symboles et abréviations252
  - A3 : Dates de quelques-unes des principales découvertes en théorie des ensembles et en logique mathématique253
  - A4 : Cantor et Dieu256
  - A5 : Quelques énigmes260
  - Solution des exercices 263
  - Solutions des énigmes 287
  - Références291
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre