Mathématiques pour l'agrégation : algèbre et géométrie

Auteur(s) :

Rombaldi, Jean-Étienne Découvrir l'auteur

Résumé

Toutes les notions d'algèbre et de géométrie pour les candidats à l'agrégation interne et externe. Avec 300 exercices et problèmes corrigés. ©Electre 2021

Éditeur(s)
- De Boeck supérieur
Date
- DL 2021
Notes
- Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XII-780 p.) : ill. ; 24 cm
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-8073-3220-1
Indice
- 512 Algèbre
Quatrième de couverture
- Mathématiques pour l'agrégation
  Algèbre et géométrie
  La préparation des candidats aux concours de l'agrégation interne et externe de mathématiques nécessite des outils et des méthodes spécifiques qu'il leur est souvent bien difficile de se procurer, faute d'une littérature adaptée aux exigences de la situation.
  Ce cours d'algèbre et de géométrie est taillé sur mesure pour ces candidats. Les notions indispensables y sont abordées dans le détail et leur assimilation est facilitée par un grand nombre d'exercices corrigés dont beaucoup peuvent être utilisés par les candidats pour leurs leçons à l'épreuve orale.
  
  Quelques rappels sur les groupes
  
  Groupe des permutations d'un ensemble fini
  
  Groupes et géométrie
  
  Nombres complexes et géométrie
  
  Le groupe linéaire
  
  Actions de groupes sur des espaces de matrices
  
  Idéaux d'un anneau commutatif unitaire
  
  Anneaux principaux
  
  Anneaux euclidiens
  
  Les anneaux Z/nZ
  
  Nombres premiers
  
  Polynômes à une indéterminée
  
  Corps finis
  
  Formes linéaires, dualité
  
  Formes quadratiques en dimension finie
  
  Coniques dans un plan affine euclidien
  
  Déterminants
  
  Résultant et discriminant
  
  Polynômes d'endomorphismes en dimension finie
  
  Valeurs propres
  
  Réduction des endomorphismes
  
  Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien
  
  Exponentielle de matrices
  
  Les plus
  
  Parfait complément du volume de Mathématiques pour l'agrégation. Analyse et probabilités
  
  Chaque théorème est suivi d'une série d'applications
  
  Tous les exercices sont intégralement corrigés
Tables des matières
- - Mathématiques pour l'agrégation
  - Algèbre et géométrie
  - 2e édition
  - Deboeck Supérieur
  - Avant-propos XI
  - 1 Quelques rappels sur les groupes1
  - 1.1 Sous-groupes distingués. Groupes quotients1
  - 1.2 Ordre d'un élément dans un groupe6
  - 1.3 Sous-groupe engendré par une partie10
  - 1.4 Groupes monogènes, groupes cycliques13
  - 1.5 Sous-groupes d'un groupe cyclique16
  - 1.6 Actions de groupes19
  - 1.7 Le théorème de Cauchy23
  - 1.8 Sous-groupes multiplicatifs d'un corps commutatif24
  - 1.9 Théorème de structure des groupes abéliens finis26
  - 1.10 Exercices29
  - 2 Groupe des permutations d'un ensemble fini37
  - 2.1 Permutations, cycles et transpositions37
  - 2.2 Les groupes symétriques S_n39
  - 2.3 Support et orbites d'une permutation40
  - 2.4 Décomposition d'une permutation en produit de cycles42
  - 2.5 Systèmes de générateurs de S (E)44
  - 2.6 Signature d'une permutation45
  - 2.7 Le groupe alterné49
  - 2.8 Quelques exemples d'utilisation du groupe symétrique51
  - 2.9 Exercices56
  - 3 Groupes et géométrie73
  - 3.1 Espace affine associé à un espace vectoriel73
  - 3.2 Le groupe affine GA (Ɛ) en dimension finie76
  - 3.3 Orientation d'un espace affine réel80
  - 3.4 Isométries affines conservant une partie81
  - 3.5 Sous groupes finis de Is+ (Ɛ) en dimensions 2 et 389
  - 3.6 Exercices93
  - 4 Nombres complexes et géométrie97
  - 4.1 Le plan affine euclidien et le plan d'Argand-Cauchy97
  - 4.2 Module et arguments d'un nombre complexe99
  - 4.3 Le triangle dans le plan complexe105
  - 4.4 Droites et cercles dans le plan complexe119
  - 4.5 inversions125
  - 4.6 Exercices128
  - 5 Le groupe linéaire139
  - 5.1 Premières propriétés139
  - 5.2 Sous-groupes de GL (E) en dimension finie141
  - 5.3 Transvections et dilatations145
  - 5.4 Générateurs de SL (E) et GL (E) en dimension finie152
  - 5.5 Groupes dérivés de GL (E) et de SL (E)154
  - 5.6 Cas des corps finis155
  - 5.7 Topologie de GL (E) pour K = R ou I = C159
  - 5.8 Exercices165
  - 6 Actions de groupes sur des espaces de matrices183
  - 6.1 Action de GL_n (K) sur M_n,_m (K) par translation183
  - 6.2 Action de GL_n (K) x GL_m (K) sur M_n,_m (K) par équivalence194
  - 6.3 Action de GL_n (K) sur M_n (K) par conjugaison199
  - 6.4 Action de GL_n (K) sur S_n (K.) par congruence206
  - 6.5 Exercices208
  - 7 Idéaux d'un anneau commutatif unitaire213
  - 7.1 Rappels de quelques notions de base sur les anneaux213
  - 7.2 Généralités sur les idéaux de A215
  - 7.3 Idéaux de ? (E)217
  - 7.4 Congruences, anneaux quotients221
  - 7.5 Idéal premier, idéal maximal223
  - 7.6 Anneaux factoriels224
  - 7.7 Exercices227
  - 8 Anneaux principaux237
  - 8.1 Définitions et exemples237
  - 8.2 Anneaux à pgcd242
  - 8.3 Le théorème chinois249
  - 8.4 Idéal annulateur et polynôme minimal251
  - 8.5 Exercices254
  - 9 Anneaux euclidiens261
  - 9.1 Définitions et premières propriétés261
  - 9.2 pgcd dans un anneau euclidien264
  - 9.3 Éléments premiers entre eux dans un anneau euclidien265
  - 9.4 Exemples d'anneaux euclidiens265
  - 9.5 Un exemple d'anneau principal non euclidien272
  - 9.6 Anneaux euclidiens pour lesquels il y a unicité de la division274
  - 9.7 Exercices277
  - 10 Les anneaux Z/nZ279
  - 10.1 Congruences dans Z. anneaux Z/nZ279
  - 10.2 Le groupe multiplicatif ( Z/nZ )x et la fonction indicatrice d'Euler282
  - 10.3 Le théorème chinois285
  - 10.4 Systèmes d'équations diophantiennes289
  - 10.5 (Z/pαz°) est cyclique pour p≥ 3 premier292
  - 10.6 Exercices294
  - 11 Nombres premiers303
  - 11.1 L'ensemble P des nombres premiers303
  - 11.2 Décomposition en produit de facteurs premiers305
  - 11.3 Répartition des nombres premiers, inégalités de Tchebychev308
  - 11.4 Théorèmes de Legendre et de Bertrand319
  - 11.5 Quelques tests de primalité325
  - 11.6 Nombres de Carmichaël329
  - 11.7 La fonction de Möbius331
  - 11.8 Un théorème de Cesàro334
  - 11.9 Exercices337
  - 12 Polynômes à une indéterminée353
  - 12.1 L'algèbre K [N]. Degré, valuation, opérations sur les polynômes353
  - 12.2 Polynômes étagés ou échelonnés en degrés ou en valuation356
  - 12.3 Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif unitaire358
  - 12.4 Division euclidienne des polynômes.359
  - 12.5 Fonctions polynomiales361
  - 12.6 Dérivation des polynômes. Formule de Taylor364
  - 12.7 Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme scindé367
  - 12.8 Polynômes irréductibles370
  - 12.9 Idéaux de K [X]. Anneaux quotients K[X]/(P)372
  - 12.10 Polynômes d'interpolation de Lagrange377
  - 12.11 Polynômes à coefficients réels ou complexes378
  - 12.12 Idéaux et pgcd dans K [X]393
  - 12.13 Polynômes premiers entre eux396
  - 12.14 Applications399
  - 12.15 Exercices405
  - 13 Corps finis415
  - 13.1 Caractéristique d'un anneau unitaire intègre415
  - 13.2 Résultats préliminaires sur les corps416
  - 13.3 Un théorème de Wedderburn419
  - 13.4 Construction de corps finis421
  - 13.5 Carrés dans un corps fini426
  - 13.6 Le symbole de Legendre428
  - 13.7 La loi de réciprocité quadratique431
  - 13.8 Exercices434
  - 14 Formes linéaires, dualité441
  - 14.1 L'espace dual E*441
  - 14.2 Hyperplans445
  - 14.3 Orthogonalité446
  - 14.4 Sous-espaces d'un espace vectoriel de dimension finie451
  - 14.5 Transposition451
  - 14.6 Exercices454
  - 15 Formes quadratiques en dimension finie461
  - 15.1 Formes bilinéaires et formes quadratiques461
  - 15.2 Orthogonalité, noyau et rang465
  - 15.3 Théorème de réduction de Gauss469
  - 15.4 Signature d'une forme quadratique réelle475
  - 15.5 Formes quadratiques sur un espace euclidien479
  - 15.6 Formes quadratiques sur un corps fini480
  - 15.7 Exercices483
  - 16 Coniques dans un plan affine euclidien493
  - 16.1 Définition algébrique des coniques493
  - 16.2 Quadriques dans un espace affine euclidien503
  - 16.3 Définition par directrice, foyer et excentricité des coniques505
  - 16.4 Définition bifocale des coniques à centre514
  - 16.5 Définition par foyers et cercle directeur des coniques à centre519
  - 16.6 Lieu orthoptique d'une conique524
  - 16.7 Cocyclicité de 4 points sur une conique530
  - 16.8 Exercices534
  - 17 Déterminants545
  - 17.1 Formes multilinéaires alternées545
  - 17.2 Déterminants547
  - 17.3 Méthodes de calcul d'un déterminant551
  - 17.4 Exemples d'utilisation du déterminant555
  - 17.5 Exercices572
  - 18 Résultant et discriminant581
  - 18.1 Définition et propriétés du résultant581
  - 18.2 Quelques propriétés topologiques du résultant590
  - 18.3 L'anneau des entiers algébriques591
  - 18.4 Intersection de 2 courbes algébriques planes594
  - 18.5 Exercices597
  - 19 Polynômes d'endomorpismes en dimension finie603
  - 19.1 L'algèbre commutative K [u]603
  - 19.2 Polynômes annulateurs, polynôme minimal604
  - 19.3 Le théorème de Cayley-Hamilton606
  - 19.4 Le théorème de décomposition des noyaux608
  - 19.5 La décomposition de Dunford611
  - 19.6 Un algorithme pour obtenir la décomposition de Dunford616
  - 19.7 Endomorphismes semi-simples620
  - 19.8 Quelques applications624
  - 19.9 Exercices635
  - 20 Valeurs propos643
  - 20.1 Valeurs et vecteurs propres643
  - 20.2 Valeurs propres des endomorphismes nilpotents648
  - 20.3 Localisation des valeurs propres d'une matrice complexe650
  - 20.4 Rayon spectral des matrices complexes654
  - 20.5 Calcul approché des valeurs propres660
  - 20.6 Polynômes orthogonaux660
  - 20.7 Exercices665
  - 21 Réduction des endomorphismes675
  - 21.1 Endomorphismes trigonalisables675
  - 21.2 Trigonalisation simultanée678
  - 21.3 Réduction des endomorphismes nilpotents679
  - 21.4 Réduction de Jordan681
  - 21.5 Endomorphismes diagonalisables682
  - 21.6 Diagonalisation simultanée684
  - 21.7 Topologie de l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C)685
  - 21.8 Diverses factorisation de matrices687
  - 21.9 Réduction de Frobenius693
  - 21.10 Exercices702
  - 22 Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien713
  - 22.1 Espaces vectoriels euclidiens713
  - 22.2 Adjoint d'un endomorphismes718
  - 22.3 Le groupe orthogonal720
  - 22.4 Réduction des endomorphismes orthogonaux725
  - 22.5 Symétries orthogonales dans les espaces euclidiens730
  - 22.6 Endomorphismes symétriques732
  - 22.7 Réduction des endomorphismes symétriques733
  - 22.8 Endomorphismes symétriques positifs ou définis positifs735
  - 22.9 Quelques applications du théorème spectral738
  - 22.10 Endomorphismes normaux743
  - 22.11 Exercices747
  - 23 Exponentielle de matrices759
  - 23.1 Séries matricielles759
  - 23.2 L'exponentielle matricielle. Propriétés761
  - 23.3 Utilisation de la décomposition de Dunford765
  - 23.4 Surjectivité et injectivité de l'exponentielle matricielle766
  - 23.5 Exercices772
  - Bibliographie781
  - Index783
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre