Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres

Auteur(s) :

Tenenbaum, Gérald (1952-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Une introduction à l'application des méthodes de l'analyse et des probabilités à la théorie des nombres. Avec plus de 300 exercices. ©Electre 2022

Éditeur(s)
- Dunod
- Impr. Laballery
Date
- DL 2022
Notes
- La couv. porte en plus : "cours, exercices"
- Bibliogr. p. 517-536. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XV-547 p.) : ill. ; 24 cm
Collections
- Sciences sup
Sujet(s)
- Manuels d'enseignement supérieur
- Théorie des nombres
ISBN
- 978-2-10-082983-5
Indice
- 511.9 Arithmétique, théorie des nombres
Quatrième de couverture
- Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres
  Solide initiation aux méthodes analytiques et probabilistes de l'arithmétique, ce livre constitue une base de référence autonome. Ne s'appuyant que sur les connaissances traditionnellement enseignées dans les deux premiers cycles universitaires, il fournit aux étudiants (notamment les candidats à l'agrégation et/ou au CAPES de mathématiques) une présentation systématique du domaine. L'ouvrage constitue également un précieux instrument de travail pour les chercheurs, jeunes ou confirmés, en décrivant l'état de l'art pour les questions fondamentales de la discipline.
  Centrée sur les méthodes plus que sur les résultats, l'approche générale donne immédiatement accès à des développements dépassant largement le cadre strict de la théorie des nombres. Les chapitres sont complétés par des notes détaillées, ouvrant sur la bibliographie la plus récente, et par plus de 300 exercices de niveaux variés.
  Cette cinquième édition d'un texte devenu classique, inclus dans la bibliothèque de l'agrégation depuis de nombreuses années, offre un contenu renouvelé et enrichi. Elle s'appuie sur d'importants développements inédits, et porte des points de vue originaux sur plusieurs branches essentielles de l'arithmétique.
  Les plus
  
  L'ouvrage de référence de la discipline
  
  Plus de 300 exercices de niveaux variés
  
  Le public
  
  Étudiants en Licence 3 de mathématiques
  
  Étudiants en Master de mathématiques
  
  Candidats au CAPES
  
  Candidats à l'agrégation de mathématiques
  
  Chercheurs de la discipline
Tables des matières
- - Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres
  - Gérald Tenenbaum
  - Dunod
  - Avant-propos xiii
  - Notations xvii
  - Tome I : Méthodes élémentaires1
  - Chapitre I.0. Quelques outils d'analyse réelle 3
  - 0·1 La sommation d'Abel3
  - 0·2 La formule sommatoire d'Euler-Maclaurin5
  - Exercices8
  - Chapitre I.1. Les nombres premiers 11
  - 1·1 Introduction11
  - 1·2 Les estimations de Tchébychev12
  - 1·3 Valuation p-adique de n !15
  - 1·4 Le premier théorème de Mertens15
  - 1·5 Deux nouvelles formules asymptotiques16
  - 1·6 La formule de Mertens18
  - 1·7 Un autre théorème de Tchébychev19
  - Notes20
  - Exercices21
  - Chapitre I.2. Fonctions arithmétiques 25
  - 2·1 Définitions25
  - 2·2 Exemples25
  - 2·3 Séries de Dirichlet formelles27
  - 2·4 L'anneau des fonctions arithmétiques27
  - 2·5 Les formules d'inversion de Möbius29
  - 2·6 La fonction de von Mangoldt31
  - 2·7 La fonction indicatrice d'Euler32
  - Notes34
  - Exercices35
  - Chapitre I.3. Ordres moyens 37
  - 3·1 Introduction37
  - 3·2 Le problème de Dirichlet et le principe de l'hyperbole37
  - 3·3 La fonction somme des diviseurs39
  - 3·4 La fonction indicatrice d'Euler40
  - 3·5 Les fonctions ω et Ω41
  - 3·6 Valeur moyenne de la fonction de Möbius et fonctions sommatoires de Tchébychev42
  - 3·7 Entiers sans facteur carré45
  - 3·8 Moyenne d'une fonction multiplicative à valeurs dans [0,1]47
  - Notes50
  - Exercices52
  - Chapitre I.4. Méthodes de crible 59
  - 4·1 Le crible d'Ératosthène59
  - 4·2 Le crible combinatoire de Brun60
  - 4·3 Application aux nombres premiers jumeaux62
  - 4·4 Le grand crible - forme analytique64
  - 4·5 Le grand crible - forme arithmétique69
  - 4·6 Applications du grand crible72
  - 4·7 Le crible de Selberg74
  - 4·8 Sommes de deux carrés dans un intervalle84
  - Notes88
  - Exercices92
  - Chapitre I.5. Ordres extrémaux 97
  - 5·1 Introduction et définitions97
  - 5·2 La fonction nombre de diviseurs, τ(n)98
  - 5·3 Les fonctions nombre de facteurs premiers, ω(n) et Ω(n)99
  - 5·4 La fonction d'Euler φ(n)100
  - 5·5 Les fonctions somme des puissances des diviseurs, σ_κ(n), κ> 0101
  - Notes103
  - Exercices104
  - Chapitre I.6. La méthode de van der Corput 107
  - 6·1 Introduction et rappels107
  - 6·2 Intégrales trigonométriques108
  - 6·3 Sommes trigonométriques109
  - 6·4 Application au théorème de Voronoï114
  - 6·5 Équirépartition modulo 1116
  - Notes119
  - Exercices121
  - Chapitre I.7. Approximation diophantienne 125
  - 7·1 De Dirichlet à Roth125
  - 7·2 Meilleures approximations, fractions continues127
  - 7·3 Propriétés du développement en fraction continue132
  - 7·4 Développement en fraction continue des irrationnels quadratiques134
  - Notes137
  - Exercices138
  - Tome II : Méthodes d'analyse complexe143
  - Chapitre II.0. La fonction Gamma d'Euler 145
  - 0·1 Définitions145
  - 0·2 Formule du produit de Weierstrass147
  - 0·3 Fonction Bêta147
  - 0·4 Formule de Stirling complexe150
  - 0·5 La formule de Hankel154
  - Exercices155
  - Chapitre II.1. Fonctions génératrices : séries de Dirichlet 159
  - 1·1 Séries de Dirichlet convergentes159
  - 1·2 Séries de Dirichlet des fonctions multiplicatives160
  - 1·3 Propriétés analytiques fondamentales des séries de Dirichlet161
  - 1·4 Abscisse de convergence et valeur moyenne167
  - 1·5 Une application arithmétique : le noyau d'un entier169
  - 1·6 Ordre de grandeur dans les bandes verticales170
  - Notes174
  - Exercices179
  - Chapitre II.2. Formules de sommation 183
  - 2·1 Formules de Perron183
  - 2·2 Applications : deux théorèmes de convergence188
  - 2·3 Formule de la valeur moyenne190
  - Notes192
  - Exercices193
  - Chapitre II.3. La fonction zêta de Riemann 195
  - 3·1 Introduction195
  - 3·2 Prolongement analytique195
  - 3·3 Équation fonctionnelle198
  - 3·4 Approximations et majorations dans la bande critique199
  - 3·5 Première localisation des zéros202
  - 3·6 Lemmes d'analyse complexe203
  - 3·7 Répartition globale des zéros205
  - 3·8 Développement en produit de Hadamard208
  - 3·9 Régions sans zéros210
  - 3·10 Majorations de ζ' / ζ, 1 / ζ et log ζ211
  - Notes213
  - Exercices215
  - Chapitre II.4. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann 221
  - 4·1 Le théorème des nombres premiers221
  - 4·2 Hypothèses minimales222
  - 4·3 L'hypothèse de Riemann224
  - 4·4 Formule explicite pour ψ(x)227
  - Notes231
  - Exercices233
  - Chapitre II.5. La méthode de Selberg-Delange 235
  - 5·1 Puissances complexes de ζ(s)235
  - 5·2 Le résultat principal238
  - 5·3 Démonstration du Théorème 5.2240
  - 5·4 Une variante du théorème principal243
  - Notes247
  - Exercices251
  - Chapitre II.6. Deux applications arithmétiques 257
  - 6·1 Entiers ayant k facteurs premiers257
  - 6·2 Répartition des diviseurs en moyenne : loi de l'arcsinus263
  - Notes268
  - Exercices272
  - Chapitre II.7. Théorèmes taubériens 275
  - 7·1 Introduction. Dualité théorèmes abéliens/taubériens275
  - 7·2 Le théorème de Tauber277
  - 7·3 Les théorèmes de Hardy-Littlewood et Karamata279
  - 7·4 Le terme d'erreur dans le théorème de Karamata283
  - 7·5 Le théorème d'Ikehara290
  - 7·6 L'inégalité de Berry-Esseen295
  - 7·7 L'holomorphie comme condition taubérienne297
  - 7·8 Théorèmes taubériens arithmétiques300
  - Notes303
  - Exercices307
  - Chapitre II.8. Nombres premiers en progressions arithmétiques 311
  - 8·1 Introduction. Caractères de Dirichlet311
  - 8·2 Séries L. Le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques320
  - 8·3 Minoration de |L(s,X)| pour σ≥ 1. Preuve du Théorème 8.16326
  - 8·4 L'équation fonctionnelle des fonctions L(s,X)331
  - 8·5 Formule du produit de Hadamard et régions sans zéro334
  - 8·6 Formules explicites pour ψ(x;X)339
  - 8·7 Le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques343
  - Notes348
  - Exercices350
  - Tome III : Méthodes probabilistes355
  - Chapitre III.1. Densités 357
  - 1·1 Définitions. Densité naturelle357
  - 1·2 La densité logarithmique360
  - 1·3 La densité analytique361
  - 1·4 La théorie probabiliste des nombres362
  - Notes364
  - Exercices365
  - Chapitre III.2. Loi de répartition d'une fonction arithmétique 369
  - 2·1 Définition - fonctions de répartition369
  - 2·2 Fonctions caractéristiques373
  - Notes376
  - Exercices381
  - Chapitre III.3. Ordre normal 385
  - 3·1 Définition385
  - 3·2 L'inégalité de Turán-Kubilius386
  - 3·3 Forme duale de l'inégalité de Turán-Kubilius391
  - 3·4 Le théorème de Hardy-Ramanujan et autres applications392
  - 3·5 Majorations effectives de sommes de fonctions multiplicatives395
  - 3·6 Structure normale de la suite des facteurs premiers d'un entier398
  - Notes400
  - Exercices405
  - Chapitre III.4. Répartition des fonctions additives et valeur moyenne des fonctions multiplicatives 411
  - 4·1 Le théorème d'Erdős-Wintner411
  - 4·2 Le théorème de Delange416
  - 4·3 Le théorème de Halász420
  - 4·4 Le théorème d'Erdős-Kac433
  - Notes436
  - Exercices441
  - Chapitre III.5. Entiers friables. La méthode du col 445
  - 5·1 Introduction. La méthode de Rankin445
  - 5·2 La méthode géométrique450
  - 5·3 Équations fonctionnelles451
  - 5·4 La fonction de Dickman456
  - 5·5 Approximations de Ψ (x,y) par la méthode du col462
  - 5·6 La fonction de Jacobsthal et le théorème de Rankin471
  - Notes475
  - Exercices482
  - Chapitre III.6. Entiers sans petit facteur premier 485
  - 6·1 Introduction485
  - 6·2 Équations fonctionnelles488
  - 6·3 La fonction de Buchstab492
  - 6·4 Approximations de Φ(x,y) par la méthode du col496
  - 6·5 Le modèle de Kubilius505
  - Notes509
  - Exercices513
  - Bibliographie 517
  - Index 537
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre