Ce livre d'algèbre linéaire élémentaire, destiné à la première année d'université (et en première année de classe préparatoire) diffère nettement des manuels habituels. Plutôt que dérouler l'axiomatique de l'algèbre linéaire, l'auteur se concentre sur le pourquoi de cette discipline. Quelles idées l'animent ? Quels ressorts des mathématiques et d'autres sciences expliquent les raisons d'être de l'algèbre linéaire ?

Vecteurs géométriques, combinaisons linéaires, équations linaires, espaces vectoriels de fonctions, modélisations linéaires de situations diverses (polynômes, équations de fonctions, physique) expliquent pourquoi l'on a besoin de l'algèbre linéaire, et quelle est la nécessité de ses notions abstraites. Ainsi, ces notions apparaissent comme des aboutissements et non comme des axiomes a priori.

La géométrie vectorielle de fin de lycée, avec la double description des objets géométriques usuels (paramétrique ou par équations), débouche naturellement sur la résolution de p équations linéaires à n inconnues. Pour cette étude, Marc Rogalski développe toutes les notions linéaires élémentaires dans l'espace de dimension n : sous-espaces vectoriels, dimension, notion de rang. Puis, avec un minimum d'algèbre générale, l'algèbre linéaire axiomatique peut être exposée. Il montre comment cette axiomatique permet l'articulation étroite de ses concepts et des modélisations de nombreuses situations de problèmes mathématiques (équations différentielles ou fonctionnelles, suites numériques, polynômes...).

L'auteur montre ensuite comment la théorie des matrices, en dimension finie, permet de développer divers calculs, et surtout de résoudre facilement des problèmes d'existence (a priori difficiles) et d'établir leur unicité (souvent bien plus facile). Ce sera en particulier le cas pour les problèmes d'interpolation polynomiale ou d'autres plus compliqués. Un dernier chapitre présente les notions de dualité, d'hyperplan et d'orthogonalité, et illustre comment l'algèbre linéaire peut être mise en oeuvre en analyse pour des problèmes d'équations différentielles linéaires.

Le présent livre sera un excellent compagnon de route pour les étudiants qui arrivent à l'université ou les élèves en classes préparatoires, et devrait par ailleurs inspirer leurs enseignants et les inviter à repenser et enrichir leur manière de traiter ce chapitre fondamental de propédeutique. Les exercices sont intégrés au fur et à mesure des concepts présentés, et mettent en valeur les méthodes et les idées-clés.