Outils mathématiques pour physiciens et ingénieurs
Rappels de cours et exercices corrigés
2e édition
Jean-Marc Poitevin
Dunod
1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites1
1. Nombres réels
1
1.1 Catégories1
1.2 Décomposition en facteurs premiers2
1.3 Puissances de 103
2. Nombres complexes
3
2.1 Représentation d'un point dans un plan3
2.2 Les deux notations4
2.3 Calculs avec les complexes4
3. Identités remarquables
5
4. Suites arithmétique et géométrique
6
L'essentiel
7
Entraînez-vous8
Solutions10
2 Trigonométrie, Fonctions hyperboliques, Développements en série16
1. Sinus, cosinus, tangente
16
1.1 Définitions, variations16
1.2 Valeurs particulières17
1.3 Angles opposés, supplémentaires ou complémentaires17
2. Relations trigonométriques
18
3. Fonctions trigonométriques inverses
19
4. Fonctions trigonométriques complexes
19
5. Fonctions hyperboliques
20
6. Développements en série
20
6.1 Développements au voisinage de zéro20
6.2 Développements auprès d'une valeur quelconque21
L'essentiel
22
Entraînez-vous23
Solutions26
3 Fonctions de variables réelles ou complexes39
1. Fonctions réelles de variables réelles
39
1.1 Fonctions cartésiennes39
1.2 Fonctions paramétriques40
1.3 Fonctions polaires40
2. Dérivées, étude des variations
40
2.1 Dérivée d'une fonction cartésienne40
2.2 Dérivée d'une fonction paramétrique41
2.3 Dérivée d'une fonction polaire41
2.4 Quelques dérivées usuelles41
2.5 Tableau de variation42
3. Limites
42
4. Fonctions complexes de variables complexes
43
4.1 Définition43
4.2 Représentation44
4.3 Dérivation44
L'essentiel
46
Entraînez-vous47
Solutions51
4 Séries et transformations de Fourier63
1. Série de Fourier
63
1.1 Notation réelle63
1.2 Notation complexe64
1.3 Spectre de fréquences64
1.4 Égalité de Parseval64
2. Intégrale, ou transformée de Fourier
65
2.1 Définitions65
2.2 Égalité de Parseval65
2.3 Spectre65
L'essentiel
66
Entraînez-vous67
Solutions72
5 Équations différentielles90
1. Équations différentielles du 1er ordre90
1.1 Principe général90
1.2 Équation linéaire à coefficients constants91
1.3 Équation à variables séparées91
1.4 Équation à variables séparables92
1.5 Équation homogène92
1.6 Différentielle exacte92
1.7 Équation de Bernoulli93
1.8 Équation de Riccati93
2. Équations différentielles du 2e ordre
93
2.1 Principe général93
2.2 Équation ou y ne figure pas94
2.3 Équation sans second membre ou x ne figure pas94
2.4 Équation linéaire à coefficients constants94
2.5 Équation de Legendre95
2.6 Équation de Laguerre96
2.7 Équation de Tchebychev96
2.8 Équation de Bessel96
L'essentiel
98
Entraînez-vous99
Solutions104
6 Intégrales de fonctions réelles et complexes, Convolution124
1. Primitives
124
2. Surface, primitive, intégrale
125
2.1 Surface délimitée par une courbe125
2.2 De la primitive à l'intégrale126
3. Intégrales définies et non définies
126
4. Méthodes d'intégration
127
5. Intégrales de fonctions complexes
128
5.1 Formulation générale128
5.2 Lemmes de Jordan128
5.3 Théorème de Green128
5.4 Fonctions holomorphes, théorème de Cauchy128
5.5 Intégrale de Cauchy129
6. Méthode des résidus
129
6.1 Série de Taylor129
6.2 Série de Laurent130
6.3 Résidu130
6.4 Théorème des résidus130
6.5 Intégrales sur des arcs de cercles131
7. Convolution
131
7.1 Définition et propriétés131
7.2 Convolution et transformée de Fourier132
L'essentiel
133
Entraînez-vous134
Solutions141
7 Systèmes d'équations linéaires, Calcul matriciel170
1. Systèmes d'équations
170
1.1 n variables et n équations170
1.2 n variables et p équations171
2. Méthodes de résolution
171
2.1 Par substitution171
2.2 Par combinaison171
3. Notation matricielle
171
4. Calcul matriciel
173
4.1 Addition173
4.2 Multiplication par un nombre173
4.3 Multiplication de deux matrices173
4.4 Inversion174
4.5 Transposition174
4.6 Déterminant175
4.7 Valeurs et vecteurs propres176
L'essentiel
177
Entraînez-vous178
Solutions182
8 Transformation de Laplace, transformée en z199
1. Définition
199
2. Propriétés
200
3. Table des transformées usuelles
201
4. Passage de f(p) à f(t)
202
4.1 Décomposition en éléments simples202
4.2 Théorème de Heaviside203
5. Convolution et transformée de Laplace
203
6. Transformée en z
203
6.1 Principe, définition203
6.2 Propriétés204
6.3 Table des transformées usuelles204
6.4 Passage de X(z) à x(n) ou x(t)205
L'essentiel
207
Entraînez-vous208
Solutions214
9 Analyse vectorielle243
1. Systèmes de coordonnées
243
1.1 Coordonnées cartésiennes (x, y, z)243
1.2 Coordonnées cylindriques (ρ, φ, z)244
1.3 Coordonnées sphériques (r, θ, φ)244
2. Vecteurs
245
2.1 Définitions245
2.2 Addition, soustraction246
2.3 Produit scalaire246
2.4 Produit vectoriel246
2.5 Autres produits246
3. Gradient, divergence, rotationnel, laplacien
246
4. Relations entre opérateurs
248
5. Théorème de la divergence (d'Ostrogradsky)
248
6. Théorème du rotationnel (de Stokes ou Ampère)
248
7. Signification des opérateurs
249
7.1 Gradient249
7.2 Divergence, rotationnel250
L'essentiel
252
Entraînez-vous253
Solutions257
Index
277