Introduction
1
I Modélisation des structures5
Introduction
7
1 Modèles de poutre
9
1.1 Introduction9
1.2 Géométrie et cinématique de la poutre droite12
1.2.1 Hypothèses12
1.2.2 Etude de la cinématique13
1.2.3 Remarques sur l'hypothèse de conservation des sections droites17
1.2.4 Résumé des définitions18
1.3 Le problème de la compatibilité cinématique de la poutre droite20
1.3.1 Mouvements rigidifiants22
1.3.2 Mouvements virtuels22
1.4 Le problème de l'équilibre statique de la poutre droite 23
1.4.1 Hypothèses sur le travail extérieur et intérieur23
1.4.2 Rappel des postulats du principe des travaux virtuels25
1.4.3 Conditions d'équilibre du modèle standard26
1.4.4 Conditions d'équilibre du modèle d'Euler-Bemoulli31
1.5 La barre33
1.6 La poutre courbe dans les problèmes plans34
1.6.1 Introduction '34
1.6.2 Géométrie et cinématique34
1.6.3 Statique et équilibre36
1.7 La poutre courbe dans les problèmes spatiaux40
1.7.1 Introduction40
1.7.2 Géométrie et cinématique40
1.7.3 Statique et équilibre43
1.8 La poutre droite généralisée48
1.8.1 Introduction48
1.8.2 Géométrie et cinématique51
1.8.3 Statique et équilibre52
1.9 La poutre à parois minces55
1.9.1 Introduction55
1.9.2 Géométrie et cinématique56
1.9.3 Statique et équilibre57
1.10 Conclusion61
2 Rappels de statique
63
2.1 Introduction63
2.2 Liaisons parfaites64
2.2.1 Cinématique64
2.2.2 Réactions70
2.3 Liaisons élastiques70
2.4 Déplacements imposés et distorsions71
2.5 Note sur les systèmes de coordonnées72
2.6 Exercices73
2.6.1 Intégration des équations d'équilibre73
2.6.2 Mécanismes75
2.6.3 Structures isostatiques79
2.6.4 Liaisons élastiques101
2.6.5 Distorsions103
3 Étude de l'arc du viaduc d'Austerlitz
105
3.1 Introduction105
3.2 Compréhension de la structure107
3.2.1 Géométrie de l'ouvrage107
3.2.2 Hypothèses générales de l'étude110
3.3 Questions110
3.4 Calculs111
3.4.1 Efforts sous charge uniforme111
3.4.2 Efforts sous charge mobile117
3.4.3 Efforts accompagnant les moments extrêmes120
3.4.4 Efforts dans les barres par le modèle de poutre122
3.4.5 Efforts dans les barres par le modèle du treillis128
3.5 Conclusion130
II Définition et propriétés de l'équilibre des structures élastiques131
Introduction
133
4 Les comportements élastiques des poutres
135
4.1 Introduction135
4.2 Le comportement élastique de la poutre droite137
4.2.1 Énergie élastique de la solution de Saint-Venant137
4.2.21 Énergie élastique du modèle standard équivalent139
4.2.3 Expression simplifiée de la surface efficace à l'effort tranchant140
4.2.4 Essai de traction et compression141
4.2.5 Essai de flexion 4 points142
4.2.6 Essais de flexion composée avec le cisaillement143
4.3 Commentaires sur le comportement élastique standard de la poutre144
4.3.1 Commentaires sur les limites du modèle standard144
4.4 Le comportement élastique de la poutre courbe146
4.5 Le comportement élastique de la poutre à parois minces148
4.6 Théories des poutres élastiques151
4.6.1 Poutres de Timoshenko151
4.6.2 Poutres d'Euler-Bemoulli152
4.6.3 Analogie de Mohr pour les poutres d'Euler-Bemoulli155
4.6.4 Poutres de Vlasov158
4.6.5 Poutres de Vlasov généralisées ou de Toupin-Fichera159
4.7 Exercices163
4.7.1 Calcul des déformées163
5 Les théorèmes énergétiques
177
5.1 Introduction177
5.2 Géométrie et cinématique178
5.3 Équilibre179
5.3.1 Travail virtuel des efforts extérieurs179
5.3.2 Travail virtuel des efforts intérieurs180
5.3.3 Définition de l'équilibre181
5.4 Théorème des travaux virtuels 181
5.5 Énergie élastique et énergie potentielle élastique185
5.6 Énergie potentielle élastique complémentaire187
5.7 État d'équilibre élastique189
5.8 Théorèmes de réciprocité191
5.9 Théorèmes d'extremum192
5.10 Théorème de Castigliano195
5.10.1 Application du deuxième énoncé du théorème de Castigliano196
5.10.2 Applications du premier énoncé du théorème de Castigliano197
5.11 Exercices199
6 Etude du pont sur l'estuaire du Forth
221
6.1 Introduction221
6.2 Compréhension de la structure226
6.2.1 Hypothèses générales de l'étude226
6.2.2 Géométrie des sections227
6.2.3 Évaluation des charges229
6.2.4 Questions230
6.3 Calculs231
6.3.1 Position de la charge231
6.3.2 Flèche maximale en 11236
6.3.3 Raideur en cisaillement246
III Méthodes pour la détermination de l'état d'équilibre des structures253
Introduction
255
7 La méthode des forces
257
7.1 Introduction257
7.2 La logique de la méthode des forces (Maxwell, 1864)257
7.2.1 Un exemple de calcul introduisant la méthode des forces257
7.2.2 Présentation formelle et justification de la méthode259
7.3 Équations de Maxwell pour les treillis261
7.4 Équations de Müller-Breslau263
7.4.1 Conditions de déplacement imposé268
7.4.2 Résumé de la méthode268
7.4.3 Exemples269
7.5 Équation de Bertot-Clapeyron (ou des trois moments) pour la poutre continue272
7.6 Méthode de Cross275
7.7 Exercices276
8 Étude du Boeing B 314 Pan Am Clipper
319
8.1 Introduction319
8.2 Questions324
8.3 Calculs325
8.3.1 Notations325
8.3.2 Considérations générales325
8.3.3 Cas de charge 1326
8.3.4 Cas de charge 2337
8.3.5 Cas de charge 3342
8.3.6 Cas de charge 2 & 3348
8.3.7 Cas de charge b350
9 La méthode des déplacements
353
9.1 Introduction353
9.2 La logique de la méthode des déplacements354
9.2.1 Un exemple de calcul introduisant la méthode des déplacements354
9.2.2 Procédure de calcul par la méthode des déplacements355
9.3 Études préliminaires356
9.3.1 La poutre fléchie avec déplacements imposés356
9.3.2 La poutre étendue ou comprimée avec déplacements imposés359
9.3.3 Le rôle des efforts d'encastrement359
a 9.4 Méthode des déplacements360
9.4.1 Présentation formelle et justification de la méthode360
9.4.2 Variables cinématiques nodales361
9.4.3 Principe d'équivalence364
9.5 Applications366
9.5.1 Structures en portiques366
9.5.2 Equation des trois rotations pour la poutre continue371
9.6 Principes du calcul aux éléments finis372
9.7 Exercices378
10 Étude de la coupe du viaduc d'Austerlitz
413
10.1 Introduction413
10.2 Compréhension de la structure414
10.2.1 Géométrie de l'ouvrage414
10.2.2 Hypothèses générales de l'étude415
10.3 Questions416
10.4 Calculs416
10.4.1 Identification des d.d.l416
10.4.2 Ecriture de la matrice de raideur417
10.4.3 Solution du problème, tracé des déformées et des diagrammes des efforts intérieurs423
IV Évaluation de la stabilité de l'équilibre des structures élastiques447
Introduction
449
11 L'instabilité eulérienne
451
11.1 Introduction451
11.2 Exemple introductif452
11.3 Solution en transformation finie453
11.3.1 La colonne d'Euler453
11.3.2 Multiplicité de la déformée457
11.4 Équilibre approché en configuration déformée458
11.4.1 Autres conditions aux limites461
11.5 L'évaluation de la résistance des poutres comprimées463
11.6 Résumé conclusif de la méthode statique465
11.7 Exercices466
12 Méthodes énergétiques
479
12.1 Introduction479
12.2 Définition de la stabilité481
12.2.1 Condition dynamique de stabilité481
12.2.2 Condition énergétique de stabilité482
12.3 Étude énergétique de la stabilité485
12.4 Méthodes pour la détermination de la stabilité487
12.4.1 Systèmes à élasticité concentrée487
12.4.2 Systèmes continus489
12.4.3 Résumé des hypothèses491
12.5 De la poutre à la structure491
12.5.1 Le quotient de Rayleigh491
12.5.2 Matrice de raideur492
12.5.3 Calcul itératif de la première valeur propre496
12.6 Exercices497
12.6.1 Méthode énergétique pour des systèmes discrets497
12.6.2 Méthode énergétique par la matrice de raideur501
12.6.3 Problèmes posés sur des structures507
13 Étude de l'instabilité d'une structure
517
13.1 Présentation du problème517
13.2 Cadre général de l'étude518
13.3 Mise en équations519
13.3.1 Ligne élastique519
13.3.2 Problème linéaire de l'équilibre élastique521
13.3.3 Problème linéarisé de l'instabilité525
13.4 Recherche numérique des solutions du problème linéaire527
13.4.1 Cas 1527
13.4.2 Cas 2528
13.4.3 Cas 3530
13.4.4 Cas 1 & 3530
13.5 Problème non linéaire530
13.5.1 Analyse non linéaire du cas 1530
13.5.2 Analyse non linéaire du cas 2531
13.5.3 Analyse non linéaire du cas 3533
13.5.4 Calculs numériques des problèmes non linéaires533
13.6 Conclusion536
14 Étude d'un pont Morandi
537
14.1 Présentation du problème537
14.1.1 Schéma statique537
14.1.2 Sections droites539
14.1.3 Matériaux541
14.1.4 Chargement541
14.1.5 Considérations sur la raideur axiale du hauban542
14.1.6 Plan de l'étude542
14.2 Étude du tablier543
14.2.1 Tablier sur appuis parfaits543
14.2.2 Tablier sur appuis élastiques549
14.5 Modèle de treillis du système complet553
14.3.1 Efforts intérieurs553
14.3.2 Déplacements554
14.4 Étude du pylône554
14.4.1 Questions générales sur les modèles avec nouds rigides555
14.4.2 Modèles du pylône sans traverse557
14.4.3 Modèle du pylône avec traverse562
14.5 Instabilité576
14.5.1 Questions générales - raideur géométrique du pylône576
14.5.2 Effet de l'effort normal sur la raideur axiale pour une poutre déformée576
14.5.3 Instabilité du pylône sans traverse. Approche linéaire578
14.5.4 Instabilité du pylône sans traverse. Approche non linéaire580
14.6 Conclusion583
Conclusion
584
Annexe A Intégrales de Mohr
589
Annexe B Glossaire essentiel
593
Bibliographie
597
Table des figures
601