Analyse critique de la notion de variable. Points de vue sémiotique et formel

dans Centre d’analyse et de mathématique sociales de l’EHESS

Auteur(s) :

Desclés, Jean-Pierre ; Cheong, Kye-Seop

Éditeur(s)
- Mathématiques et sciences humaines
Date
- 2006-05-22T02:00:00Z
Notes
- Pour B. Russell, la variable est peut-être une des notions les plus difficiles à comprendre en mathématiques (The Principles of Mathematics, 1903). En effet, la variable est fondamentalement polysémique. Sa signification varie avec les domaines d’utilisation ; tantôt elle est utilisée pour indiquer une indétermination d’un signe dans une équation ; tantôt elle sert à décrire analytiquement une fonction en Analyse, tantôt, on l’utilise en logique pour exprimer la quantification au moyen de « variables liées ». Nous donnons une brève analyse historique de l’évolution de cette notion en mathématiques, depuis sa création avec l’Algèbre de Viète et Descartes pour l’expression des équations, jusqu’à la représentation formelle d’un concept, formalisé par Frege comme une fonction non numérique, ce qui a donné naissance aux modernes langages du premier ordre. D’une part, la théorie des signes de Peirce et d’autre part, les types fonctionnels de Church, le λ-calcul « avec variables liées » ainsi que la logique combinatoire de Curry « sans variables liées », sont d’excellents instruments qui sont convoqués pour examiner les différentes sortes de variables aussi bien en mathématiques, qu’en logique ou en informatique théorique. Par exemple, nous montrons que la notion de « variable liée » n’est pas nécessaire pour la formulation de la quantification en logique et son analyse dans le fonctionnement des langues naturelles : un quantificateur simple est avant tout un opérateur qui s’applique à un prédicat afin de construire une proposition ; un quantificateur restreint est dérivé d’un quantificateur simple, obtenu par une composition fonctionnelle avec un connecteur logique (les opérateurs d’implication ou de conjonction). Nous proposons de prendre en compte et de formaliser à l’intérieur du cadre formel de la logique combinatoire typée :(i) les « vielles notions » logiques « extension / intension », (ii) les distinctions issues de la psychologie cognitive et de l’anthropologie, entre les exemplaires « typiques » ou « atypiques » d’un concept, (iii) l’opération de détermination » de la Logique de Port Royal,, ce qui nous a conduit à définir les quantificateurs « star », considérés comme des opérateurs qui viennent apporter des déterminations supplémentaires aux termes, en particulier aux termes nominaux. Ces nouveaux quantificateurs sont plus adéquats à l’analyse logique des langues naturelles que les quantificateurs frégéens. Nous sommes ainsi capables de donner une distinction nette entre les significations de « quelconque » et «indéterminé », qui sont implicitement mises en œuvre dans la Déduction Naturelle de Gentzen. Cela nous conduit à donner une solution à un paradoxe apparent qui surgit avec la règle d’introduction du quantificateur universel.
Langues
- Anglais
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