Une introduction aux motifs : motifs purs, motifs mixtes, périodes

Auteur(s) :

André, Yves (1959-....) Découvrir l'auteur

Résumé

La théorie des motifs, introduite par A. Grothendieck il y a 40 ans, a connu des développements spectaculaires. Cet ouvrage présente ces avancées, tout en donnant une vision unitaire des fondements géométriques de la théorie. Il consacre une partie aux périodes des motifs et traite les exemples des valeurs de la fonction gamma aux points rationnels, et des nombres polyzêta.

Éditeur(s)
- Société mathématique de France
Date
- 2004
Notes
- Bibliogr. p. 245-258. Résumé en français et en anglais
Langues
- Français
Description matérielle
- XI-258 p. ; 24 cm
Collections
- Panoramas et synthèses
Sujet(s)
- Motifs (mathématiques)
ISBN
- 2-85629-164-3
Indice
- 512.95 Structures algébriques (groupes, anneaux, corps etc.), treillis
Tables des matières
- - UNE INTRODUCTION AUX MOTIFS
  - Yves André
  - Société Mathématique de France 2004
  - Avant-propos ix
  - Partie I. Motifs purs
  - 1. Sources : géométrie énumérative, cohomologie, théorie de Galois 3
  - 1.1. Géométrie énumérative 3
  - 1.2. Cohomologie des variétés algébriques 6
  - 1.3. Théorie de Galois 9
  - 2. 0-Catégories rigides, catégories tannakiennes 11
  - 2.1. Introduction 11
  - 2.2. Catégories rigides 12
  - 2.3. Catégories tannakiennes 14
  - 3. Cycles algébriques et cohomologies (cas des variétés projectives lisses) 17
  - 3.1. Cycles algébriques et relations adéquates 17
  - 3.2. Revue des relations adéquates classiques 19
  - 3.3. Cohomologies de Weil 23
  - 3.4. Revue des cohomologies de Weil classiques 27
  - 4. Motifs purs de Grothendieck 31
  - 4.1. Construction 31
  - 4.2. Fonctorialités et premières propriétés 35
  - 4.3. Exemples 38
  - 4.4. Idéaux et équivalences adéquates 42
  - 4.5. Semi-simplicité des motifs numériques à coefficients dans un corps 44
  - 5. Les conjectures standard 47
  - 5.1. Projecteurs de Künneth et poids 47
  - 5.2. Polarisations I (Lefschetz) 50
  - 5.3. Polarisations II (Hodge) 55
  - 5.4. Équivalences homologique et numérique, et relations entre les conjectures standard 56
  - 6. Groupes de Galois motiviques 61
  - 6.1. Conjecture des signes et modification de la contrainte de commutativité 61
  - 6.2. Réalisation de Betti et groupes de Galois motiviques 63
  - 6.3. Groupes de Galois motiviques et invariants 65
  - 7. Les conjectures de plénitude et de semi-simplicité des réalisations enrichies 67
  - 7.1. Foncteurs de réalisation enrichis 67
  - 7.2. La conjecture de Hodge 74
  - 7.3. La conjecture de Tate 76
  - 7.4. La conjecture d'Ogus 79
  - 7.5. La conjecture des périodes de Grothendieck 82
  - 7.6. Techniques de calcul de groupes de Galois motiviques 85
  - 8. Effectivité 89
  - 8.1. Effectivité et coniveau 89
  - 8.2. Conjectures de Hodge et Tate généralisées 90
  - 9. Comment contourner les conjectures standard 93
  - 9.1. Deux manières de contourner les conjectures standard (aperçus) 93
  - 9.2. Par excès : cycles et correspondances motivés 95
  - 9.3. Par défaut : scindage du passage au numérique 97
  - 10. Applications de la théorie des cycles motivés 101
  - 10.1. Transport parallèle de cycles motivés 101
  - 10.2. Cycles de Hodge et cycles de Tate sur les variétés abéliennes 103
  - 10.3. Variation du groupe de Galois motivique dans une famille 105
  - 11. Filtrations sur les anneaux de Chow et nilpotence 109
  - 11.1. Introduction : application d'Abel-Jacobi pour les 0-cycles 109
  - 11.2. Conjectures de Bloch-Beilinson-Murre 111
  - 11.3. Filtration de Saito et équivalences séparées 113
  - 11.4. Le cas d'un corps de base fini 116
  - 11.5. Conjecture de nilpotence de Voevodsky 116
  - 12. Structure de la catégorie des motifs purs pour une équivalence adéquate quelconque 119
  - 12.1. Catégories de Kimura-O'Sullivan 119
  - 12.2. Lien entre motifs de Chow et groupes de Galois motiviques (aperçu de la théorie de O'Sullivan) 124
  - 13. Motifs -purs virtuels attachés aux k-variétés (transition vers la mixité) 127
  - 13.1. Le jeu de Boole des k-variétés 127
  - 13.2. Le motif virtuel d'une k-variété 128
  - 13.3. Fonctions zêta motiviques 129
  - Partie II. Motifs mixtes
  - 14. Pourquoi des motifs mixtes ? 135
  - 14.1. La filtration par le poids 135
  - 14.2. Des motifs purs aux motifs mixtes 137
  - 14.3. L'idée de cohomologie motivique 139
  - 15. Le formalisme élémentaire des morphismes multivalués 143
  - 15.1. Correspondances finies entre variétés lisses et transferts 143
  - 15.2. Une construction de Suslin-Voevodsky 144
  - 15.3. La catégorie c£(k) 145
  - 15.4. Homologie de Suslin 146
  - 16. Motifs mixtes de Voevodsky 149
  - 16.1. Complexes dans ...(k) 149
  - 16.2. La catégorie triangulée DM...(k) 151
  - 16.3. Triangles de Mayer-Vietoris 154
  - 17. Twists et cohomologie motivique 157
  - 17.1. Twists et définition de DM...(k) 157
  - 17.2. La cohomologie motivique 159
  - 17.3. Première classe de Chern d'un fibré en droites et formule du fibré projectif 161
  - 18. Propriétés fondamentales de DM_gm(k) 163
  - 18.1. Éclatements et triangle de Gysin 163
  - 18.2. Simplifiabilité des twists 164
  - 18.3. Lien avec les motifs de Chow 164
  - 18.4. Dualité 165
  - 18.5. Comparaison avec les groupes d'homologie de Suslin, avec les groupes de Chow supérieurs et avec la K-théorie 167
  - 19. Complexes de faisceaux motiviques 169
  - 19.1. Préfaisceaux avec transferts et invariance par homotopie 169
  - 19.2. Topologie de Nisnevich et transferts 172
  - 19.3. Le théorème de plongement 175
  - 19.4. Nouvelle description de la cohomologie motivique 176
  - 20. Exemples : 1-motifs et motifs de Tate mixtes 179
  - 20.1. 1-Motifs 179
  - 20.2. Motifs de Tate mixtes 180
  - 20.3. Motifs de Kummer 182
  - 21. Vers le coeur de DM_gm(k) 183
  - 21.1. En quête de MM(k). Problèmes de t-structure et peines de cceur 183
  - 21.2. Motifs des variétés affines lisses et « théorème » de Lefschetz faible en cohomologie motivique 187
  - 21.3. Motifs mixtes et conjectures de Bloch-Beilinson-Murre 188
  - 21.4. La catégorie abélienne des motifs mixtes de Nori 189
  - 22. Réalisations mixtes et régulateurs 191
  - 22.1. Réalisations de De Rham-Betti, de Hodge, et de Tate 191
  - 22.2. Régulateurs 193
  - 22.3. Propriétés attendues des réalisations de MM(k) 194
  - 22.4. Valeurs de fonctions L, périodes, régulateurs 196
  - Partie III. Périodes
  - 23. Relations de périodes 201
  - 23.1. Retour sur la conjecture des périodes de Grothendieck 201
  - 23.2. Estimation du degré de transcendance de certains sous-corps du corps des périodes 204
  - 23.3. Extension au cas mixte 206
  - 23.4. Extension au cas d'un corps de base transcendant 207
  - 23.5. Vers une théorie de Galois pour des nombres transcendants ? 209
  - 24. Motifs et valeurs spéciales de la fonction ... 211
  - 24.1. Valeurs de P et périodes d'intégrales abéliennes 211
  - 24.2. Distributions et relations de distribution 213
  - 24.3. Types CM et motifs de type CM 215
  - 24.4. Nature motivique des relations monomiales de Shimura 218
  - 24.5. Da capo : valeurs de P comme périodes de Shimura 220
  - 24.6. Conjecture de Rohrlich-Lang et conjecture des périodes 222
  - 25. Motifs et nombres polyzêta 225
  - 25.1. Nombres polyzêta et périodes de motifs de Tate mixtes 225
  - 25.2. Relations de double mélange régularisé 228
  - 25.3. Relations de l'associateur 230
  - 25.4. Conjectures sur l'algèbre des nombres polyzêta 231
  - 25.5. Motifs de Tate mixtes sur Z, et leur groupe de Galois motivique 232
  - 25.6. Interlude : conjectures de Hodge et Tate pour MTM(Z) 234
  - 25.7. Nombres polyzêta et conjecture des périodes de Grothendieck 235
  - 25.8. Nature motivique des relations de double mélange régularisé 238
  - 25.9. Nature motivique des relations de l'associateur 241
  - Bibliographie 245
  - Index terminologique 259
Origine de la notice:
- BNF