Algèbre linéaire
Aide-mémoire, exercices et applications
Robert C. Dalang
Amel Chaabouni
Avant-propos
V
Aide-mémoire et exercices
1
1 Systèmes linéaires
3
Aide-mémoire: Matrice associée à un système linéaire, solution générale d'un système, opérations élémentaires sur les lignes, méthode de résolution de Gauss, systèmes homogènes, systèmes inhomogènes3
Exercices
5
2 Calcul matriciel
11
Aide-mémoire: Somme et produit de matrices, transposée d'une matrice, matrices inversibles, opérations matricielles par blocs, matrices diagonales, triangulaires et symétriques, relations avec les systèmes linéaires
11
Exercices
14
3 Déterminants
23
Aide-mémoire: Définition, propriétés, développements suivant une ligne ou une colonne, règle de Cramer, calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode des cofacteurs
23
Exercices
25
4 Transformations de l'espace
31
Aide-mémoire: L'espace de dimension n, interprétations géométriques, équations paramétriques de droites et de plans, transformations affines et matricielles, translations, homothéties et similitudes, ensemble image, composition de transformations31
Exercices
33
5 Produit scalaire euclidien dans Rn
37
Aide-mémoire: Produit scalaire euclidien, norme et distance euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwartz, théorème de Pythagore, projections orthogonales sur une droite ou un plan37
Exercices
39
6 Espaces vectoriels
43
Aide-mémoire: Espaces et sous-espaces vectoriels, combinaisons linéaires, familles libres ou liées, bases, notion de dimension, applications aux systèmes linéaires, théorème du rang43
Exercices
48
7 Espaces vectoriels munis d'un produit scalaire
61
Aide-mémoire: Produits scalaires dans les espaces de dimension finie et infinie, bases orthonormales, théorème de Pythagore généralisé, projection orthogonale, inégalité de Cauchy-Schwartz, procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmid, problème de la meilleure approximation, solution d'un système linéaire au sens des moindres carrés, matrices orthogonales, changements de base61
Exercices
66
8 Valeurs et vecteurs propres
79
Aide-mémoire: Définitions et premières propriétés, polynôme caractéristique d'une matrice, diagonalisation d'une matrice, sous-espaces propres, diagonalisation orthogonale des matrices symétriques, diagonalisation en nombres complexes79
Exercices
82
9 Transformations linéaires
89
Aide-mémoire: Applications linéaires, noyau, image et rang d'une application linéaire, transformation de la matrice d'une application linéaire dans un changement de base, composition de transformations linéaires89
Exercices
92
10 Résolution de systèmes différentiels
103
Aide-mémoire: Systèmes différentiels linéaires du premier ordre, cas où la matrice du système est diagonalisable, recherche d'une solution particulière, exponentielle d'une matrice, solution générale, résolution à l'aide des nombres complexes103
Exercices
106
Applications de l'algèbre linéaire
111
11 Utilisation des transformations affines en infographie
113
Les objets fractals, similitudes simples, ensembles auto-semblables, dimension de Hausdorff, un algorithme pour dessiner les ensembles auto-semblables, exemples du tamis de Sierpinski et du tapis de Sierpinski113
Exercices
121
12 Cryptographie conventionnelle
125
Chiffrement de César, chiffrement de Hill, calcul matriciel modulo 26, déchiffrement de Hill, décryptage par attaque à texte clair connu125
Exercices
135
13 Les codes correcteurs d'erreurs
139
Opérations sur "formule mathématique non exprimable en texte html", K-espaces vectoriels, codes linéaires, rendement d'un code linéaire, matrice génératrice du code, matrice de contrôle, correction d'un mot reçu comportant une erreur simple, codes de Hamming139
Exercices
148
14 Chaînes de Markov
151
Matrice de transition, vecteur d'état, vecteur stationnaire, vecteur des visites, chaînes de Markov en infographie151
Exercices
157
15 Stéréogrammes
161
La perspective naturelle, paires stéréoscopiques, dessin d'une paire stéréographique correspondant à une surface, dessin d'un stéréogramme pour une surface d'équation z = h(x, y)161
Exercices
178
16 Robustesse des réseaux informatiques
181
Graphes, matrice d'adjacence, graphes k-réguliers, connexité, bord, lien entre robustesse et valeurs propres, inégalité de Cheeger-Buser181
Exercices
194
Révision
199
17 Exercices de révision
201
Solutions des exercices
211
1 Systèmes linéaires
213
2 Calcul matriciel
219
3 Déterminants
229
4 Transformations de l'espace
235
5 Produit scalaire euclidien dans Rn
239
6 Espaces vectoriels
243
7 Espaces vectoriels munis d'un produit scalaire
255
8 Valeurs et vecteurs propres
269
9 Transformations linéaires
279
10 Résolution de systèmes différentiels
293
11 Utilisation des transformations affines en infographie
299
12 Cryptographie conventionnelle
303
13 Les codes correcteurs d'erreurs
309
14 Chaînes de Markov
313
15 Stéréogrammes
319
16 Robustesse des réseaux informatiques
323
17 Exercices de révision
331
Bibliographie
347