Introduction à la Mécanique des Fluides
Renée Gatignol/Catherine Potel/Philippe Gatignol
Cépaduès-Éditions
1 Introduction
1
1.1 Qu'est-ce que la «Mécanique» ?1
1.1.1 La Mécanique ?1
1.1.2 La Mécanique au travers de grands champs disciplinaires2
1.2 Les fluides, milieux incontournables4
1.3 L'esprit de cet ouvrage6
1.3.1 La Mécanique6
1.3.2 Observation et modélisation6
1.3.3 L'apprentissage de la modélisation8
1.4 Contenu et niveau de cet ouvrage8
2 Statique des fluides
11
2.1 Introduction11
2.1.1 Qu'est-ce qu'un fluide ?11
2.1.2 Masse volumique. Force volumique12
2.1.3 Loi fondamentale de la dynamique (rappel)13
2.1.4 Que représente {Fe} ?14
2.2 Notion de pression15
2.2.1 Observation15
2.2.2 Modélisation15
2.2.3 Dimension d'une pression. Unités de pression17
2.2.4 Fluide compressible. Fluide incompressible18
2.3 Loi fondamentale de la statique des fluides19
2.3.1 Loi fondamentale de la statique des fluides (première forme globale)19
2.3.2 Deux lemmes20
2.3.3 Loi fondamentale de la statique des fluides (deuxième forme
globale)22
2.3.4 Loi fondamentale de la statique des fluides (forme locale)23
2.3.5 Conditions aux limites25
2.4 Exemples d'application27
2.4.1 Hydrostatique27
2.4.2 Efforts sur une paroi plane. Centre de poussée31
2.4.3 Statique des gaz32
2.5 Théorème d'Archimède33
2.5.1 Théorème préliminaire : définition de la poussée d'Archimède34
2.5.2 Théorème d'Archimède (énoncé et démonstration)35
2.5.3 Origine de la poussée d'Archimède36
2.5.4 Applications du théorème d'Archimède37
2.5.5 Cas des corps flottants39
2.6 Exercices avec corrections42
2.6.1 Exercice I42
2.6.2 Exercice II : Solide immergé dans deux liquides non miscibles42
2.6.3 Exercice III : Statique de la troposphère45
2.6.4 Exercice IV : Statique des liquides compressibles46
2.6.5 Exercice V : Théorème d'Archimède48
2.6.6 Exercice VI : Barrage plan50
2.7 Résumé des principaux résultats54
3 Cinématique des fluides
55
3.1 Description du mouvement55
3.1.1 Particule fluide55
3.1.2 Grandeurs cinématiques attachées à une particule fluide56
3.1.3 Exemple57
3.1.4 Description de Lagrange (description par les trajectoires)58
3.1.5 Description d'Euler (description par le champ de vitesses)59
3.1.6 Remarques sur les descriptions de Lagrange et d'Euler60
3.1.7 Lignes de courant61
3.1.8 Écoulement stationnaire63
3.1.9 Exemples63
3.2 Dérivée particulaire64
3.2.1 Dérivée particulaire d'une fonction64
3.2.2 Dérivée particulaire d'une intégrale de volume67
3.2.3 Exemple d'application70
3.3 Loi de la conservation de la masse71
3.3.1 Loi de conservation de la masse71
3.3.2 Remarques72
3.3.3 Débit en masse, débit en volume73
3.4 Quelques classes d'écoulements75
3.4.1 Écoulements plans75
3.4.2 Classes d'écoulements dans l'espace et dans le plan76
3.4.3 Écoulements plans stationnaires et incompressibles78
3.4.4 Écoulements plans stationnaires et irrotationnels79
3.4.5 Écoulements plans stationnaires, incompressibles et irrotationnels80
3.5 Exemples d'écoulements plans stationnaires81
3.5.1 Écoulement plan rectiligne uniforme81
3.5.2 Écoulement plan source ou puits81
3.5.3 Écoulement plan autour d'un cylindre au repos83
3.6 Remarque sur les écoulements réels autour d'un cylindre au repos85
3.7 Exercices avec corrections89
3.7.1 Exercice I89
3.7.2 Exercice II89
3.7.3 Exercice III90
3.7.4 Exercice IV91
3.7.5 Exercice V93
3.8 Résumé des principaux résultats95
4 Dynamique des fluides parfaits
97
4.1 Loi fondamentale de la dynamique des fluides97
4.1.1 Loi fondamentale de la dynamique des fluides (rappel)97
4.1.2 Torseur cinétique, Torseur dynamique98
4.1.3 Torseur des efforts extérieurs appliqués à D99
4.2 Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits100
4.2.1 Définition d'un fluide parfait100
4.2.2 Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits
(première forme globale)100
4.2.3 Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits
(deuxième forme globale)101
4.2.4 Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits sous
forme locale102
4.2.5 Conditions aux limites104
4.2.6 Un système complet d'équations et de conditions aux limites106
4.2.7 Définition d'un problème de dynamique des fluides parfaits stationnaire107
4.3 Théorème de Bernoulli107
4.4 Applications du théorème de Bernoulli109
4.4.1 Approximation des écoulements par tranches109
4.4.2 Évolution de la pression et de la vitesse le long d'un tube de
courant de section lentement variable110
4.4.3 Tube de Venturi112
4.4.4 Tube de Pitot114
4.4.5 Formule de Torricelli116
4.5 Théorème des efforts globaux119
4.5.1 Calcul préliminaire119
4.5.2 Théorème des efforts globaux121
4.6 Application du théorème des efforts globaux123
4.6.1 Efforts sur une canalisation hydraulique123
4.6.2 Efforts sur un embout125
4.6.3 Efforts de pression exercés par un jet sur une plaque plane127
4.7 Exercices avec corrections131
4.7.1 Exercice I : Écoulement plan stationnaire dans un angle131
4.7.2 Exercice II : Modèle de tornade133
4.7.3 Exercice III : Tube de Venturi vertical136
4.7.4 Exercice IV : Siphon138
4.7.5 Exercice V : Vidange d'un réservoir140
4.7.6 Exercice VI : Horloge à eau142
4.7.7 Exercice VII : Chariot144
4.8 Résumé des principaux résultats148
5 Notion de fluides visqueux
149
5.1 Le phénomène de viscosité149
5.1.1 Notion de viscosité150
5.1.2 Conditions aux limites153
5.2 Le nombre de Reynolds155
5.3 Exemples d'écoulements visqueux158
5.3.1 Écoulement de Poiseuille plan158
5.3.2 Écoulement de Poiseuille cylindrique163
5.3.3 Écoulement laminaire, écoulement turbulent168
5.3.4 Exemples d'écoulements visqueux laminaires ou turbulents169
5.4 Exercices avec corrections175
5.4.1 Exercice I : Écoulement entre deux plaques mobiles175
5.4.2 Exercice II : Chute d'une bille d'acier dans la glycérine177
5.4.3 Exercice III : Écoulement avec effets visqueux180
5.5 Résumé des principaux résultats185
A Rappels de mathématiques
187
A.1 Fonction de plusieurs variables187
A.1.1 Définitions187
A.1.2 Dérivées partielles189
A.1.3 Fonction composée190
A.1.4 Applications191
A.1.5 Différentielle de f(x, y)192
A.1.6 Différentielle de f(x, y, z)193
A.2 Champ de vecteurs - Opérateurs194
A.2.1 Champ de vecteurs194
A.2.2 Champ de gradients194
A.3 Opérateurs Divergence et Rotationnel195
A.4 Intégrales doubles et triples197
A.4.1 Intégrale double (rappel)197
A.4.2 Intégrale triple198
A.5 Formules de transformation d'intégrales199
A.5.1 Intégrale curviligne199
A.5.2 Transformation d'une intégrale curviligne en une intégrale double
: formule de Green-Riemann200
A.5.3 Intégrale de surface201
A.5.4 Transformation d'une intégrale de surface en une intégrale de
volume : formule de la divergence203
Bibliographie
205