Relativité générale
De boeck
1 Introduction
1
2 Rappels de relativité restreinte
13
Encadré 2.1 : Les référentiels inertiels qui se chevauchent ont des vitesses relatives
constantes19
Encadré 2.2 : Conversions entre les unités SI et les unités RG20
Encadré 2.3 : Une démonstration de la transformation de Lorentz21
Encadré 2.4 : Transformations de Lorentz et rotations25
Encadré 2.5 : L'intervalle d'espace-temps ne dépend pas du référentiel26
Encadré 2.6 : L'ordre des événements ne dépend pas du référentiel26
Encadré 2.7 : Temps propre le long d'un chemin27
Encadré 2.8 : Contraction des longueurs27
Encadré 2.9 : Transformation relativiste des vitesses28
3 Quadri-vecteurs
31
Encadré 3.1 : Le produit scalaire est indépendant du référentiel36
Encadré 3.2 : La norme invariante de la quadri-vitesse36
Encadré 3.3 : La limite de u à faible vitesse37
Encadré 3.4 : Conservation de la quantité de mouvement ou de la quadri-quantité
de mouvement ?38
Encadré 3.5 : Exemple : la coupure GZK sur l'énergie des rayons cosmiques40
4 Notation indicielle
43
Encadré 4.1 : Comportement du delta de Kronecker48
Encadré 4.2 : Unité du champ électromagnétique dans le système d'unités RG48
Encadré 4.3 : Les équations de l'électromagnétisme en notation indicielle49
Encadré 4.4 : Identifier les indices libres et les indices muets50
Encadré 4.5 : Violations des règles50
Encadré 4.6 : Exemples de démonstrations51
5 Coordonnées arbitraires
53
Encadré 5.1 : La base naturelle en coordonnées polaires58
Encadré 5.2 : Démonstration de la loi de transformation de la métrique59
Encadré 5.3 : Un exemple 2D : les coordonnées paraboliques60
Encadré 5.4 : Les transformations de Lorentz comme transformations générales62
Encadré 5.5 : Transformation de la métrique en espace plat62
Encadré 5.6 : Une métrique pour la sphère63
6 Équations tensorielles
65
Encadré 6.1 : Exemples de covecteurs gradient70
Encadré 6.2 : Descendre les indices71
Encadré 6.3 : L'inverse de la métrique72
Encadré 6.4 : Le delta de Kronecker est un tenseur73
Encadré 6.5 : Opérations sur les tenseurs73
7 Équations de Maxwell
77
Encadré 7.1 : Équation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss82
Encadré 7.2 : La dérivée de m283
Encadré 7.3 : Monter et descendre des indices en coordonnées cartésiennes83
Encadré 7.4 : L'équation tensorielle de conservation de la charge84
Encadré 7.5 : L'antisymétrie de F entraine la conservation de la charge85
Encadré 7.6 : Le potentiel vecteur86
Encadré 7.7 : Démonstration des équations de Maxwell dans le vide (équation
7.20)87
8 Géodésiques
89
Encadré 8.1 : La ligne d'univers de temps propre maximal en espace-temps plat93
Encadré 8.2 : Dérivation de l'équation d'Euler-Lagrange94
Encadré 8.3 : Dérivation de la seconde forme de l'équation des géodésiques95
Encadré 8.4 : Géodésiques de l'espace plat en coordonnées paraboliques96
Encadré 8.5 : Géodésiques pour la surface d'une sphère98
Encadré 8.6 : L'équation des géodésiques ne détermine pas l'échelle de Tau100
Encadré 8.7 : Géodésiques de la lumière en espace-temps plat101
9 Métrique de Schwarzschild
105
Encadré 9.1 : Distance radiale110
Encadré 9.2 : Chute libre depuis le repos dans l'espace-temps de Schwarzschild111
Encadré 9.3 : Valeur de GM pour la Terre et pour le Soleil112
Encadré 9.4 : Décalage vers le rouge gravitationnel en champ faible112
10 Orbites de particules
115
Encadré 10.1 : Les orbites de Schwarzschild doivent être planes120
Encadré 10.2 : L'équation de «conservation de l'énergie» de Schwarzschild121
Encadré 10.3 : Conservation de l'énergie des orbites newtoniennes122
Encadré 10.4 : Les rayons des orbites circulaires122
Encadré 10.5 : La troisième loi de Kepler124
Encadré 10.6 : L'orbite stable de plus faible rayon125
Encadré 10.7 : Énergie rayonnée par une particule spiralant vers l'intérieur126
11 Précession du périhélie
129
Encadré 11.1 : Vérification de l'équation orbitale pour u(Phi)135
Encadré 11.2 : Vérification de l'équation orbitale newtonienne135
Encadré 11.3 : Vérification de l'équation sur la perturbation orbitale136
Encadré 11.4 : Application à Mercure136
Encadré 11.5 : Construction du diagramme de plongement de Schwarzschild137
Encadré 11.6 : Calcul du secteur angulaire Delta138
Encadré 11.7 : Calcul numérique des orbites de Schwarzschild138
12 Orbites de photons
143
Encadré 12.1 : Interprétation du paramètre d'impact b148
Encadré 12.2 : Démonstration de l'équation du mouvement pour un photon148
Encadré 12.3 : Propriétés de l'énergie potentielle pour la lumière149
Encadré 12.4 : Mouvement d'un photon en espace-temps plat149
Encadré 12.5 : Évaluation des composantes d'un quadri-vecteur dans le référentiel
d'un observateur150
Encadré 12.6 : Une base orthonormée en coordonnées de Schwarzschild150
Encadré 12.7 : Angles critiques pour l'émission de photons151
13 Déviation de la lumière
153
Encadré 13.1 : Vérification de l'équation 13.2159
Encadré 13.2 : L'équation différentielle donnant la forme de l'orbite des photons160
Encadré 13.3 : L'équation différentielle donnant la perturbation de l'orbite des
photons160
Encadré 13.4 : La forme de la solution u(Phi) dans la limite de grand r161
Encadré 13.5 : L'angle de déviation maximale de la lumière par le Soleil161
Encadré 13.6 : L'équation des lentilles162
Encadré 13.7 : Rapport entre la luminosité des images et celle de la source163
14 Horizon des événements
167
Encadré 14.1 : La distance jusqu'à r = 2GM est finie172
Encadré 14.2 : Temps propre lors d'une chute libre de r = R à r = 0174
Encadré 14.3 : Le futur est fini à l'intérieur de l'horizon des événements175
15 Coordonnées alternatives
179
Encadré 15.1 : Calcul de (...)/(...)r184
Encadré 15.2 : La métrique de pluie globale185
Encadré 15.3 : Les limites de dr / d(...) à l'intérieur de l'horizon des événements185
Encadré 15.4 : Obtention des coordonnées de Kruskal-Szekeres186
16 Thermodynamique des trous noirs
189
Encadré 16.1 : Temps de chute libre sur l'horizon depuis r = 2GM + (...)194
Encadré 16.2 : Calcul de EInfini195
Encadré 16.3 : Calcul de kB, (...) et T pour un trou noir solaire196
Encadré 16.4 : Temps de vie d'un trou noir197
17 Dérivée covariante
199
Encadré 17.1 : Dérivée covariante d'un vecteur204
Encadré 17.2 : Dérivée covariante d'un covecteur204
Encadré 17.3 : Symétrie des symboles de Christoffel205
Encadré 17.4 : Les symboles de Christoffel en fonction de la métrique205
Encadré 17.5 : Vérification de l'équation des géodésiques206
Encadré 17.6 : Une astuce pour calculer les symboles de Christoffel206
Encadré 17.7 : Le théorème de platitude locale207
18 Déviation des géodésiques
211
Encadré 18.1 : Déviation de marée newtonienne près d'un objet sphérique216
Encadré 18.2 : Démonstration de l'équation 18.9217
Encadré 18.3 : La dérivée covariante de n217
Encadré 18.4 : Démonstration de l'équation 18.14218
Encadré 18.5 : Exemple de calcul du tenseur de Riemann218
19 Tenseur de Riemann
221
Encadré 19.1 : Le tenseur de Riemann dans un référentiel localement inertiel224
Encadré 19.2 : Symétries du tenseur de Riemann225
Encadré 19.3 : Comptage des degrés de liberté indépendants du tenseur de
Riemann226
Encadré 19.4 : Identité de Bianchi227
Encadré 19.5 : Le tenseur de Ricci est symétrique228
Encadré 19.6 : Le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci pour une sphère228
20 Tenseur énergie-impulsion
231
Encadré 20.1 : Pourquoi la source de la gravitation doit être l'énergie et non la
masse237
Encadré 20.2 : Interprétation de Tij dans un référentiel localement inertiel237
Encadré 20.3 : Le tenseur énergie-impulsion d'un fluide parfait dans son référentiel
au repos238
Encadré 20.4 : L'équation 20.16 se ramène à l'équation 20.15240
Encadré 20.5 : La dynamique des fluides à partir de la conservation de la
quadri-quantité de mouvement240
21 L'équation d'Einstein
245
Encadré 21.1 : Divergence du tenseur de Ricci250
Encadré 21.2 : Détermination de la valeur de b251
Encadré 21.3 : Démonstration de - R + 4Lambda = kT252
22 Interprétation de l'équation
255
Encadré 22.1 : La conservation de la quadri-impulsion entraîne que 0 = (...)v(Rhôouµ)260
Encadré 22.2 : L'inverse de la métrique en champ faible260
Encadré 22.3 : Le tenseur de Riemann dans la limite de champ faible261
Encadré 22.4 : Le tenseur de Ricci dans la limite de champ faible262
Encadré 22.5 : Les sources d'énergie-impulsion des perturbations de la métrique263
Encadré 22.6 : L'équation des géodésiques pour une particule lente dans un
champ faible264
23 La solution de Schwarzschild
267
Encadré 23.1 : Diagonalisation d'une métrique à symétrie sphérique272
Encadré 23.2 : Les composantes du tenseur de Ricci273
Encadré 23.3 : Détermination de B276
Encadré 23.4 : Détermination de a(r)277
Encadré 23.5 : Les symboles de Christoffel ayant pour indices tt277
24 L'Univers observé
281
Encadré 24.1 : Mesure des distances astronomiques dans le Système solaire286
Encadré 24.2 : Détermination de la distance des amas stellaires288
Encadré 24.3 : Relation entre décalage Doppler et vitesse radiale289
Encadré 24.4 : Valeurs de la constante de Hubble290
Encadré 24.5 : Tout point est le «centre» de l'expansion290
Encadré 24.6 : Indications de la présence de matière noire291
25 Une métrique pour le Cosmos
295
Encadré 25.1 : Le tenseur de Ricci de l'Univers300
Encadré 25.2 : Montrer un indice du tenseur de Ricci de l'Univers300
Encadré 25.3 : Le tenseur énergie-impulsion avec un indice en bas300
Encadré 25.4 : L'équation d'Einstein avec un indice en bas303
Encadré 25.5 : Vérification de la solution pour q304
26 Évolution de l'Univers
307
Encadré 26.1 : Les autres composantes de l'équation d'Einstein312
Encadré 26.2 : Conservation locale de l'énergie et de la quantité de mouvement313
Encadré 26.3 : Relation densité/échelle pour le rayonnement314
Encadré 26.4 : Démonstration de l'équation de Friedmann314
Encadré 26.5 : L'équation de Friedmann pour le temps présent315
Encadré 26.6 : L'équation de Friedmann en fonction des Omegas315
Encadré 26.7 : Comportement d'un Univers dominé par la matière316
27 Implications cosmiques
319
Encadré 27.1 : Relation entre le redshift z et la constante de Hubble324
Encadré 27.2 : La loi de Hubble en fonction du redshift z324
Encadré 27.3 : Distance de luminosité325
Encadré 27.4 : L'équation différentielle sur a(Eta)325
Encadré 27.5 : Résolution numérique de l'équation 27.18326
28 L'Univers primordial
329
Encadré 28.1 : Univers à une composante334
Encadré 28.2 : Transition vers l'Univers dominé par la matière335
Encadré 28.3 : Relation temps/température335
Encadré 28.4 : Découplage des neutrinos337
Encadré 28.5 : La densité numérique des photons339
29 Fluctuations du CMB et inflation
341
Encadré 29.1 : La taille angulaire des plus grandes fluctuations du CMB347
Encadré 29.2 : L'équation sur Omegak(t)348
Encadré 29.3 : Platitude cosmique à la fin de la nucléosynthèse primordiale349
Encadré 29.4 : La formule de l'inflation exponentielle349
Encadré 29.5 : Calculs d'inflation350
30 Liberté de jauge
353
Encadré 30.1 : L'équation d'Einstein en champ faible en fonction de hµUpsilon357
Encadré 30.2 : Inversion de la trace de hµUpsilon358
Encadré 30.3 : L'équation d'Einstein en champ faible en fonction de HµUpsilon359
Encadré 30.4 : Transformations de jauge des perturbations de la métrique360
Encadré 30.5 : Une transformations de jauge qui n'affecte pas RAlphaßµUpsilon361
Encadré 30.6 : Jauge de Lorenz362
Encadré 30.7 : Liberté de jauge additionnelle363
31 Détection des ondes gravitationnelles
365
Encadré 31.1 : Contraintes sur notre solution d'essai370
Encadré 31.2 : Transformation vers la jauge transverse de trace nulle371
Encadré 31.3 : Une particule au repos reste au repos dans les coordonnées TT373
Encadré 31.4 : Effet d'une onde gravitationnelle sur des particules disposées en
cercle374
32 Énergie des ondes gravitationnelles
377
Encadré 32.1 : Le tenseur de Ricci381
Encadré 32.2 : Le scalaire de courbure moyen381
Encadré 32.3 : Densité d'énergie des ondes gravitationnelles, dans le cas général381
33 Sources des ondes gravitationnelles
385
Encadré 33.1 : Htµ pour une source compacte dont le centre de masse est au
repos390
Encadré 33.2 : Une identité utile390
Encadré 33.3 : Les composantes transverses et de trace nulle de AµUpsilon392
Encadré 33.4 : Comment trouver (...)jkTT pour des ondes se déplaçant dans la
direction (...)393
Encadré 33.5 : Le flux en fonction de (...)jk395
Encadré 33.6 : Évaluation des intégrales dans le calcul de la puissance396
34 Astronomie des ondes gravitationnelles
399
Encadré 34.1 : Le (...)jk de l'haltère404
Encadré 34.2 : Puissance rayonnée par l'haltère405
Encadré 34.3 : Énergie totale d'un couple binaire en orbite406
Encadré 34.4 : Vitesse de variation de la période orbitale406
Encadré 34.5 : Caractéristiques de Iota Bootis407
35 Gravitomagnétisme
409
Encadré 35.1 : Condition de Lorenz pour les potentiels414
Encadré 35.2 : Équations de Maxwell pour le champ gravitationnel415
Encadré 35.3 : Les équations de Lorentz gravitationnelles416
Encadré 35.4 : Le «moment gravito-magnétique» d'un objet en rotation416
Encadré 35.5 : Vitesse angulaire de précession d'un gyroscope417
36 Métrique de Kerr
419
Encadré 36.1 : Développement de ||(...) - (...)||-1 au premier ordre en r / R423
Encadré 36.2 : L'intégrale donnant htx424
Encadré 36.3 : Pourquoi les autres termes du développement donnent zéro dans
l'intégrale425
Encadré 36.4 : Transformation en coordonnées sphériques de la solution en
champ faible426
Encadré 36.5 : La limite en champ faible de la métrique de Kerr427
37 Orbites des particules dans l'espace-temps de Kerr
429
Encadré 37.1 : Calcul des expressions de dt/dTau et dPhi/dTau433
Encadré 37.2 : Vérification de la valeur de [gtPhi]2 - gttgPhiPhi434
Encadré 37.3 : Les équations de «conservation de l'énergie» au cours du
mouvement435
Encadré 37.4 : Troisième loi de Kepler436
Encadré 37.5 : Rayon minimal des orbites circulaires stables quand a = GM437
38 Ergorégion et horizon
439
Encadré 38.1 : Les rayons où gtt = 0443
Encadré 38.2 : L'intervalle de vitesses angulaires lorsque dr ou dThêta (...) 0444
Encadré 38.3 : Limites sur la vitesse angulaire dans le plan équatorial445
Encadré 38.4 : La métrique de l'horizon des événements446
Encadré 38.5 : L'aire de l'horizon des événements externe de Kerr447
Encadré 38.6 : Transformations qui préservent le signe du déterminant des
matrices447
39 Orbites d'énergie négative
451
Encadré 39.1 : Forme quadratique pour la conservation de l'énergie456
Encadré 39.2 : La racine carrée est nulle sur l'horizon des événements457
Encadré 39.3 : e ne peut être négatif que dans l'ergorégion458
Encadré 39.4 : La limite fondamentale sur DeltaM en fonction de DeltaS459
Encadré 39.5 : DeltaM >/= 0460
Encadré 39.6 : La contribution de l'énergie de rotation à la masse du trou noir461