Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire : cours et exercices corrigés

Auteur(s) :

Houimdi, Mohamed Découvrir l'auteur

Résumé

Un manuel d'algèbre linéaire et bilinéaire, avec de nombreux exemples et des exercices corrigés. ©Electre 2021

Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- 2021
Notes
- Bibliogr. p. 547-551
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (X-551 p.) ; 24 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-340-04557-6
Indice
- 512 Algèbre
Quatrième de couverture
- Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire
  Cours et exercices corrigés
  Cet ouvrage présente l'algèbre linéaire et bilinéaire sous un aspect fondamental et pratique. Il est le fruit de plusieurs années d'enseignement d'algèbre générale, linéaire et bilinéaire. Il est essentiellement destiné aux étudiants en licence de mathématiques, aux élèves de la section MP des classes préparatoires et ceux qui préparent les concours de l'enseignement.
  Le cours est complet et rédigé d'une manière pédagogique, simple et détaillée, avec beaucoup d'exemples et d'exercices corrigés dans chaque chapitre, dont le but est d'illustrer le contenu.
  Le livre est organisé de manière progressive en onze chapitres : Espaces vectoriels - Applications linéaires et matrices - Formes linéaires et dualité - Formes multilinéaires et déterminants - Réduction des endomorphismes - Applications de la réduction - Formes bilinéaires et formes quadratiques - Espaces euclidiens - Endomorphismes d'un espace euclidien - Formes sesquilinéaires et formes quadratiques hermitiennes - Espaces hermitiens.
Tables des matières
- - Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire
  - Cours et exercices corrigés
  - Mohamed Houimdi
  - Ellipses
  - Avant propos iii
  - 1 Espaces vectoriels1
  - 1.1 Définitions et propriétés de base1
  - 1.1.1 Espace vectoriel sur un corps quelconque1
  - 1.1.2 Conséquences de la définition1
  - 1.1.3 Exemples fondamentaux2
  - 1.2 Sous-espaces vectoriels3
  - 1.2.1 Définition et exemples3
  - 1.2.2 Opérations sur les sous-espaces vectoriels5
  - 1.2.3 Sous-espaces supplémentaires10
  - 1.3 Espace vectoriel quotient13
  - 1.4 Partie génératrice - Partie libre - Base14
  - 1.4.1 Combinaisons linéaires - Partie génératrice14
  - 1.4.2 Partie libre15
  - 1.4.3 Base16
  - 1.5 Espaces vectoriels de dimension finie19
  - 1.5.1 Définition et exemples19
  - 1.5.2 Théorème de la dimension finie20
  - 1.5.3 Théorème de la base incomplète26
  - 1.5.4 Identités remarquables concernant la dimension28
  - 1.6 Exercices31
  - 1.7 Solutions des exercices36
  - 2 Applications linéaires - Matrices51
  - 2.1 Applications linéaires - Isomorphisme d'epaces vectoriels51
  - 2.1.1 Définition et propriétés de base51
  - 2.1.2 Noyau et image d'une application linéaire55
  - 2.1.3 Décomposition canonique - Théorème du rang58
  - 2.2 Endomorphismes - Automorphismes61
  - 2.3 Exemples d'endomorphismes remarquables65
  - 2.3.1 Projection sur un sous-espace vectoriel - Projecteurs65
  - 2.3.2 Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel67
  - 2.3.3 Affinités - Dilatations - Transvections68
  - 2.4 Matrices71
  - 2.4.1 Opérations sur les matrices71
  - 2.4.2 Matrices élémentaires74
  - 2.4.3 Matrices de transvection - Matrices de dilatation - Génération de GL_n(K)75
  - 2.4.4 Trace d'une matrice carrée78
  - 2.5 Matrices et applications linéaires79
  - 2.5.1 Matrice d'une application linéaire79
  - 2.5.2 Matrice de passage - Changement de base82
  - 2.6 Rang d'une application linéaire - Rang d'une matrice86
  - 2.6.1 Définition et propriétés de base86
  - 2.6.2 Rang et matrices équivalentes87
  - 2.7 Exercices90
  - 2.7.1 Noyau, image, isomorphisme, automorphisme, théorème du rang90
  - 2.7.2 Rang - Théorème du rang94
  - 2.7.3 Projecteurs96
  - 2.7.4 Matrices, applications linéaires de matrices99
  - 2.8 Solution des exercices102
  - 3 Formes linéaires - Dualité131
  - 3.1 Formes linéaires et hyperplans131
  - 3.2 Espace vectoriel dual134
  - 3.3 Base duale136
  - 3.4 Base préduale141
  - 3.5 Prolongement des formes linéaires142
  - 3.6 Orthogonalité143
  - 3.7 Bidual148
  - 3.8 Transposée d'une application linéaire149
  - 3.9 Exercices152
  - 3.10 Solution des exercices155
  - 4 Formes multilinéaires - Déterminants165
  - 4.1 Formes multilinéaires165
  - 4.1.1 Définitions et propriétés de base165
  - 4.1.2 Formes multilinéaires alternées167
  - 4.2 Déterminants172
  - 4.2.1 Déterminant d'un système de vecteurs172
  - 4.2.2 Déterminant d'un endomorphisme174
  - 4.2.3 Déterminant d'une matrice176
  - 4.2.4 Développement d'un déterminant179
  - 4.2.5 Inverse d'une matrice184
  - 4.2.6 Déterminant de Vandermonde185
  - 4.3 Exercices187
  - 4.4 Solutions des exercices190
  - 5 Réduction des endomorphismes199
  - 5.1 Polynômes et endomorphismes199
  - 5.1.1 Notations et définitions199
  - 5.1.2 Polynôme minimal200
  - 5.1.3 Polynôme caractéristique203
  - 5.1.4 Théorème de Cayley-Hamilton206
  - 5.1.5 Théorème de décomposition des noyaux209
  - 5.2 Diagonalisation211
  - 5.2.1 Valeurs propres - Vecteurs propres211
  - 5.2.2 Sous-espaces propres212
  - 5.2.3 Endomorphismes diagonalisables215
  - 5.2.4 Diagonalisation simultannée223
  - 5.3 Trigonalisation225
  - 5.4 Endomorphismes nilpotents229
  - 5.5 Jordanisation d'un endomorphisme nilpotent234
  - 5.6 Décomposition de Dunford241
  - 5.7 Réduction de Jordan245
  - 5.7.1 Base et matrice de Jordan245
  - 5.7.2 Technique de jordanisation en petites dimensions247
  - 6 Applications de la réduction255
  - 6.1 Calcul de l'exponentielle d'une matrice255
  - 6.1.1 Norme d'une matrice255
  - 6.1.2 Exponentielle d'une matrice256
  - 6.2 Systèmes et équations différentiels linéaires262
  - 6.2.1 Définition d'un système différentiel262
  - 6.2.2 Résolution pratique d'un système différentiel263
  - 6.2.3 Solutions réelles268
  - 6.3 Equations différentielles linéaires à coefficients constants270
  - 6.3.1 Equation homogène270
  - 6.4 Exercices272
  - 6.5 Solutions des exercices285
  - 7 Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques315
  - 7.1 Formes bilinéaires symétriques315
  - 7.1.1 Définition et propriétés élémentaires315
  - 7.1.2 Matrice d'une forme bilinéaire317
  - 7.1.3 Ecriture matricielle318
  - 7.1.4 Changement de base319
  - 7.1.5 Rang d'une forme bilinéaire319
  - 7.1.6 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées320
  - 7.1.7 Orthogonalité321
  - 7.1.8 Isotropie324
  - 7.1.9 Bases orthogonales326
  - 7.2 Formes quadratiques327
  - 7.2.1 Définition et propriétés élémentaires327
  - 7.2.2 Méthode de Gauss de réduction d'une forme quadratique330
  - 7.3 Signature d'une forme bilinéaire symétrique335
  - 7.3.1 bases orthonormales335
  - 7.3.2 Théorème d'inertie de Sylvester337
  - 7.4 Exercices339
  - 7.5 Solution des exercices344
  - 8 Espaces eucldiens359
  - 8.1 Produit scalaire359
  - 8.1.1 Définition et propriétés élémentaires359
  - 8.1.2 Notations et règles de calcul362
  - 8.1.3 Utilisation des bases orthonormales363
  - 8.2 Inégalité de cauchy-Schwarz364
  - 8.3 Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt367
  - 8.4 Changement de bases orthonormales - Orientation369
  - 8.5 Produit vectoriel371
  - 8.5.1 Formes linéaires d'un espace euclidien371
  - 8.5.2 Définition et propriétés du produit vectoriel372
  - 8.6 Exercices376
  - 8.7 Solution des exercices382
  - 9 Endomorphismes d'un espace euclidiens397
  - 9.1 Endomorphisme adjoint397
  - 9.2 Projection orthogonale400
  - 9.2.1 Projection suivant une direction400
  - 9.2.2 Définition et propriétés d'une projection orthogonale401
  - 9.2.3 Distance d'un point à un sous-espace vectoriel406
  - 9.3 Symétrie orthogonale408
  - 9.3.1 Symétrie suivant une direction408
  - 9.3.2 Propriétés des symétries orthogonales409
  - 9.4 Endomorphismes symétriques410
  - 9.4.1 Définition et propriétés des endomorphismes symétriques410
  - 9.4.2 Formes bilinéaires symétriques d'un espace euclidien413
  - 9.5 Endomorphismes orthogonaux417
  - 9.5.1 Définition et propriétés de base417
  - 9.5.2 Cas d'un espace euclidien de dimension 2420
  - 9.5.3 Cas d'un espace euclidien de dimension 3421
  - 9.5.4 Cas général425
  - 9.6 Décomposition polaire428
  - 9.7 Décomposition QR431
  - 9.8 Exercices432
  - 9.9 Solution des exercices450
  - 10 Formes sesquilinéaires - Formes quadratiques hermitiennes505
  - 10.1 Formes sesquilinéaires - Formes hermitiennes505
  - 10.1.1 Quelques rappels sur les nombres complexes505
  - 10.1.2 Définition et propriétés de base506
  - 10.1.3 Matrice d'une forme sesquilinéaire506
  - 10.1.4 Ecriture matricielle508
  - 10.1.5 Changement de base508
  - 10.1.6 Rang d'une forme sesquilinéaire509
  - 10.1.7 Formes hermitienne non dégénérée509
  - 10.1.8 Orthogonalité510
  - 10.1.9 Bases orthogonales512
  - 10.2 Formes quadratiques hermitiennes513
  - 10.2.1 Définition et propriétés élémentaires513
  - 10.2.2 Méthode de Gauss pour la réduction d'une forme quadratique hermitienne515
  - 10.3 Exercices520
  - 10.4 Solution des exercices521
  - 11 Espaces hermitiens525
  - 11.1 Produit hermitien525
  - 11.1.1 Définition et exemples525
  - 11.1.2 Notations et règles de calcul527
  - 11.1.3 Utilisation des bases orthonormales527
  - 11.2 Inégalité de Cauchy-Schwartz528
  - 11.3 Endomorphismes d'un espace hermitien529
  - 11.3.1 Endomorphisme adjoint529
  - 11.3.2 Endomorphismes normaux531
  - 11.3.3 Endomorphismes hermitiens534
  - 11.3.4 Endomorphismes unitaires536
  - 11.4 Exercices538
  - 11.5 Solution des exercices540
  - Bibliographie 547
  - Index 547
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre