Algèbre
Tome 3. Anneaux - Polynômes - Modules
Aviva Szpirglas
Cassini
Introduction13
Chapitre 1. Anneaux15
1. Rappels16
1.1. Notations, exemples fondamentaux16
1.2. Idéaux19
1.3. Morphismes d'anneaux19
1.4. Anneaux quotients20
1.5. Arithmétique21
Divisibilité22
Nombres premiers22
Lemme d'Euclide22
Nombres premiers entre eux22
Lemme de Gauss22
Théorème de Bézout22
pgcd22
Existence et unicité du pgcd23
ppcm23
Existence et unicité du ppcm23
Nombres premiers entre eux, pgcd et ppcm23
Démonstrations23
2. Ces êtres étranges qui vivent dans les anneaux25
2.1. Éléments centraux25
2.2. Diviseurs de zéro26
2.3. Éléments réguliers28
2.4. Éléments nilpotents29
2.5. Caractéristique d'un anneau30
2.6. Éléments irréductibles31
3. Étude des idéaux34
3.1. Opérations sur les idéaux34
3.2. Générateurs d'un idéal35
3.3. Idéaux des anneaux euclidiens38
3.4. Arithmétique des idéaux41
Idéaux comaximaux41
Théorème des restes chinois43
Système fondamental d'idempotents45
Un exemple d'application : le polynôme d'interpolation de Lagrange48
3.5. Radical d'un idéal49
3.6. Idéaux maximaux51
3.7. Idéaux premiers54
3.8. Idéaux de A/I55
4. Corps des fractions d'un anneau intègre58
4.1. Construction58
4.2. Propriétés60
5. Localisation61
6. Anneaux noethériens66
6.1. Définitions équivalentes66
6.2. Constructions d'anneaux noethériens67
6.3. Anneaux artiniens69
7. Arithmétique71
7.1. Irréductibles ou premiers ?72
7.2. Pgcd-Ppcm73
7.3. Éléments premiers entre eux75
7.4. Anneaux à pgcd76
7.5. Anneaux de Bézout80
7.6. Anneaux factoriels81
Caractérisation et exemples81
Valuation84
7.7. Les anneaux de Bézout sont-ils factoriels ?86
8. Quelques conséquences amusantes87
8.1. L'équation x2 + y2 = z287
8.2. L'équation x4 + y4 = z489
8.3. Les sommes de deux carrés90
8.4. L'anneau Z[i?d]92
Complément du chapitre 195
1. Les nombres presque premiers95
1.1. À quoi servent les nombres premiers ?95
1.2. Comment trouver un grand nombre premier ?98
1.3. Test de pseudo-primalité99
1.4. Les nombres de Carmichael101
Exercices du chapitre 1107
Solutions des tests du chapitre 1109
Solutions des exercices du chapitre 1113
Chapitre 2. Polynômes119
1. Polynômes à une indéterminée120
1.1. Polynômes à coefficients dans un anneau120
1.2. Polynômes à coefficients dans un corps122
Division euclidienne123
Idéaux de K [X]124
Racines d'un polynôme128
Polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]132
Localisation des racines d'un polynôme133
1.3. Polynômes à coefficients dans un anneau factoriel136
1.4. Critères d'irréductibilité des polynômes138
2. Polynômes à plusieurs indéterminées144
2.1. Algèbre .A[X1...,Xn]144
2.2. Formules d'Euler et de Taylor147
3. Polynômes symétriques149
3.1. Relations entre coefficients et racines150
3.2. Théorème de structure150
3.3. Sommes de Newton152
4. Élimination155
4.1. Résultant de deux polynômes :156
4.2. Applications algébriques du résultant160
Racines multiples des polynômes160
Nombres algébriques165
Transformation des équations algébriques167
Application arithmétique168
5. Fractions rationnelles171
5.1. Corps K(X) des fractions rationnelles171
5.2. Décomposition en éléments simples173
Cas général173
Décomposition en éléments simples dans C(X)175
Décomposition en éléments simples dans R(X)178
5.3. Applications de la décomposition en éléments simples179
Application en algèbre linéaire179
Théorème de Gauss-Lucas180
Application aux dénombrements181
5.4. Déterminants de Hankel182
Compléments du chapitre 2183
1. Applications géométriques du résultant183
1.1. Cas affine183
1.2. Cas projectif187
2. Sous-variétés algébriques de Cnet idéaux de C[ X1,..., Xn]192
3. Polynômes cyclotomiques196
4. Polynômes invariants sous l'action du groupe alterné199
4.1. Cas où 2 est inversible dans A199
4.2. Cas général202
5. Groupe des K-automorphismes de K(X)205
Exercices du chapitre 2209
Solutions des tests du chapitre 2211
Solutions des exercices du chapitre 2213
Chapitre 3. Modules217
1. Quelques bases pour fixer les idées218
1.1. Définition218
1.2. Petit tour d'horizon220
Produit cartésien220
Matrices220
Polynômes220
Idéal et quotient220
Algèbre220
Généralisation221
Structure de K[X]-module associé à un endomorphisme d'un K-espace vectoriel221
1.3. Morphismes221
2. Sous-modules223
3. Modules quotients224
4. Modules de type fini226
5. Modules noethériens229
6. Opérations sur les sous-modules231
7. Torsion des modules sur un anneau commutatif intègre234
8. Modules libres236
8.1. Familles libres236
8.2. Bases237
9. Modules libres et de type fini sur un anneau commutatif240
9.1. Déterminant241
9.2. Structure des modules libres de type fini245
9.3. Endomorphismes de An248
10. Modules sur un anneau principal251
10.1. Généralités et première décomposition251
10.2. Décomposition des modules de torsion255
Décomposition primaire255
Décomposition en modules cycliques257
Lien entre les deux décompositions261
10.3. Théorème de la base adaptée262
11. Applications269
11.1. Structure des groupes commutatifs de type fini269
11.2. Invariants de similitude d'un endomorphisme270
Compléments du chapitre 3275
1. Idéaux inversibles - Anneaux de Dedekind275
1.1. Introduction275
1.2. Idéaux inversibles277
Définition et premières propriétés277
Opérations arithmétiques279
Généralisation283
Inversibilité et idéaux premiers284
1.3. Factorisation des idéaux286
Unicité d'une factorisation286
Existence d'une factorisation286
Conséquences de la factorisation288
1.4. Anneaux de Dedekind291
1.5. Caractères noethérien et intégralement clos des anneaux de Dedekind293
Caractère noethérien293
Caractère intégralement clos294
1.6. Critères « locaux » en terrain intègre noethérien296
2. Principe local-global299
2.1. Présentation du problème300
Un petit exemple, exemplaire301
2.2. Le principe local-global de base302
Parties multiplicatives comaximales302
Résoudre un système linéaire303
Localisation d'un module305
Principe local-global pour les modules de type fini306
2.3. Précisions sur les quotients et les localisations306
2.4. La localisation en tous les idéaux premiers309
Un contre-exemple et les leçons que l'on peut en tirer310
2.5. Le principe local-global pour les suites exactes de A-modules312
2.6. Exemples de propriétés local-globales313
3. Vision des mathématiques constructives sur les modules317
Introduction - Systèmes linéaires sur un anneau commutatif318
3.1. Quelques jolis théorèmes en relation avec les déterminants319
Le rang d'un module libre319
Idéaux de type fini idempotents321
Idéaux déterminantiels d'une matrice321
3.2. Anneaux et modules cohérents324
Une notion fondamentale324
Propriétés de base325
Caractère local de la cohérence327
3.3. Modules de présentation finie327
Un résultat structurel pour les modules de type fini328
Changement de système générateur329
Applications linéaires entre modules de présentation finie330
Cohérence et présentation finie331
Principe local-global332
Exercices du chapitre 3333
Solutions des tests du chapitre 3337
Solutions des exercices du chapitre 3339
Bibliographie345
Index des notations347
Index349