Algèbre et géométrie

Auteur(s) :

Combes, François (1938-....) Découvrir l'auteur

Éditeur(s)
- Bréal by Studyrama
- Impr. Maury
Date
- DL 2021
Notes
- Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (320 p.) ; 24 cm
Collections
- CAPES-agrégation (Rosny-sous-Bois)
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-7495-5163-0
Indice
- 512 Algèbre
Quatrième de couverture
- Mathématiques
  Cet ouvrage, conçu à partir du cours enseigné par l'auteur en licence de mathématiques, s'adresse à des étudiants préparant les concours du CAPES et de l'agrégation de mathématiques (externe ou interne).
  Chacun des quatorze chapitres est constitué d'un cours complet, incluant de nombreux exemples, et d'exercices corrigés. Les notions algébriques de groupe et d'anneau sont introduites respectivement dans les parties I et III, puis sont réinvesties dans le cadre de la géométrie affine et de la géométrie euclidienne (partie II), et en théorie des nombres (partie IV).
  Cette présentation permet aussi de comprendre que les mathématiques ne sont pas composées de la réunion de disciplines disjointes : chaque discipline met ses outils au service des autres.
Tables des matières
- - Algèbre et géométrie
  - François Combes
  - Bréal
  - I Groupes9
  - 1 La catégorie des groupes 11
  - 1.1 Factorisation d'une application11
  - 1.2 Loi de composition interne sur un ensemble13
  - 1.3 Notion de groupe15
  - 1.4 Homomorphismes de groupes16
  - 1.5 Sous-groupes18
  - 1.6 Noyau et image d'un homomorphisme20
  - 1.7 Indice d'un sous-groupe, théorème de Lagrange21
  - 1.8 Groupe quotient23
  - 1.9 Factorisation des homomorphismes24
  - 1.10 Produit direct de groupes25
  - 1.11 Caractérisation du produit direct26
  - 1.12 Procédé de symétrisation27
  - 1.13 Sous-groupes de Z et de R28
  - 1.14 Sous-groupe engendré par un élément30
  - 1.15 Exercices du chapitre 131
  - 2 Actions de groupes 39
  - 2.1 Groupe agissant sur un ensemble39
  - 2.2 Orbite, stabilisateur d'un point41
  - 2.3 Action d'un groupe fini sur un ensemble fini43
  - 2.4 Théorème de Cauchy45
  - 2.5 Théorème d'isomorphisme de Noether45
  - 2.6 Produits semi-directs47
  - 2.7 Caractérisation des produits semi-directs48
  - 2.8 Exercices du chapitre 250
  - 3 Groupes abéliens finis 59
  - 3.1 Groupes cycliques, générateurs59
  - 3.2 Homomorphismes entre groupes cycliques60
  - 3.3 Sous-groupes d'un groupe cyclique62
  - 3.4 Produit de deux groupes cycliques63
  - 3.5 Groupes d'ordre premier64
  - 3.6 Décomposition cyclique d'un groupe abélien fini65
  - 3.7 Groupes résolubles69
  - 3.8 Exercices du chapitre 371
  - 4 Le groupe symétrique 79
  - 4.1 Décomposition d'une permutation en cycles79
  - 4.2 Cycles conjugués80
  - 4.3 Générateurs du groupe symétrique81
  - 4.4 Signature d'une permutation81
  - 4.5 Non résolubilité du groupe des permutations83
  - 4.6 Exercices du chapitre 484
  - 5 Sous-groupes de Sylow 91
  - 5.1 Théorèmes de Sylow91
  - 5.2 Structure de quelques groupes finis94
  - 5.3 Groupes d'ordre 896
  - 5.4 Exercices du chapitre 597
  - II Géométrie103
  - 6 Géométrie affine 105
  - 6.1 Espace affine associé à un espace vectoriel105
  - 6.2 Repères cartésiens107
  - 6.3 Applications affines109
  - 6.4 Existence d'applications affines111
  - 6.5 Isomorphismes affines112
  - 6.6 Sous-espaces affines114
  - 6.7 Sous-espaces affines eu dimension finie115
  - 6.8 Sous-espaces affines et applications affines117
  - 6.9 Groupe affine118
  - 6.10 Groupe des homothéties et translations120
  - 6.11 Orientation d'un espace affine réel121
  - 6.12 Exercices du chapitre 6123
  - 7 Barycentres en géométrie affine 133
  - 7.1 Barycentres133
  - 7.2 Applications affines et barycentres135
  - 7.3 Sous-espaces affines et barycentres136
  - 7.4 Repères affines137
  - 7.5 Espace affine hyperplan d'un espace vectoriel139
  - 7.6 Parties convexes d'un espace affine réel141
  - 7.7 Enveloppe convexe d'une partie143
  - 7.8 Points extrémaux d'une partie convexe143
  - 7.9 Sommets des polygones et polyèdres convexes145
  - 7.10 Les polyèdres convexes réguliers146
  - 7.11 Exercices du chapitre 7148
  - 8 Géométrie affine euclidienne 153
  - 8.1 Espaces affines euclidiens153
  - 8.2 Rappels sur le groupe orthogonal154
  - 8.3 Isométries affines156
  - 8.4 Symétries orthogonales157
  - 8.5 Symétries glissées159
  - 8.6 Isométries produits de symétries hyperplanes160
  - 8.7 Groupe des isométries de ε_n162
  - 8.8 Décomposition canonique d'une isométrie163
  - 8.9 Classification des isométries du plan164
  - 8.10 Classification des isométries de l'espace166
  - 8.11 Groupe des similitudes170
  - 8.12 Sous-groupes finis du groupe des déplacements171
  - 8.18 Exercices du chapitre 8174
  - III Anneaux187
  - 9 Généralités sur les anneaux 189
  - 9.1 Les objets de cette catégorie mathématique189
  - 9.2 Les morphismes dans cette catégorie mathématique192
  - 9.3 Les sous-anneaux194
  - 9.4 Sous-anneau engendré par une partie non vide195
  - 9.5 Idéaux d'un anneau195
  - 9.6 Intersection et somme d'idéaux196
  - 9.7 Quotient, d'un anneau par un idéal bilatère198
  - 9.8 Idéaux maximaux199
  - 9.9 Corps200
  - 9.10 Corps des fractions d'un anneau intègre202
  - 9.11 Quotient, par un idéal maximal204
  - 9.12 Sous-corps premier d'un corps205
  - 9.13 Exercices du chapitre 9206
  - 10 Anneaux de polynômes 213
  - 10.1 Polynômes à coefficients dans un anneau213
  - 10.2 Division euclidienne215
  - 10.3 Fonction polynomiale, et racines d'un polynôme216
  - 10.4 Dérivée formelle d'un polynôme, formule de Taylor217
  - 10.5 Multiplicité d'une racine218
  - 10.6 Un exemple : les polynômes cyclotomiques219
  - 10.7 Groupe K* lorsque K est un corps commutatif221
  - 10.8 Le polynôme d'interpolation de Lagrange224
  - 10.9 Résolution des équations du troisième degré224
  - 10.10 Exercices du chapitre 10226
  - 11 Anneaux principaux 237
  - 11.1 Idéaux principaux, anneaux principaux237
  - 11.2 Exemples classiques : les anneaux euclidiens238
  - 11.3 Entiers d'un corps quadratique240
  - 11.4 Divisibilité dans un anneau principal241
  - 11.5 Décomposition en facteurs irréductibles244
  - 11.6 Anneau des entiers de Gauss246
  - 11.7 Théorème chinois249
  - 11.8 Quotients dans les anneaux principaux250
  - 11.9 Exercices du chapitre 11252
  - IV Théorie des nombres261
  - 12 Arithmétique 263
  - 12.1 Congruences, anneau Z/nZ263
  - 12.2 Théorèmes de Fennat-Euler et de Wilson264
  - 12.3 Résidus quadratiques267
  - 12.4 Nombres premiers269
  - 12.5 Nombres de Mersenne, nombres de Fermat270
  - 12.6 Un pas vers le théorème de Dirichlet272
  - 12.7 Equations diophantiennes273
  - 12.8 Exercices du chapitre 12277
  - 13 Nombres algébriques 289
  - 13.1 Eléments algébriques d'une algèbre289
  - 13.2 Une application à l'algèbre linéaire290
  - 13.3 Nombres transcendants292
  - 13.4 Le corps des nombres algébriques294
  - 13.5 Constructions à la règle et au compas296
  - 13.6 Quelques constructions à la règle et au compas298
  - 13.7 Exercices du chapitre 13301
  - 14 Anneaux factoriels 307
  - 14.1 Une généralisation des anneaux principaux307
  - 14.2 Polynômes primitifs310
  - 14.3 Irréductibilité des polynômes311
  - 14.4 Anneau des polynômes sur un anneau factoriel312
  - 14.5 Critère d'irréductibilité d'Eisenstein314
  - 14.6 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques317
  - Index318
Origine de la notice:
- FR-751131015