Mécanique des solides déformables
1 Cinématique, dynamique, énergétique
Alain Curnier
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes
Prologue : objet et esprit de ce livreix
1 Introduction
1
1.1 Thème et contexte2
1.2 Plan et contenu7
1.3 Conventions de notation9
2 Géométrie et cinématique
17
2.1 Définition d'un solide19
2.1.1 Espace, temps, référentiel19
2.1.2 Définition d'un solide - forme originelle29
2.1.3 Exemples de solides simples32
2.2 Mouvement, vitesse, accélération38
2.2.1 Forme actuelle transformée38
2.2.2 Mouvement, transformation, déplacement39
2.2.3 Bijectivité et bicontinuité du mouvement41
2.2.4 Vitesse et accélération48
2.2.5 Vitesse et description spatialisées53
2.2.6 Conditions initiales et aux limites55
2.2.7 Hiérarchie des solides et de leurs mouvements58
2.3 Placements et mouvements rigides60
2.3.1 Définition d'un mouvement rigide60
2.3.2 Décomposition en une rotation et une translation62
2.3.3 Translations66
2.3.4 Changements de base et de référentiel67
2.3.5 Groupes rotationnel et rigide68
2.3.6 Axe d'une rotation et décomposition hélicoïdale69
2.3.7 Repérages du tétraèdre et du trièdre mobiles71
2.3.8 Paramétrages d'une rotation plane76
2.3.9 Paramétrages d'une rotation spatiale80
2.3.10 Vitesse rigidifiante. Tenseurs vitesse de rotation88
2.4 Transformations affines93
2.4.1 Définition d'une transformation affine94
2.4.2 Décomposition en transformation linéaire et translation97
2.4.3 Propriétés du tenseur constant de la transformation99
2.4.4 Groupes linéaire et affine propres104
2.4.5 Axe principal d'élongation d'une transformation
linéaire105
2.4.6 Dilatation-concentration sphérique (tension-pression)107
2.4.7 Elongation pure cylindrique (traction simple isotrope)108
2.4.8 Glissement simple (cisaillement simple)109
2.4.9 Tétraèdre ou trièdre déformable113
2.4.10 Vitesse affinante. Tenseurs taux de transformation118
2.4.11 Solide discret déformable121
2.5 Transformations non linéaires123
2.5.1 Analyse locale d'une transformation124
2.5.2 Définition du gradient de la transformation125
2.5.3 Propriétés du gradient de la transformation128
2.5.4 Gradient du déplacement130
2.5.5 Exemples de tenseurs gradients de la transformation130
2.5.6 Transformation plane131
2.5.7 Dilatation non linéaire135
2.5.8 Flexion pure137
2.5.9 Torsion pure140
2.6 Transformations de surface et volume143
2.6.1 Transformation d'un vecteur surface143
2.6.2 Tenseur cogradient de la transformation145
2.6.3 Changement de volume. Déterminant148
2.6.4 Résumé des transformées de ligne, surface et volume150
2.6.5 Formules de Leibniz-Cramer et de Piola-Nanson151
2.6.6 Invariants du gradient de la transformation153
2.6.7 Valeurs et vecteurs propres
du gradient de la transformation157
2.6.8 Volume et aire du solide déformé161
2.6.9 Résultante, centre et tenseur de forme163
2.7 Changements de longueur et d'angle166
2.7.1 Changements de longueur et d'angle166
2.7.2 Tenseur matériel métrique167
2.7.3 Valeurs et directions principales d'élongation170
2.7.4 Calcul des valeurs et dyades propres d'élongation174
2.7.5 Tenseur matériel de déformation quadratique177
2.7.6 Tenseur matériel de déformation puissance179
2.7.7 Petites perturbations. Déformation infinitésimale182
2.7.8 Décompositions des tenseurs matériels184
2.8 Décompositions du gradient de transformation187
2.8.1 Tenseur matériel de déformation pure ou d'élongation187
2.8.2 Décomposition polaire189
2.8.3 Décomposition singulière192
2.8.4 Décomposition unimodulaire193
2.8.5 Décomposition triangulaire195
2.8.6 Décompositions du cogradient de transformation197
2.9 Vitesses de déformations199
2.9.1 Vitesse nominale du gradient de la transformation199
2.9.2 Vitesse spatialisée du gradient de la transformation201
2.9.3 Vitesse de la déformation matérielle quadratique202
2.9.4 Vitesse de la déformation matérielle puissance204
2.9.5 Produits tensoriels de transformations205
2.9.6 Invariants traces et leurs gradients212
2.9.7 Vitesse d'élongation matérielle linéaire216
2.9.8 Gradient de la déformation matérielle puissance217
2.9.9 Récapitulation des descriptions matérielles218
2.10 Révision des transformations exemplaires219
2.10.1 Elongation cylindrique (traction simple)220
2.10.2 Glissement simple (torsion simple)223
2.10.3 Dilatation non linéaire229
2.10.4 Flexion pure232
2.10.5 Glissement pur (torsion pure)235
2.11 Déformations compatibles et plastiques239
2.11.1 Compatibilité (des déformations)239
2.11.2 Compatibilité des petites déformations planes240
2.11.3 Compatibilité des petites déformations spatiales241
2.11.4 Compatibilité des grandes transformations242
2.11.5 Déformations plastiques243
2.12 Changements de référentiels classiques246
2.12.1 Motivation246
2.12.2 Définitions des divers changements247
2.12.3 Résumé des divers changements251
2.12.4 Corrections de vitesse et d'accélération
dues à la rotation de la terre252
3 Statique et dynamique
255
3.1 La masse et sa conservation257
3.1.1 Notions de masse et d'amas, de force et de moment257
3.1.2 Masse originelle d'un corps ; densité matérielle265
3.1.3 Masse actuelle d'un corps ; densité nominale268
3.1.4 Principe de conservation de la masse270
3.1.5 Théorèmes de localisation271
3.1.6 Loi locale de conservation de la masse273
3.2 Forces et moments cinétiques et dynamiques276
3.2.1 Vecteurs résultante et centre d'amas276
3.2.2 Impulsion et moment cinétiques279
3.2.3 Force et moment d'inertie dynamiques281
3.2.4 Lemmes du centre d'amas et du moment cinétique central284
3.3 Forces externes à distance et de contact287
3.3.1 Vecteurs forces287
3.3.2 Force à distance de volume290
3.3.3 Force de contact de surface294
3.3.4 Comparaison des forces de contact et à distance301
3.3.5 Conditions aux limites303
3.4 Force interne de cohésion ; vecteur contrainte306
3.4.1 Forces de cohésion internes306
3.4.2 Vecteur contrainte307
3.5 Équilibres des forces et des moments312
3.5.1 Principes d'équilibres des forces et des moments312
3.5.2 Loi de la dynamique du centre d'amas et moments centraux315
3.5.3 Exemple : Equilibre d'un tronçon de barre317
3.5.4 Principes d'inertie et de l'action et de la réaction318
3.5.5 Principes d'équilibres des impulsions et de leurs moments322
3.5.6 Forces linéiques et concentrées323
3.6 Équilibres des solides rigides331
3.6.1 Solide concentré331
3.6.2 Résumé de géométrie et cinématique rigide333
3.6.3 Cinétique rigide335
3.6.4 Tenseurs d'amas et d'inertie337
3.6.5 Dynamique rigide341
3.7 Équilibres des solides affines et discrets345
3.7.1 Résumé de géométrie et cinématique affine346
3.7.2 Cinétique affine347
3.7.3 Dynamique affine348
3.7.4 Cinétique et dynamique d'un solide discret déformable350
3.8 Tenseur de contrainte nominale358
3.8.1 Introduction du tenseur de contrainte nominale358
3.8.2 Existence du tenseur de contrainte nominale361
3.8.3 Tenseur de contrainte spatialisée368
3.8.4 Exemple : contrainte uniaxiale dans une barre369
3.9 Tenseur de contrainte matérielle371
3.9.1 Inconvénient du tenseur de contrainte nominale371
3.9.2 Force de cohésion matérielle372
3.9.3 Vecteur et tenseur de contrainte matérielle373
3.9.4 Tenseur de contrainte puissance376
3.9.5 Petites perturbations. Tenseur de contrainte originelle379
3.10 Équilibres locaux des contraintes381
3.10.1 Théorème de la divergence381
3.10.2 Exemple d'un tronçon de barre388
3.10.3 Equilibres des forces et des moments389
3.10.4 Equation différentielle du mouvement390
3.10.5 Equilibre d'une section de barre393
3.10.6 Perspective. Problème aux limites394
3.10.7 Récapitulation des descriptions matérielles396
3.11 Statique et états de contrainte homogènes398
3.11.1 Quasi statique et statique des solides légers399
3.11.2 Contraintes homogènes401
3.11.3 Tension-pression sphériques408
3.11.4 Traction simple410
3.11.5 Cission ou cisaillement413
3.11.6 Torsion simple en petites perturbations415
3.11.7 Traction-torsion combinées420
3.12 Symétries et décompositions des contraintes425
3.12.1 Symétrie des contraintes, équilibre des moments425
3.12.2 Contraintes principales426
3.12.3 Partitions traceurs-déviateurs des contraintes429
3.12.4 Partitions pressions-cissions des contraintes431
3.12.5 Contraintes non symétriques431
3.13 Objectivité ou relativité classique433
3.13.1 Changements de référentiels cinématiques433
3.13.2 Postulats cinétiques et dynamiques434
3.13.3 Conséquences cinétiques et dynamiques436
3.13.4 Commentaires437
3.13.5 Résumé actualisé438
4 Mécanique et énergétique
441
4.1 Mécanique - énergétique de la particule443
4.1.1 Résumé de cinématique et dynamique de la particule443
4.1.2 Notions de travail et énergie potentielle de pesanteur445
4.1.3 Notions de travail et énergie élastiques448
4.1.4 Notions de puissance, travail et énergie455
4.1.5 Notion d'énergie cinétique457
4.1.6 Notion de dissipation459
4.2 Mécanique virtuelle de la particule463
4.2.1 Notion de vitesse virtuelle d'une particule464
4.2.2 Déplacements virtuels et autres appellations473
4.2.3 Cinématique virtuelle d'une particule475
4.2.4 Calcul de vitesses virtuelles et cônes tangents481
4.2.5 Classification des ensembles accessibles
et leurs cônes tangents484
4.2.6 Notions de puissance virtuelle et de force duale486
4.2.7 Principe des puissances virtuelles pour la particule488
4.2.8 Conclusion sur la particule et
transition vers les solides490
4.3 Principales classes de vitesses virtuelles492
4.3.1 Du solide concentré au solide continu493
4.3.2 Vitesses virtuelles transformantes libres494
4.3.3 Vitesses virtuelles transformantes tangentes498
4.3.4 Vitesses virtuelles transformantes nulles505
4.3.5 Vitesses virtuelles rigidifiantes508
4.3.6 Vitesses virtuelles affinantes513
4.3.7 Vitesses virtuelles inclinantes516
4.3.8 Conclusion sur les vitesses virtuelles liées520
4.4 Puissances virtuelles en vigueur522
4.4.1 Puissance virtuelle externe de gravité523
4.4.2 Puissance virtuelle interne d'inertie524
4.4.3 Puissance virtuelle externe de contact524
4.4.4 Puissance virtuelle interne du vecteur contrainte524
4.4.5 Puissance virtuelle résultante rigidifiante525
4.4.6 Puissance virtuelle interne déformante du tenseur contrainte526
4.4.7 Puissance virtuelle résultante transformante528
4.4.8 Dualité énergétique fonctionnelle529
4.5 Principe des vitesses virtuelles rigidifiantes535
4.5.1 Puissance d'une force concentrée à une vitesse rigidifiante535
4.5.2 Puissance d'une force distribuée à une vitesse rigidifiante542
4.5.3 Rappel des équilibres des forces et des moments544
4.5.4 Principe des puissances virtuelles rigidifiantes545
4.6 Principe des vitesses virtuelles transformantes553
4.6.1 Déduction du principe554
4.6.2 Construction du principe559
4.6.3 Induction du principe561
4.6.4 Principe des vitesses virtuelles transformantes575
4.6.5 Contraintes conjuguées aux déformations578
4.7 Loi de variation de l'énergie mécanique581
4.7.1 Principe d'équilibre des puissances réelles583
4.7.2 Energie cinétique584
4.7.3 Principe ou théorème de variation de l'énergie cinétique586
4.7.4 Energie potentielle de gravité587
4.7.5 Energie potentielle d'une pression de contact589
4.7.6 Energie élastique592
4.7.7 Energies rigide et isovolumique595
4.7.8 Primitive directionnelle énergie599
4.7.9 Loi de conservation de l'énergie mécanique602
4.7.10 Energie et dissipation internes mécaniques604
4.7.11 Principe de variation de l'énergie mécanique607
4.8 Inégalité de la dissipation610
4.8.1 Notions d'irréversibilité et de dissipation611
4.8.2 Inégalité de la dissipation. Second principe de la mécanique618
4.8.3 Fonction potentielle de dissipation ou dissipotence620
4.8.4 Récapitulation des deux principes de la mécanique énergétique630
4.9 Objectivité des principes énergétiques631
4.9.1 Rappel d'un changement de référentiel classique631
4.9.2 Définition de l'objectivité d'un principe632
4.9.3 Déduction de la loi d'équilibre des forces633
4.9.4 Déduction de la loi d'équilibre des moments634
Conclusion
639
Science640
Conscience641
Références
645
Index
649