Algèbre linéaire et bilinéaire : cours et exercices corrigés

Auteur(s) :

Cottet-Emard, François Découvrir l'auteur

Résumé

Cours de la première moitié de l'année L2 de licence de mathématiques avec des exemples et exercices corrigés. En complément à ¤¤Analyse et convergence¤¤ de F. Cottet-Emard.

Éditeur(s)
- De Boeck
Date
- 2005
Langues
- Français
Description matérielle
- 314 p. ; 24 cm
Collections
- Manuels LMD
Sujet(s)
- Manuels d'enseignement supérieur
- Algèbre linéaire
ISBN
- 2-8041-4906-4
Indice
- 512 Algèbre
Quatrième de couverture
- «Un cours vivant et clair, écrit comme il est enseigné, avec de très nombreux exemples et exercices corrigés, sans concession à la rigueur mais sans abstraction inutile.»
  Cet ouvrage regroupe l'algèbre linéaire enseignée dans l'année L2 de licence de mathématiques, depuis les déterminants jusqu'à la diagonalisation, et l'algèbre bilinéaire ainsi que les espaces euclidiens. Tout est fait systématiquement en dimension finie sur les réels ou les complexes, sans tomber dans une abstraction trop théorique. Un résumé des prérequis de l'algèbre de l'année L1 de licence permet au lecteur de vérifier ses connaissances préalables.
  La définition des déterminants est donnée par récurrence, ce qui donne immédiatement les techniques de calculs importantes. Certaines parties peuvent être admises en première lecture sans nuire à une bonne assimilation des notions nouvelles. La technique de trigonalisation des matrices est donnée sous la forme de Jordan, suivant un algorithme clair et simple. Sa démonstration difficile est complétée par une suite d'exercices en fin de chapitre. Les isométries sont abordées uniquement dans le plan et dans l'espace. La diagonalisation des matrices symétriques est faite à la main, sans utiliser de notions trop théoriques.
Tables des matières
- - Algèbre linéaire et bilinéaire
  - Cours et exercices corrigés
  - François Cottet-Emard
  - De boeck
  - Avant-proposIII
  - Chapitre 1 Rappels d'algèbre
  - 1. Applications injectives, surjectives, bijectives 2
  - 1.1 Image directe d'une partie de E2
  - 1.2 Image réciproque par f d'une partie de F2
  - 1.3 Injection de E dans F3
  - 1.4 Surjection de E sur F3
  - 1.5 Bijection de E sur F3
  - 2. Espaces vectoriels sur K 3
  - 2.1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels3
  - 2.2 Combinaisons linéaires de vecteurs4
  - 2.3 Famille génératrice4
  - 2.4 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs5
  - 2.5 Famille libre de vecteurs5
  - 2.6 Espace vectoriel de dimension finie sur K5
  - 3. Bases d'un espace vectoriel de dimension finie 6
  - 3.1 Base de E6
  - 3.2 Théorème fondamental et définition6
  - 3.3 Caractérisation des bases6
  - 3.4 Théorème de la base incomplète7
  - 4. Rang d'une famille de vecteurs 7
  - 4.1 Rang7
  - 4.2 Calcul du rang7
  - 4.3 Représentation d'une famille de vecteurs sur une base8
  - 4.4 Calcul du rang par échelonnement8
  - 5. Matrices 9
  - 5.1 Matrice à n lignes et p colonnes9
  - 5.2 Matrices particulières9
  - 5.3 Addition et produit par un scalaire10
  - 5.4 Produit de deux matrices10
  - 5.5 Transposée d'une matrice10
  - 5.6 Rang d'une matrice11
  - 5.7 Inverse d'une matrice carrée11
  - 5.8 Calcul du rang par la méthode de Gauss11
  - 6. Systèmes linéaires 12
  - 6.1 Échelonnement du système12
  - 6.2 Interprétation en terme de matrice13
  - 7. Applications linéaires 13
  - 7.1 Définition13
  - 7.2 Comment définir une application linéaire13
  - 7.3 Noyau d'une application linéaire14
  - 7.4 Image de E par une application linéaire14
  - 7.5 Application linéaire et famille libre ou famille génératrice14
  - 7.6 Théorème de la dimension15
  - 7.7 Caractérisation des isomorphismes15
  - 8. Applications linéaires et matrices 15
  - 8.1 Matrice d'une application linéaire15
  - 8.2 Matrice d'une composée f° g16
  - 8.3 Matrice de l'isomorphisme réciproque16
  - 9. Changement de bases 16
  - 9.1 Matrice de passage16
  - 9.2 Relation entre les composantes d'un même vecteur17
  - 9.3 Relation entre les matrices d'un même endomorphisme17
  - 9.4 Plusieurs changements de bases17
  - 10. Compléments sur les sous-espaces vectoriels 17
  - 10.1 Intersection de deux S.E.V.17
  - 10.2 Somme de deux S.E.V.18
  - 10.3 Somme directe de deux S.E.V. Sous-espaces supplémentaires18
  - 10.4 Somme directe de p S.E.V.18
  - 11. Polynômes à une indéterminée sur un corps K 19
  - 11.1 Degré d'un polynôme19
  - 11.2 L'espace vectoriel K[X]19
  - 11.3 Produit de deux polynômes19
  - 11.4 Division euclidienne de deux polynômes20
  - 11.5 Racines d'un polynôme20
  - 11.6 PGCD de deux polynômes21
  - 11.7 Théorème de Bezout21
  - 11.8 Formule de Taylor21
  - 11.9 Théorème de d'Alembert22
  - Chapitre 2 Déterminants
  - 1. Présentation du problème 24
  - 2. Définition des déterminants 25
  - 3. Propriétés fondamentales des déterminants 26
  - 3.1 Proposition26
  - 4. Formes multilinéaires alternées et déterminants 31
  - 5. Règles de calcul sur les déterminants 35
  - 5.1 Règles de base35
  - 5.2 Déterminant d'un produit39
  - 6. Théorème fondamental 39
  - 7. Applications des déterminants. Matrices carrées 41
  - 7.1 Calcul de l'inverse d'une matrice42
  - 7.2 Résolution d'un système de Cramer44
  - 7.3 Équation d'un hyperplan45
  - 8. Rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice. Matrices quelconques 46
  - 8.1 Rang d'une matrice quelconque46
  - 8.2 Systèmes d'équations cartésiennes d'un S.E.V50
  - 9. Déterminant d'un endomorphisme 52
  - Annexe : Preuve des théorèmes 2 et 3. Cas général 53
  - Exercices 56
  - 1. Calculs de déterminants56
  - 2. Applications au rang et aux S.E.V.63
  - 3. Applications diverses73
  - 4. Exercices théoriques77
  - 5. Exercices dont les calculs sont à faire avec Maple83
  - Chapitre 3 Diagonalisation et trigonalisation
  - 1. Motivations... 90
  - 2. Endomorphisme ou matrice diagonalisable 91
  - 3. Valeurs et vecteurs propres 92
  - 4. Polynôme caractéristique. Calcul des valeurs propres 94
  - 4.1 Polynôme caractéristique d'une matrice94
  - 4.2 Polynôme caractéristique d'un endomorphisme96
  - 4.3 Calcul des valeurs propres97
  - 5. Sous-espaces propres. Théorème de dimension. Indépendance 99
  - 5.1 Sous-espaces propres99
  - 5.2 Exemples de calculs100
  - 5.3 Indépendance des sous-espaces propres104
  - 6. C.N.S. de diagonalisation 106
  - 6.1 La condition nécessaire et suffisante de diagonalisation106
  - 6.2 Une autre façon de s'exprimer108
  - 6.3 Une condition suffisante de diagonalisation109
  - 6.4 Technique pratique de diagonalisation. Exemples109
  - 7. Comment n'est-on pas diagonalisable sur K ? 113
  - 7.1 Matrice complexe non diagonalisable sur C113
  - 7.2 Matrice réelle non diagonalisable sur R113
  - 7.3 Malgré tout, une matrice semblable plus simple...114
  - 8. C.N.S. de trigonalisation 115
  - 8.1 Définition115
  - 8.2 Théorème fondamental116
  - 9. Technique de trigonalisation 118
  - 9.1 Allure d'une forme triangulaire cherchée. Réduite de Jordan118
  - 9.2 Matrices de dimension deux120
  - 9.3 Matrices de dimension trois121
  - 9.4 Un exemple en dimension quatre124
  - 9.5 Remarques finales125
  - 10. Application aux puissances d'une matrice carrée 126
  - 10.1 Cas des matrices diagonalisables126
  - 10.2 Cas des matrices seulement trigonalisables128
  - 11. Application aux suites récurrentes 132
  - 12. Application aux systèmes différentiels 136
  - 12.1 Cas où A est diagonalisable137
  - 12.2 Cas où A est seulement trigonalisable138
  - 13. Théorème de Cayley-Hamilton. Compléments 140
  - 13.1 Polynômes d'endomorphisme140
  - 13.2 Théorème de Cayley-Hamilton140
  - 13.3 Application au calcul de l'inverse142
  - Exercices 143
  - 1. Exercices de raisonnement simple143
  - 2. Exercices de calculs145
  - 3. Exercices théoriques152
  - 4. Interprétation géométrique158
  - 5. Exercices supplémentaires160
  - 6. Systèmes différentiels171
  - 7. Exercices structurels176
  - Chapitre 4 Projections et symétries
  - 1. Endomorphisme vérifiant (f - AlphaId) ° (f - ßId) = 0188
  - 2. Projection sur F parallèlement à G 191
  - 2.1 Définition à partir de F et G et propriétés191
  - 2.2 Caractérisation191
  - 2.3 Projection sur F parallèlement à G et projection sur G parallèlement à F192
  - 3. Symétrie par rapport à F parallèlement à G 194
  - 3.1 Définition géométrique194
  - 3.2 Caractérisation195
  - 3.3 Comment écrire ou reconnaître une symétrie196
  - 4. Projection et symétrie orthogonale dans R² ou R³ 197
  - 4.1 Cas R² : projection orthogonale sur une droite197
  - 4.2 Cas R³ : projection orthogonale sur une droite197
  - 4.3 Cas R³ : projection orthogonale sur un plan197
  - 4.4 Cas R² : symétrie orthogonale par rapport à une droite198
  - 4.5 Cas R³ : symétrie orthogonale par rapport à une droite198
  - 4.6 Cas R³ : symétrie orthogonale par rapport à un plan198
  - Chapitre 5 Formes bilinéaires symétriques sur un espace vectoriel
  - 1. Forme bilinéaire symétrique sur E 200
  - 1.1 Définition et exemples200
  - 1.2 Développement de f(X, Y)201
  - 2. Expression d'une forme bilinéaire symétrique dans une base 202
  - 2.1 Écriture dans une base. Matrice symétrique d'une forme bilinéaire202
  - 2.2 Changement de base204
  - 3. Produit scalaire sur E 205
  - 3.1 Définition205
  - 3.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz206
  - 3.3 Inégalité triangulaire207
  - 3.4 Orthogonalité208
  - 4. Base orthonormée. Matrice orthogonale 208
  - 4.1 Système orthogonal de vecteurs208
  - 4.2 Base orthonormée de E209
  - 4.3 Existences de bases orthonormées. Algorithme de Gram-Schmidt210
  - 4.4 Expression du produit scalaire sur une base orthonormée212
  - 4.5 Composantes d'un vecteur sur une base orthonormée212
  - 4.6 Matrice de passage entre bases orthonormées213
  - 5. Orthogonal supplémentaire. Projection orthogonale 216
  - 5.1 Orthogonal supplémentaire216
  - 5.2 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel218
  - Chapitre 6 Diagonalisation des matrices symétriques réelles. Endomorphisme auto-adjoint
  - 1. Énoncé du théorème général 224
  - 2. Cas de la dimension 2 225
  - 3. Cas général 226
  - 3.1 Notations et rappels des propriétés élémentaires226
  - 3.2 Toutes les valeurs propres sont réelles226
  - 3.3 Démonstration par récurrence du théorème227
  - 3.4 Orthogonalité des sous-espaces propres228
  - 4. Adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien 231
  - 4.1 Forme linéaire sur E231
  - 4.2 Adjoint d'un endomorphisme de E232
  - 4.3 Endomorphisme auto-adjoint235
  - 5. Réduction d'un endomorphisme auto-adjoint 236
  - Chapitre 7 Isométries d'un espace vectoriel réel
  - 1. Définition et caractérisation 238
  - 2. Déterminant et valeurs propres d'une isométrie 240
  - 3. Groupe des isométries de Rⁿ 240
  - 4. Isométries de R² 241
  - 4.1 Deux valeurs propres réelles241
  - 4.2 Deux valeurs propres complexes conjuguées242
  - 4.3 Récapitulatif242
  - 5. Isométries de R³ 243
  - Chapitre 8 Formes quadratiques
  - 1. Définition 248
  - 2. Écriture dans une base quelconque 249
  - 3. But de la réduction d'une forme quadratique sur Rⁿ 251
  - 3.1 Exemple et position du problème251
  - 3.2 Les deux façons de procéder252
  - 4. Réduction par la méthode de Gauss 253
  - 4.1 Deux exemples253
  - 4.2 Principe général de la méthode de Gauss256
  - 5. Réduction par diagonalisation 258
  - 6. Illustration géométrique 261
  - 6.1 Exemples dans le plan261
  - 6.2 Exemples dans l'espace263
  - Chapitre 9 Géométrie élémentaire dans R² et R³ Retour sur terre dans R² et R³
  - 1. Orientation 266
  - 2. Produit scalaire et orthogonalité 267
  - 2.1 Produit scalaire, distance de deux vecteurs267
  - 2.2 Projection orthogonale, distance à un sous-espace vectoriel267
  - 2.3 Orthogonalité d'un plan et d'une droite268
  - 3. Produit vectoriel dans R³ 268
  - 3.1 Définition268
  - 3.2 Vecteur perpendiculaire à un plan269
  - 3.3 Une petite relation utile269
  - 4. Angle de deux vecteurs 270
  - 4.1 Angle de deux vecteurs dans R²270
  - 4.2 Angle de deux vecteurs dans R³270
  - 4.3 Angle d'une rotation270
  - 5. Géométrie euclidienne dans le plan ou l'espace affine 271
  - 5.1 Projection orthogonale sur un plan271
  - 5.2 Distance d'un point à un plan271
  - 5.3 Plan et/ou droite perpendiculaires271
  - 5.4 Un exemple272
  - 5.5 Quadriques en géométrie affine272
  - Chapitre 10 Exercices corrigés des chapitres 4 à 9
  - 1. Formes bilinéaires symétriques274
  - 2. Produits scalaires, orthogonalité278
  - 3. Matrices symétriques293
  - 4. Isométries304
  - 5. Formes quadratiques308
Origine de la notice:
- Electre