Modélisation et calcul des milieux continus
Patrick Le Tallec
Les éditions de l'école Polytechnique
I Mouvements et Efforts15
1 Le milieu continu17
1.1 La notion de milieu continu19
1.2 Le cadre mathématique20
1.2.1 Référentiel20
1.2.2 Configuration22
1.3 L'observation du mouvement24
1.4 Description lagrangienne26
1.5 Description eulérienne30
1.5.1 Construction30
1.5.2 Équivalence avec la représentation lagrangienne32
1.5.3 Mouvements stationnaires33
1.5.4 Dérivées particulaires33
Formules essentielles35
Exercices37
2 Les déformations du milieu continu45
2.1 Introduction47
2.2 Transformation homogène49
2.2.1 Définition49
2.2.2 Transport d'éléments matériels50
2.2.3 Mesure des dilatations52
2.2.4 Décomposition polaire55
2.3 Transformation quelconque57
2.3.1 Déformation homogène tangente57
2.3.2 Transport et dilatations59
2.3.3 Décomposition polaire60
2.4 Tenseur des déformations61
Formules essentielles65
Exercices67
3 Déformations linéarisées et taux de déformation75
3.1 Introduction77
3.2 Linéarisation77
3.2.1 Hypothèse des petites transformations77
3.2.2 Transport en petites transformations79
3.2.3 Dilatations et déformations en petites transformations79
3.2.4 Décomposition polaire en petites transformations82
3.3 Taux de déformation84
3.3.1 Cadre eulérien84
3.3.2 Vitesse de transport et taux de déformation85
3.3.3 Vorticité et mouvement instantané87
3.4 Compatibilité des déformations89
3.4.1 Cadre du problème89
3.4.2 Conditions de compatibilité91
3.4.3 Calcul du champ de déplacement93
3.4.4 Mouvement rigidifiant95
3.4.5 Mesure des déformations96
Formules essentielles99
Exercices101
4 Lois de conservation105
4.1 Introduction107
4.2 Lois de conservation sur un domaine matériel108
4.2.1 Domaine matériel108
4.2.2 Conservation de la masse108
4.2.3 Conservation de la quantité de mouvement109
4.2.4 Énergie111
4.3 Calcul de dérivées particulaires113
4.3.1 Dérivation en temps d'une intégrale de volume113
4.3.2 Dérivée particulaire d'une intégrale de volume115
4.3.3 Théorème de la divergence117
4.3.4 Théorème de transport118
4.3.5 Discontinuités de champs de vitesse119
4.4 Lois de conservation intégrées en masse120
4.4.1 Loi de conservation de la masse120
4.4.2 Loi de conservation en densité massique121
4.5 Relations de Rankine Hugoniot123
4.5.1 Cas général123
4.5.2 Choc oblique stationnaire124
4.6 Équilibre d'un tronçon de poutre127
Formules essentielles133
Exercices135
5 Modélisation des efforts intérieurs143
5.1 Introduction145
5.2 Efforts de contact et vecteur contrainte145
5.2.1 Premier postulat de Cauchy et vecteur contrainte145
5.2.2 Second postulat de Cauchy146
5.3 Tenseur des contraintes de Cauchy147
5.3.1 Notation147
5.3.2 Le théorème de Cauchy148
5.3.3 Définition du tenseur des contraintes151
5.3.4 Effort normal et cisaillement152
5.3.5 Composantes du tenseur des contraintes152
5.3.6 Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy153
5.4 Construction microscopique du tenseur des contraintes155
5.4.1 Modélisation cinétique des efforts de contact155
5.4.2 Modélisation microscopique des efforts de contact158
5.5 Étude locale du tenseur des contraintes161
5.5.1 Directions principales161
5.5.2 Trace et déviateur162
5.5.3 Cercle de Mohr163
5.5.4 Critères de résistance usuels164
5.6 Généralisation de la démarche : le vecteur courant de chaleur167
Formules essentielles169
Exercices171
6 Équations du mouvement175
6.1 Introduction177
6.2 Forme locale des équations du mouvement177
6.3 Conditions de saut et conditions aux limites180
6.3.1 Relations de saut180
6.3.2 Conditions aux limites182
6.4 Équations de la dynamique183
6.4.1 Le cas général183
6.4.2 Les relations de saut en l'absence d'onde de choc184
6.4.3 Des lois de conservation aux équations de la dynamique185
6.5 Exemples d'application187
6.5.1 Propagation d'une onde sonore à l'intérieur d'une barre élastique187
6.5.2 Écoulement d'un glacier sur un plan incliné189
6.5.3 Équilibre d'un tronçon de poutre en traction, flexion et torsion uniformes191
Formules essentielles195
Exercices197
7 Principe des puissances virtuelles207
7.1 Introduction209
7.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs210
7.2.1 Le milieu continu vu comme une infinité de liaisons élémentaires210
7.2.2 Dualité contraintes déformations211
7.3 Principe des puissances virtuelles213
7.3.1 Démarche213
7.3.2 Puissance virtuelle des efforts d'accélération214
7.3.3 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs215
7.3.4 Énoncé216
7.4 Généralisations du principe des puissances virtuelles220
7.4.1 Solutions discontinues220
7.4.2 Discontinuité des fonctions tests221
7.5 Applications224
7.5.1 Théorème d'Euler224
7.5.2 Théorème de l'énergie cinétique225
7.6 Analyse limite226
7.6.1 Position du problème226
7.6.2 Approche statique226
7.6.3 Approche cinématique227
7.6.4 La fondation sur massif semi-infini229
7.7 Compatibilité des déformations233
Formules essentielles235
Exercices237
II Comportements et Solutions d'Équilibre249
8 Description microscopique d'un milieu continu251
8.1 Lois de comportement253
8.2 Les différents états de la matière254
8.3 Fonctions de distribution259
8.3.1 Le cadre général259
8.3.2 Entropie statistique260
8.4 Distribution d'équilibre261
8.4.1 Le postulat de Boltzmann261
8.4.2 Entropie d'équilibre262
8.5 La distribution canonique262
8.5.1 Le cas général262
8.5.2 Les gaz monoatomiques parfaits264
8.6 Thermodynamique statistique266
8.6.1 Le premier principe266
8.6.2 Second principe268
8.6.3 Énergie libre269
Formules essentielles273
Exercices275
9 Le modèle élastique : approche microscopique277
9.1 Introduction279
9.2 Description des élastomères279
9.3 La chaîne élémentaire284
9.3.1 Description géométrique284
9.3.2 Distribution d'équilibre de la chaîne isolée285
9.3.3 Distribution d'équilibre de la chaîne sous tension286
9.3.4 La chaîne fixée à ses extrémités289
9.4 Déformation d'un réseau réticulé292
9.4.1 Hypothèses de comportement292
9.4.2 Calcul microscopique des contraintes292
9.5 Éprouvette en extension et en cisaillement295
9.6 Limites et extensions du modèle298
Formules essentielles301
Exercices303
10 Le modèle élastique : approche thermodynamique311
10.1 Introduction313
10.2 Inégalité de Clausius Duhem313
10.2.1 Lien entre énergie interne et puissance des efforts intérieurs313
10.2.2 Inégalité de Clausius Duhem : le cadre intégral314
10.2.3 Inégalité de Clausius Duhem : le cas de la température localement uniforme314
10.2.4 Inégalité de Clausius Duhem : le cas général315
10.2.5 Tenseur des contraintes de Piola315
10.3 Lois de comportement d'équilibre317
10.3.1 Le cas des gaz parfaits317
10.3.2 Les matériaux élastiques sans liaison interne318
10.3.3 Les matériaux élastiques avec liaisons internes321
10.3.4 Le cas des élastomères323
10.3.5 Matériaux biologiques fibrés325
Formules essentielles327
Exercices329
11 Le modèle élastique : les métaux333
11.1 Introduction335
11.2 Description microscopique des métaux335
11.2.1 Les métaux335
11.2.2 La liaison métallique335
11.2.3 Le modèle de sphères dures337
11.3 La structure cristalline341
11.3.1 Le réseau critallin341
11.3.2 Énergie d'un monocristal344
11.4 Les métaux en petites déformations346
11.4.1 Le monocristal en petites déformations346
11.4.2 Élongation d'un monocristal349
11.4.3 Le cas polycristallin350
Formules essentielles353
Exercices355
12 Le modèle élastique : approche macroscopique363
12.1 Introduction365
12.2 Lois élastiques linéaires en déformation366
12.2.1 Rappel du cadre élastique366
12.2.2 Le cas linéaire en déformation367
12.3 Invariances matérielles369
12.3.1 Localité, symétrie tensorielle et indifférence matérielle369
12.3.2 Respect des symétries matérielles371
12.3.3 Isotropie matérielle373
12.4 Les lois classiques en élasticité375
12.4.1 Matériaux élastiques linéaires isotropes375
12.4.2 Matériaux élastiques compressibles linéaires378
12.4.3 Matériaux compressibles en grandes déformations379
12.4.4 Matériaux incompressibles en grandes déformations379
12.5 Essais élémentaires381
12.5.1 Généralités381
12.5.2 Essais en traction381
12.5.3 Essai de cisaillement et de torsion383
12.5.4 Essai dynamique384
12.6 Conclusions sur l'étude des lois de comportement386
Formules essentielles389
Exercices391
13 Les problèmes de structures en élasticité395
13.1 Introduction397
13.2 Modélisation399
13.2.1 Un problème modèle399
13.2.2 Modélisation géométrique399
13.2.3 Modélisation des déplacements cinématiquement admissibles400
13.2.4 Modélisation des efforts extérieurs402
13.2.5 Bilan des conditions aux limites404
13.2.6 Modélisation du comportement405
13.3 Les équations du problème élastique405
13.3.1 Rappel des données405
13.3.2 Équations du mouvement sur Oméga406
13.3.3 Interprétation des équations du mouvement en configuration actuelle407
13.4 Construction de solutions d'équilibre408
13.4.1 La méthode des déplacements408
13.4.2 Calcul par minimisation de l'énergie411
13.5 Écriture en configuration initiale413
13.5.1 Principe des puissances virtuelles en configuration initiale413
13.5.2 Les équations du mouvement en configuration initiale415
13.5.3 Les trois tenseurs des contraintes417
Formules essentielles419
Exercices423
14 Les problèmes élastiques en petites transformations429
14.1 Introduction431
14.2 Le Problème général432
14.2.1 Description du problème432
14.2.2 Les équations du problème432
14.3 Le problème en petites transformations433
14.3.1 Hypothèse des petites transformations433
14.3.2 Linéarisation mécanique du comportement434
14.3.3 Linéarisation en déplacement435
14.3.4 Interprétation physique de la loi de comportement linéarisée436
14.3.5 Identification des tenseurs des contraintes438
14.3.6 Le problème linéaire final438
14.3.7 Formulation faible linéarisée439
14.3.8 Raideur géométrique441
14.3.9 Principe de superposition442
14.4 Solutions autoentretenues et modes propres443
14.4.1 Définition et calcul443
14.4.2 Existence de modes propres444
14.4.3 Calcul de solutions générales par superposition444
14.4.4 Stabilité446
14.4.5 L'exemple de la corde vibrante447
14.4.6 Complément : théorie spectrale et applicabilité du principe de Rayleigh450
14.5 Calcul de solutions quasi-statiques en petites transformations450
14.5.1 Équations d'équilibre450
14.5.2 Exemple : la trempe des matériaux451
Formules essentielles455
Exercices457
15 Approches variationnelles en petites perturbations471
15.1 Introduction473
15.2 Le problème en petites perturbations473
15.2.1 Petites perturbations autour d'un état naturel473
15.2.2 Les équations du problème474
15.2.3 Résumé des hypothèses de petites perturbations476
15.3 Champs de contrainte statiquement admissibles477
15.3.1 Définition477
15.3.2 Méthode des contraintes478
15.4 Principe du minimum pour les déplacements481
15.4.1 Formulation faible et formulation énergétique en déplacement481
15.4.2 Existence et stabilité484
15.5 Minimisation et encadrement par les contraintes485
15.5.1 Définition de l'énergie complémentaire485
15.5.2 Relations de dualité à l'équilibre486
15.5.3 Les principes de minimum488
15.5.4 Formule de Clapeyron490
15.6 Approximation de Ritz490
15.6.1 Principe490
15.6.2 Écriture matricielle492
15.6.3 Exemple493
15.6.4 Calcul d'erreur en norme de l'énergie495
15.6.5 Erreur en loi de comportement497
15.7 Méthode des éléments finis497
15.7.1 Composants constitutifs497
15.7.2 Validation et calcul d'erreur500
Formules essentielles503
Exercices505
III Annexes513
A Rappel des principales notations515
A.1 Convention des indices répétés515
A.2 Matrices et tenseurs515
A.3 Mécanique516
B Calcul tensoriel519
B.1 Espace euclidien519
B.1.1 Définition519
B.1.2 Dualité519
B.2 Tenseurs euclidiens521
B.2.1 Produit tensoriel de vecteurs521
B.2.2 Tenseurs euclidiens d'ordre quelconque522
B.2.3 Produit tensoriel de tenseurs522
B.3 Exemples de tenseurs d'ordre deux522
B.3.1 Tenseur métrique522
B.3.2 Tenseur euclidien associé à une forme linéaire523
B.3.3 Transposition et symétrie523
B.4 Produit contracté524
B.4.1 Contraction de produit tensoriels de vecteurs524
B.4.2 Contraction de tenseurs quelconques525
B.4.3 Exemples526
C Calcul différentiel531
C.1 Définitions et notations531
C.2 Calcul en coordonnées cylindriques533
C.3 Calcul en coordonnées sphériques535
D Expressions explicites des équations de la dynamique539
E Compléments de physique statistique541
E.1 Du microcanonique au canonique en physique statistique541
E.2 Particules indiscernables en faible interaction542
E.3 Calcul de la fonction de partition d'une chaîne d'élastomère544
Bibliographie547
Index549