1.000 challenges mathématiques : algèbre

Auteur(s) :

Aassila, Mohammed Découvrir l'auteur

Résumé

1.000 exercices d'algèbre corrigés et accompagnés de méthodes et techniques de résolution. ©Electre 2016

Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- 2016
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (648 p.) ; 24 x 19 cm
Collections
- Mathématiques à l'université
Sujet(s)
- Mathématiques
- Algèbre
ISBN
- 978-2-340-01108-3
Indice
- 512 Algèbre
Quatrième de couverture
- Le présent ouvrage est avant tout une oeuvre de bonheur et une invitation aux agréments mathématiques.
  Il propose une promenade exceptionnelle dans la vaste étendue des problèmes des olympiades avec plus de 1000 exercices entièrement résolus, et des dizaines de méthodes et techniques de résolution de ce type de problèmes.
  Il propose au lecteur de découvrir, redécouvrir ou généraliser des résultats classiques et/ou spectaculaires depuis l'Antiquité jusqu'aux mathématiques du XXI^e siècle, et met à sa disposition les outils nécessaires à cet objectif.
  Théorie des nombres, équations diophantiennes et combinatoire mènent bien sûr la valse, mais la théorie des graphes et les polynômes ne manquent pas au spectacle, et tous sont parés de costumes neufs et chatoyants.
  Ce livre s'adresse aussi bien aux enseignants qu'aux élèves et étudiants ayant des connaissances solides en mathématiques, ainsi qu'à tous les amoureux des mathématiques et tentés par ces challenges.
  Cet ouvrage sera utilement complété par 1000 challenges mathématiques, Analyse, du même auteur et publié chez le même éditeur.
Tables des matières
- - 1000 challenges mathématiques
  - Algèbre
  - Mohammed Aassila
  - Ellipses
  - 1 Théorie des nombres 5
  - 1.1 Divisibilité5
  - 1.2 Nombres premiers10
  - 1.3 PGCD et PPCM19
  - 1.3.1 pgcd19
  - 1.3.2 ppcm20
  - 1.4 Pair et impair30
  - 1.5 Congruence33
  - 1.6 Théorème des restes chinois46
  - 1.7 Système de numération52
  - 1.8 Puissances d'entiers57
  - 1.9 Partie entière. Partie fractionnaire72
  - 1.9.1 Partie entière et points à coordonnées entières81
  - 1.9.2 Quelques identités du type Ramanujan86
  - 1.10 Fonctions multiplicatives88
  - 1.11 Fonction indicatrice d'Euler91
  - 1.12 Formule de Legendre96
  - 1.13 Théorèmes de Fermat, Euler et Wilson100
  - 1.13.1 Théorème de Fermat100
  - 1.13.2 Théorème d'Euler108
  - 1.13.3 Théorème de Wilson117
  - 1.14 Racines primitives modulo les premiers120
  - 1.15 Nombres premiers en progression arithmétique123
  - 1.16 Étude des fonctions f : N -> N127
  - 1.17 Lemme de Mihai Manea (ou lemme LTE)132
  - 1.18 Théorème de Zsigmondy139
  - 1.19 Résidus quadratiques. Symbole de Legendre142
  - 1.20 Nombres de Fermat154
  - 1.21 Nombres de Mersenne157
  - 1.22 Nombres parfaits. Nombres triangulaires158
  - 1.23 Coefficients binomiaux162
  - 1.24 Théorème de Lucas164
  - 1.25 Développement additif167
  - 1.26 Quelques méthodes en théorie des nombres172
  - 1.26.1 Plus grand et plus petit élément172
  - 1.26.2 Principe des tiroirs175
  - 1.26.3 Raisonnement par récurrence177
  - 1.26.4 Principe d'inclusion-exclusion183
  - 1.26.5 «Vieta Jumping»186
  - 1.26.6 Polynômes cyclotomiques190
  - 1.27 Exercices193
  - 2 Équations diophantiennes 227
  - 2.1 Méthode de décomposition227
  - 2.2 Utilisation des inégalités230
  - 2.3 Méthode de la représentation paramétrique235
  - 2.4 Utilisation de la congruence237
  - 2.5 Raisonnement par récurrence242
  - 2.6 Méthode de descente infinie246
  - 2.7 Méthodes et techniques diverses249
  - 2.8 Équations diophantiennes sans solutions entières253
  - 2.9 Équations diophantiennes avec une infinité de solutions256
  - 2.10 Équations diophantiennes linéaires258
  - 2.11 Équations diophantiennes quadratiques261
  - 2.11.1 Équation de Pythagore261
  - 2.11.2 Équations de Pell265
  - 2.11.3 Autres équations diophantiennes quadratiques274
  - 2.12 Diverses équations diophantiennes279
  - 2.12.1 Équations cubiques279
  - 2.12.2 Équations diophantiennes polynômiales de degré >/= 4281
  - 2.12.3 Équations diophantiennes exponentielles284
  - 2.13 Diviseurs premiers de la forme 4m + 3289
  - 2.14 Équations diophantiennes du type Euler291
  - 2.15 Méthodes avancées de résolution294
  - 2.15.1 L'anneau Z[i] des entiers de Gauss297
  - 2.15.2 L'anneau des entiers de Q[racine carrée de d]301
  - 2.15.3 Diviseurs de a² + b² avec a et b des entiers305
  - 2.15.4 Diviseurs de a² + 2b² avec a et b des entiers307
  - 2.15.5 Diviseurs de a² - 2b² avec a et b des entiers308
  - 2.16 Exercices309
  - 3 Combinatoire 321
  - 3.1 Principes de bases et formules de dénombrement321
  - 3.1.1 Deux principes basiques de dénombrement321
  - 3.1.2 Permutation et combinaison sans répétition322
  - 3.1.3 Permutation circulaire d'éléments distincts323
  - 3.1.4 Quelques identités combinatoires324
  - 3.1.5 Nombre de solutions d'une équation de premier degré330
  - 3.1.6 Raisonnement par récurrence332
  - 3.1.7 Suite de Fibonacci et nombres de Catalan338
  - 3.1.8 Principe d'inclusion-exclusion340
  - 3.1.9 Exercices345
  - 3.2 Suites récurrentes349
  - 3.2.1 Équation caractéristique350
  - 3.2.2 Méthode de substitution352
  - 3.3 Principe des tiroirs et principe de la valeur moyenne356
  - 3.3.1 Principe des tiroirs356
  - 3.3.2 Principe de la valeur moyenne366
  - 3.4 Invariants368
  - 3.4.1 Définition et premiers exemples368
  - 3.4.2 Coloriage372
  - 3.4.3 Théorie des jeux374
  - 3.5 Fonctions376
  - 3.5.1 Les fonctions en combinatoire376
  - 3.5.2 Compter de deux façons !382
  - 3.5.3 Mettre en paire390
  - 3.6 Fonctions génératrices394
  - 3.7 Classification et méthode des étapes fractionnaires399
  - 3.7.1 Classification399
  - 3.7.2 Méthode des étapes fractionnaires402
  - 3.7.3 Exercices404
  - 3.8 Relations de récurrence408
  - 3.9 Méthode d'évaluation420
  - 3.10 Raisonnement par l'absurde. Principe extrême423
  - 3.10.1 Raisonnement par l'absurde423
  - 3.10.2 Principe extrême428
  - 3.11 Méthode d'ajustement local430
  - 3.11.1 Exercices434
  - 3.12 Méthodes constructives437
  - 3.12.1 Exercices442
  - 3.13 Problèmes d'existence. Inégalités en combinatoire446
  - 3.14 Maximum et minimum en combinatoire453
  - 3.14.1 Exercices459
  - 3.15 Racines de l'unité463
  - 3.16 Exercices467
  - 4 Théorie des graphes 505
  - 4.1 Définition d'un graphe505
  - 4.2 Degré d'un sommet512
  - 4.3 Théorème de Turán519
  - 4.4 Arbres527
  - 4.5 Problème d'Euler532
  - 4.6 Problème d'Hamilton535
  - 4.7 Graphes planaires543
  - 4.8 Théorie de Ramsey552
  - 4.9 Couplages570
  - 4.10 Exercices572
  - 5 Polynômes 579
  - 5.1 Définitions. Généralités579
  - 5.2 Polynômes et arithmétique586
  - 5.3 Racines et coefficients. Formules de Viète591
  - 5.4 Dérivée d'un polynôme600
  - 5.5 Polynômes irréductibles602
  - 5.6 Polynômes d'interpolation de Lagrange607
  - 5.7 Exercices612
  - Bibliographie639
  - Index641
Origine de la notice:
- Electre