par Cori, René
Dunod
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Disponible - 510.1 COR
Niveau 2 - Sciences
Logique mathématique. 1 , Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats : cours et exercices corrigés
| Auteur(s) : |
Cori, René
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- Autre(s) auteur(s)
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- Éditeur(s)
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Date
- DL 2003
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Notes
- Autres tirages : 2005, 2007, 2010, 2011, 2014, 2015, 2018
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (XV-385 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-1000-5452-7 ;
- 2-1000-5452-X
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Indice
- 510.1 Fondements des mathématiques, axiomatique, logique mathématique
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Quatrième de couverture
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Domaine d'une grande richesse, la logique mathématique donne lieu à des découvertes théoriques majeures. L'explosion de l'informatique, avec des applications et des intuitions nouvelles, lui a fourni une impulsion décisive et inédite.
Ce cours, enseigné à l'université, traite de manière détaillée des domaines fondamentaux de la logique mathématique. Dans ce premier tome sont exposés le calcul propositionnel, les algèbres de Boole, le calcul des prédicats et les théorèmes de complétude. Le second est consacré aux problèmes de récursivité et de formalisation de l'arithmétique, aux théorèmes de Gödel et aux théories des ensembles et des modèles. Outre le cours, de nombreux exercices corrigés permettront au lecteur d'acquérir et de maîtriser les différentes notions exposées.
L'ouvrage, n'exigeant aucune connaissance préalable en logique, se destine principalement aux étudiants en licence et master de logique, mathématique et informatique. Il intéressera également les élèves ingénieurs et les étudiants désirant s'orienter vers les mathématiques pures ou l'informatique, ainsi que les chercheurs et les ingénieurs de recherche en informatique.
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Tables des matières
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Logique mathématique
1. Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats
René Cori
Daniel Lascar
Dunod
- PréfaceV
- Table des matières du tome IVII
- Table des matières du tome IIX
- ContentsXIII
- Avant-propos1
- Introduction3
- Mode d'emploi11
- Chapitre 1: Calcul propositionnel15
- 1. Syntaxe17
- Les formules propositionnelles17
- Démonstrations par induction sur l'ensemble des formules21
- Arbre de décomposition d'une formule23
- Le théorème de lecture unique25
- Définitions par induction sur l'ensemble des formules28
- Substitutions dans une formule propositionnelle29
- 2. Sémantique32
- Distributions de valeurs de vérité, tables de vérité32
- Tautologies, formules logiquement équivalentes38
- Quelques tautologies42
- 3. Formes normales, systèmes complets de connecteurs46
- Opérations dans {0,1} et formules46
- Formes normales50
- Systèmes complets de connecteurs53
- 4. Lemme d'interpolation55
- Théorème de définissabilité57
- 5. Théorème de compacité59
- Satisfaction d'un ensemble de formules59
- Le théorème de compacité du calcul propositionnel62
- Exercices68
- Chapitre 2: Algèbres de Boole79
- 1. Rappels d'algèbre et de topologie81
- Algèbre81
- Topologie84
- Application au calcul propositionnel90
- 2. Définition des algèbres de Boole91
- Propriétés des anneaux de Boole, relation d'ordre91
- Les algèbres de Boole en tant qu'ensembles ordonnés95
- 3. Atomes dans une algèbre de Boole99
- 4. Homomorphismes, isomorphismes, sous-algèbres101
- Homomorphismes et isomorphismes101
- Sous-algèbres de Boole106
- 5. Idéaux et filtres109
- Propriétés des idéaux109
- Idéaux maximaux112
- Filtres114
- Ultrafiltres115
- Bases de filtre118
- 6. Le théorème de Stone120
- L'espace de Stone d'une algèbre de Boole121
- Le théorème de Stone125
- Les espaces booléens sont des espaces de Stone126
- Exercices130
- Chapitre 3: Calcul des prédicats137
- 1. Syntaxe139
- Langages du premier ordre139
- Les termes du langage141
- Les substitutions dans les termes148
- Les formules du langage149
- Variables libres, variables liées, formules closes152
- Les substitutions dans les formules155
- 2. Les structures158
- Les réalisations d'un langage160
- Sous-structures, restrictions162
- Homomorphismes, isomorphismes164
- 3. Satisfaction des formules dans les structures167
- Interprétation des termes du langage dans une structure167
- Satisfaction des formules du langage dans une structure170
- Equivalence universelle et conséquence sémantique177
- 4. Formes prénexes et formes de Skolem188
- Formes prénexes188
- Formes de Skolem191
- 5. Premiers pas en théorie des modèles197
- Satisfaction dans une sous-structure197
- Equivalence élémentaire201
- Langage associé à une structure, formules à paramètres207
- Relations et fonctions définissables dans une structure210
- 6. Modèles non égalitaires213
- Exercices216
- Chapitre 4: Théorèmes de complétude227
- 1. Démonstrations formelles229
- Règles et axiomes229
- Démonstrations formelles232
- Théorème de finitude et lemme de déduction235
- 2. Les modèles de Henkin238
- Les témoins de Henkin238
- Le théorème de complétude241
- 3. La méthode de Herbrand245
- Quelques exemples245
- Les avatars d'une formule248
- 4. Les démonstrations par coupure254
- La règle de coupure254
- Complétude de la méthode257
- 5. La méthode de résolution261
- Unification261
- Les démonstrations par résolution267
- Exercices277
- Solutions des exercices du tome I281
- Chapitre 1282
- Chapitre 2305
- Chapitre 3326
- Chapitre 4350
- Bibliographie361
- Notations365
- Index373
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Origine de la notice:
- Abes ;
- BPI
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Disponible - 510.1 COR
Niveau 2 - Sciences
