Problèmes d'optimisation continue : avec corrigés et rappels de cours

Auteur(s) :

Lafitte, Olivier Découvrir l'auteur

Résumé

Recueil de problèmes complétés de leurs solutions détaillées et de rappels sur les techniques de résolution de ces problèmes. ©Electre 2023

Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- DL 2023
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 volume (XIII-357 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-3400-7728-7
Indice
- 518.5 Logiciels de calcul numérique
Quatrième de couverture
- Problèmes d'optimisation continue
  Avec corrigés et rappels de cours
  Cet ouvrage est un recueil de problèmes corrigés utilisant une très grande partie des résultats classiques enseignés en Master ou en première ou deuxième année d'ingénieur en optimisation continue. Ces problèmes utilisent les cas classiques qui sont étudiés dans une dernière année de licence de mathématiques ou une CPGE, et peuvent permettre aux élèves de ces formations, à travers des cas réalistes, de se confronter à des problèmes complets.
  Ils vont au-delà de l'aspect « académique » de validation des compétences. En effet, ils permettront aux étudiants et aux jeunes chercheurs d'avoir des cas d'application à leur disposition où un problème d'ingénierie mathématique ou de modélisation physique peut être posé et résolu en utilisant l'optimisation en dimension finie (matricielle) ou en dimension infinie (travaux remontant au XVII^e siècle).
  Comme tous les calculs sont détaillés dans les solutions, le lecteur pourra vérifier qu'il applique correctement les techniques du résumé.
  Les problèmes présentant une application sont suffisamment spécifiques et originaux pour ne pas être dans la majorité des cours. Nous espérons permettre aux jeunes chercheurs, de toutes disciplines, d'appréhender ce domaine qui est à la base de nombreuses innovations récentes ou actuelles : la théorie du contrôle (par exemple pour l'industrie spatiale ou l'ingénierie financière), les problèmes en grande dimension (millions de degrés de liberté, ou millions de données), ou l'apprentissage machine (machine learning).
Tables des matières
- - Problèmes d'optimisation continue
  - Avec corrigés et rappels de cours
  - Olivier Lafitte
  - Ellipses
  - I Résumé de cours et quelques extensions1
  - 1 Résumé de cours 3
  - 1.1 Optimisation en général6
  - 1.2 Programme convexe10
  - 1.3 Algorithmes de minimisation12
  - 1.4 Formulations variationnelles14
  - 2 Relations entre l'optimisation et l'apprentissage 15
  - 2.1 Programme quadratique et noyaux reproduisants15
  - 2.2 Problème général18
  - 2.3 Méthode SVM et optimisation19
  - 3 Description des problèmes 23
  - II Problèmes posés dans un cadre théorique25
  - 4 Formulation variationnelle de -u'' = 1 27
  - 4.1 Enoncé27
  - 4.1.1 Dimension infinie27
  - 4.1.2 Problème discret28
  - 4.2 Correction29
  - 4.2.1 Dimension infinie29
  - 4.2.2 Problème discret29
  - 5 Equation -u'' = x 31
  - 5.1 Enoncé31
  - 5.2 Correction33
  - 6 Fonctionnelle quartique (I) 39
  - 6.1 Enoncé39
  - 6.1.1 Partie I39
  - 6.1.2 Partie II40
  - 6.1.3 Partie III41
  - 6.2 Correction43
  - 6.2.1 Partie I43
  - 6.2.2 Partie II44
  - 6.2.3 Partie III45
  - 7 Fonctionnelle quartique (II) 49
  - 7.1 Enoncé49
  - 7.1.1 Propriétés de la fonctionnelle49
  - 7.1.2 Discrétisation et projection des solutions50
  - 7.1.3 Comportement des solutions51
  - 7.1.4 Solution d'une équation différentielle51
  - 7.2 Correction52
  - 7.2.1 Propriétés52
  - 7.2.2 Discrétisation54
  - 7.2.3 Comportement des solutions60
  - 7.2.4 Solution d'une équation différentielle61
  - 8 Régularisation quartique (III) 63
  - 8.1 Enoncé63
  - 8.1.1 Fonctionnelles à étudier et calcul63
  - 8.1.2 Approximation en dimension finie I64
  - 8.1.3 Approximation en dimension finie II : relaxation65
  - 8.1.4 Approximation en dimension finie III : gradient65
  - 8.2 Correction66
  - 8.2.1 Fonctionnelles à étudier et calcul66
  - 8.2.2 Approximation en dimension finie I68
  - 8.2.3 Approximation en dimension finie II : relaxation69
  - 8.2.4 Approximation en dimension finie III : gradient70
  - 9 Fonctionnelle avec terme (u')⁴ 71
  - 9.1 Enoncé71
  - 9.2 Correction73
  - 10 Fonctionnelle avec RELU 77
  - 10.1 Enoncé77
  - 10.2 Correction79
  - 11 Fonctionnelle non C² 81
  - 11.1 Enoncé81
  - 11.2 Correction82
  - 12 Equation -Δy + y³ = u 87
  - 12.1 Enoncé87
  - 12.2 Correction89
  - 13 Equation -u" = √1 + u² 91
  - 13.1 Enoncé91
  - 13.1.1 Propriétés de J91
  - 13.1.2 Equation avec terme source92
  - 13.1.3 Inégalités sur la solution93
  - 13.1.4 Approximations sur la solution93
  - 13.1.5 Méthode d'approximation de la solution94
  - 13.2 Correction94
  - 13.2.1 Propriétés de J94
  - 13.2.2 Equation avec terme source96
  - 13.2.3 Inégalités sur la solution97
  - 13.2.4 Approximations sur la solution98
  - 13.2.5 Méthode d'approximation de la solution99
  - 14 Fonctionnelle avec terme oscillant 101
  - 14.1 Enoncé101
  - 14.2 Correction103
  - 15 Somme de fonctions convexes 111
  - 15.1 Enoncé111
  - 15.1.1 Cas particulier de deux fonctions111
  - 15.1.2 Cas particulier de n fonctions quadratiques111
  - 15.1.3 Une somme d'exponentielles112
  - 15.1.4 Principe du min-max112
  - 15.1.5 Conditions mixtes (égalité-inégalité)113
  - 15.2 Correction114
  - 15.2.1 Cas particulier de deux fonctions114
  - 15.2.2 Cas particulier de n fonctions quadratiques116
  - 15.2.3 Une somme d'exponentielles117
  - 15.2.4 Principe du min-max117
  - 15.2.5 Conditions mixtes118
  - 16 Somme d'espaces de Hilbert 121
  - 16.1 Enoncé121
  - 16.2 Correction123
  - 17 Combinaison J₁ + ε^-1J₂ 125
  - 17.1 Enoncé125
  - 17.2 Correction127
  - 18 Construction des splines cubiques 131
  - 18.1 Enoncé : Partie I131
  - 18.1.1 Etude de J₀131
  - 18.1.2 Etude de J_ε132
  - 18.1.3 Minimum de J₀ avec pénalisation132
  - 18.1.4 Résultat général de calcul des variations133
  - 18.1.5 Enoncé Partie II133
  - 18.1.6 Recherche de la spline d'ajustement133
  - 18.1.7 Recherche de la spline d'interpolation134
  - 18.2 Correction Partie I135
  - 18.2.1 Etude de J₀135
  - 18.2.2 Etude de J_ε136
  - 18.2.3 Minimum de J₀ avec pénalisation137
  - 18.2.4 Résultat général de calcul des variations138
  - 18.2.5 Partie II ; Optimisation en N + 1 points138
  - 18.2.6 Recherche de la spline d'interpolation139
  - 19 Abscisse curviligne 143
  - 19.1 Enoncé143
  - 19.1.1 Une fonctionnelle sur H¹([0,1])143
  - 19.1.2 La fonctionnelle dans R²144
  - 19.1.3 Discrétisation144
  - 19.2 Correction145
  - 19.2.1 Une fonctionnelle sur H¹ ([0.1])145
  - 19.2.2 La fonctionnelle dans R²150
  - 19.2.3 Discrétisation152
  - 20 Recherche de valeurs propres 155
  - 20.1 Enoncé155
  - 20.2 Correction157
  - 21 Approximation de l'intégrale 161
  - 21.1 Enoncé161
  - 21.1.1 Partie générale161
  - 21.1.2 Régularité L² et régularité H¹162
  - 21.1.3 Calcul explicite avec un point162
  - 21.2 Correction163
  - 21.2.1 Partie générale163
  - 21.2.2 Régularité H¹ et régularité L²164
  - 21.2.3 Calcul explicite avec un point165
  - 22 Domaine avec un trou 169
  - 22.1 Enoncé169
  - 22.1.1 Calcul fonctionnel et convexité169
  - 22.1.2 Equation différentielle ordinaire et sa solution170
  - 22.1.3 Méthode numérique (modes sinusoidaux)170
  - 22.1.4 Trou en dimension 2171
  - 22.2 Correction173
  - 22.2.1 Convexité173
  - 22.2.2 EDO176
  - 22.2.3 Méthode numérique (modes sinusoidaux)178
  - 22.2.4 Trou en dimension 2180
  - III Minimisation de fonctionnelles pour des applications à d'autres domaines des sciences183
  - 23 Mécanique du solide 185
  - 23.1 Enoncé185
  - 23.1.1 Calculs préliminaires185
  - 23.1.2 Calcul fonctionnel et convexité186
  - 23.1.3 Résolution de problèmes de minimisation186
  - 23.1.4 Inégalités utilisant l'α-convexité187
  - 23.2 Correction188
  - 23.2.1 Calculs préliminaires188
  - 23.2.2 Calcul fonctionnel et convexité189
  - 23.2.3 Résolution de problèmes de minimisation191
  - 23.2.4 Inégalités utilisant l'α-convexité192
  - 24 Cordes vibrantes-Système électrique 195
  - 24.1 Enoncé195
  - 24.1.1 Partie I195
  - 24.1.2 Partie II197
  - 24.2 Correction198
  - 24.2.1 Partie I198
  - 24.2.2 Partie II200
  - 25 Position d'un fil pesant 203
  - 25.1 Enoncé203
  - 25.1.1 Question 1 : un problème continu sans bornes203
  - 25.1.2 Question 2 : une fonctionnelle positive continue204
  - 25.1.3 Question 3 : approximation en dimension finie205
  - 25.2 Correction205
  - 25.2.1 Question 1 : un problème continu sans bornes205
  - 25.2.2 Question 2 : une fonctionnelle positive continue210
  - 25.2.3 Question 3 : approximation en dimension finie210
  - 26 Production d'énergie et optimisation 213
  - 26.1 Enoncé213
  - 26.2 Correction214
  - 27 Méthode ACP 217
  - 27.1 Enoncé217
  - 27.2 Correction218
  - 28 Stokes non linéaire 221
  - 28.1 Enoncé221
  - 28.1.1 Problème linéaire221
  - 28.1.2 Problème non linéaire (partie plus délicate, à aborder après la section suivante)222
  - 28.1.3 Algorithme pour résoudre le problème de Stokes223
  - 28.2 Correction225
  - 28.2.1 Problème linéaire225
  - 28.2.2 Problème non linéaire227
  - 28.2.3 Algorithme de résolution du problème de Stokes228
  - 29 Equation de la chaleur entre deux métaux 231
  - 29.1 Enoncé231
  - 29.1.1 Partie I : éléments finis231
  - 29.1.2 Partie II : optimisation continue233
  - 29.2 Correction237
  - 29.2.1 Partie I : éléments finis237
  - 29.2.2 Partie II : optimisation continue240
  - 30 Loi de Darcy et loi de Stokes 249
  - 30.1 Enoncé249
  - 30.1.1 Réécriture du problème249
  - 30.1.2 Problème de minimisation250
  - 30.1.3 Ecriture en dimension finie251
  - 30.2 Correction251
  - 30.2.1 Réécriture du problème251
  - 30.2.2 Problème de minimisation252
  - 30.2.3 Ecriture en dimension finie253
  - 31 Equation d'advection diffusion 255
  - 31.1 Enoncé255
  - 31.1.1 Elements finis255
  - 31.1.2 Optimisation258
  - 31.2 Correction263
  - 31.2.1 Elements finis263
  - 31.2.2 Optimisation267
  - 32 Poincaré-Electrostatique 275
  - 32.1 Enoncé275
  - 32.1.1 Inégalité de Poincaré optimale pour le segment [0,1]275
  - 32.1.2 Modélisation énergétique d'un problème d'électrostatique276
  - 32.2 Correction276
  - 32.2.1 Inégalité de Poincaré optimale276
  - 32.2.2 Modélisation d'un problème d'électrostatique278
  - 33 Equation de l'influx nerveux 279
  - 33.1 Enoncé279
  - 33.1.1 Problème variationnel sur R^d280
  - 33.1.2 Problème de propagation en dimension 1280
  - 33.1.3 Problème sur le cylindre infini283
  - 33.2 Correction283
  - 33.2.1 Problème variationnel sur R^d283
  - 33.2.2 Problème de propagation en dim 1284
  - 33.2.3 Problème sur le cylindre infini288
  - 34 Optique géométrique 291
  - 34.1 Enoncé291
  - 34.1.1 Problème d'optimisation équivalent291
  - 34.1.2 Condition de Dirichlet293
  - 34.1.3 Non existence de J₀294
  - 34.2 Correction294
  - 34.2.1 Problème équivalent294
  - 34.2.2 Condition de Dirichlet297
  - 34.2.3 Non existence de J₀299
  - 35 Problème de Stokes (II) 301
  - 35.1 Enoncé301
  - 35.1.1 Du nonlinéaire au linéaire301
  - 35.1.2 Formulation du problème de Stokes302
  - 35.2 Correction305
  - 35.2.1 Du non linéaire au linéaire305
  - 35.2.2 Formulation du problème de Stokes308
  - 36 Déformation d'un solide 311
  - 36.1 Enoncé311
  - 36.1.1 Energie des grandes déformations311
  - 36.1.2 Calcul des petites déformations312
  - 36.1.3 Approximation du solide Ω = [0,1] x [0,1] par quatre points de base313
  - 36.2 Correction313
  - 36.2.1 Energie des grandes déformations313
  - 36.2.2 Calcul des petites déformations315
  - 36.2.3 Approximation du solide Ω = [0,1] x [0,1] par quatre points de base317
  - 37 Inclusions de diélectrique 319
  - 37.1 Enoncé319
  - 37.1.1 Modélisation du problème et mise en équation319
  - 37.1.2 Etude dans le cas général320
  - 37.1.3 Etude théorique en dimension 1321
  - 37.1.4 Discrétisation du problème (dimension finie)322
  - 37.1.5 Résolution algorithmique323
  - 37.2 Correction323
  - 37.2.1 Modélisation323
  - 37.2.2 Cas général324
  - 37.2.3 Dimension 1326
  - 37.2.4 Discrétisation (dimension finie)328
  - 37.2.5 Algorithmique329
  - 38 Opérateur de Schrodinger non linéaire 331
  - 38.1 Enoncé331
  - 38.1.1 Le cas G = 1331
  - 38.1.2 Partie B332
  - 38.2 Correction334
  - 38.2.1 Le cas G = 1334
  - 38.2.2 Partie B338
  - 39 Approximations successives EDP 341
  - 39.1 Enoncé341
  - 39.1.1 Questions préliminaires341
  - 39.1.2 Inégalités342
  - 39.1.3 Estimations343
  - 39.1.4 Méthode de Newton344
  - 39.2 Correction344
  - 39.2.1 Questions préliminaires344
  - 39.2.2 Inégalités346
  - 39.2.3 Estimations347
  - 39.2.4 Méthode de Newton348
  - 40 Problèmes courts (non corrigés) 351
  - 40.1 Minimisation d'une fonctionnelle quadratique sous contrainte351
  - 40.2 Différentiabilité au sens de Fréchet et de Gâteaux352
  - 40.3 Calcul fonctionnel et application352
  - 40.4 Calcul fonctionnel pour l'optimisation353
  - 40.5 Dimension 2 sous contraintes353
  - 40.6 Exercices autres354
  - 40.7 Une fonctionnelle simple355
  - 40.7.1 Calcul fonctionnel355
  - 40.7.2 Résolution numérique355
  - 40.8 Exercice356
Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre