Variétés différentielles, physique et invariants topologiques

Auteur(s) :

Jedrzejewski, Franck (1958-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Destinée aux étudiants, enseignants et professionnels, une introduction à la géométrie différentielle et à la topologie. L'ouvrage met de côté les aspects trop techniques pour privilégier les domaines d'application, notamment la mécanique analytique et la relativité générale. ©Electre 2023

Éditeur(s)
- EDP Sciences
Date
- DL 2023
Notes
- Bibliogr.
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 volume (372 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
Collections
- PROfil (Les Ulis)
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-7598-3142-5
Indice
- 513.8 Topologie générale, topologie algébrique
Quatrième de couverture
- Variétés différentielles, physique et invariants topologiques
  La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne.
  Partant de connaissances élémentaires, l'ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l'algèbre homologique ou de la théorie de l'indice, qui ont été au coeur des résultats les plus récents.
  Il s'appuie sur la longue expérience d'enseignement de l'auteur auprès d'étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C'est à eux que l'ouvrage s'adresse en priorité, ainsi qu'à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l'ouvrage laissant au lecteur le loisir d'approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au coeur des préoccupations scientifiques d'aujourd'hui.
Tables des matières
- - Variétés différentielles, Physique et invariants topologiques
  - Franck Jedrzejewski
  - Eco sciences
  - Introduction 7
  - 1 Variétés topologiques13
  - 1.1 Variétés topologiques13
  - 1.2 Compacité15
  - 1.3 Connexité16
  - 1.4 Espaces quotients17
  - 1.5 Groupes topologiques21
  - 1.6 Exemples de variétés23
  - 1.7 Classification des variétés31
  - 1.8 Exercices33
  - 2 Groupe fondamental39
  - 2.1 Homotopie39
  - 2.2 Groupe fondamental41
  - 2.3 Groupes libres43
  - 2.4 Calcul du groupe fondamental45
  - 2.5 Groupe fondamental des groupes classiques50
  - 2.6 Groupe fondamental d'un polyèdre54
  - 2.7 Groupes d'homotopie supérieure56
  - 2.8 Exercices58
  - 3 Catégories et foncteurs61
  - 3.1 Catégories61
  - 3.2 Foncteurs63
  - 3.3 Objets et problèmes universels66
  - 3.4 Mono et épimorphismes67
  - 3.5 Limites projectives (Limites)69
  - 3.6 Limites inductives (Colimites)71
  - 3.7 Foncteurs adjoints72
  - 3.8 Foncteurs représentables73
  - 3.9 Lemme de Yoneda74
  - 3.10 Monades75
  - 3.11 Catégories abéliennes78
  - 3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor)79
  - 3.13 Exercices81
  - 4 Variétés différentiables85
  - 4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach85
  - 4.2 Variétés différentiables90
  - 4.3 Applications différentiables entre variétés92
  - 4.4 Sous-variétés93
  - 4.5 Théorie de Morse95
  - 4.6 Fibrés tangents96
  - 4.7 Champs de vecteurs97
  - 4.8 Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs101
  - 4.9 Feuilletages103
  - 4.10 Degré d'une application105
  - 4.11 Exercices106
  - 5 Espaces fibrés109
  - 5.1 Fibrés109
  - 5.2 Revêtements113
  - 5.3 Automorphismes de revêtements116
  - 5.4 Relèvements d'applications116
  - 5.5 Revêtements galoisiens117
  - 5.6 Classification des revêtements118
  - 5.7 Suites exactes de groupes121
  - 5.8 Fibrés vectoriels124
  - 5.9 Fibrés en droites128
  - 5.10 Fibré de Hopf129
  - 5.11 Exercices130
  - 6 Algèbre tensorielle et extérieure135
  - 6.1 Produit tensoriel d'espaces vectoriels135
  - 6.2 Produit tensoriel d'applications linéaires137
  - 6.3 Tenseurs sur les variétés140
  - 6.4 Changement de base141
  - 6.5 Algèbre tensorielle142
  - 6.6 Produit contracté144
  - 6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques146
  - 6.8 Algèbre extérieure147
  - 6.9 Produit mixte et produit vectoriel150
  - 6.10 Exercices152
  - 7 Formes différentielles157
  - 7.1 Formes différentielles157
  - 7.2 Algèbre des formes différentielles160
  - 7.3 Image réciproque161
  - 7.4 Différentiation extérieure162
  - 7.5 Produit intérieur163
  - 7.6 Intégration des formes différentielles164
  - 7.7 Formes exactes, formes fermées166
  - 7.8 Orientation des variétés168
  - 7.9 Exercices171
  - 8 Géométrie riemannienne175
  - 8.1 Variétés riemanniennes175
  - 8.2 Connexion180
  - 8.3 Transport parallèle185
  - 8.4 Bases holonomes186
  - 8.5 Connexion de Levi-Civita188
  - 8.6 Géodésiques193
  - 8.7 Tenseur de courbure194
  - 8.8 Opérateurs de Hodge198
  - 8.9 Invariance de jauge203
  - 8.10 Exercices207
  - 9 Algèbre homologique211
  - 9.1 Complexes de chaînes211
  - 9.2 Homologie simpliciale216
  - 9.3 Homologie singulière221
  - 9.4 Homologie cellulaire227
  - 9.5 Homologie à coefficients229
  - 9.6 Cohomologie231
  - 9.7 Faisceaux234
  - 9.8 Exercices238
  - 10 Variétés complexes247
  - 10.1 Structures complexes247
  - 10.2 Cohomologie de Dolbeault251
  - 10.3 Variétés hermitiennes252
  - 10.4 Variétés kâhlériennes255
  - 10.5 Surfaces de Riemann263
  - 10.6 Exercices268
  - 11 Connexions sur les fibrés271
  - 11.1 Fibré principal271
  - 11.2 Fibré des repères273
  - 11.3 Connexion274
  - 11.4 Transport parallèle276
  - 11.5 Courbure277
  - 11.6 Formalisme des tétrades280
  - 11.7 Exercices283
  - 12 Théorie de l'indice287
  - 12.1 Opérateurs elliptiques287
  - 12.2 Classes caractéristiques290
  - 12.3 Variétés spin301
  - 12.4 Théorèmes de l'indice303
  - 12.5 Exercices311
  - 13 Systèmes hamiltoniens315
  - 13.1 Variétés symplectiques315
  - 13.2 Crochets de Poisson320
  - 13.3 Systèmes lagrangiens323
  - 13.4 Equations de Hamilton-Jacobi328
  - 13.5 Cas des variétés riemanniennes333
  - 13.6 Systèmes intégrables336
  - 13.7 Tores invariants341
  - 13.8 Représentations de Lax343
  - 13.9 Exercices345
  - 14 Relativité générale349
  - 14.1 Équations d'Einstein350
  - 14.2 Métrique de Schwarzschild351
  - 14.3 Métrique de Kerr-Newman355
  - 14.4 Métrique de Robertson-Walker356
  - 14.5 Équations de Friedmann357
  - 14.6 Ondes gravitationnelles359
  - 14.7 Exercices361
  - Bibliographie 365
Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre