Exercices de probabilités : licence, master, écoles d'ingénieurs

Résumé

Recueil d'exercices de probabilités couvrant l'essentiel de ce qui est enseigné en licence, master de mathématiques pures et appliquées, dans les grandes écoles scientifiques, dans les préparations au Capes et à l'agrégation.

Autre(s) auteur(s)
Éditeur(s)
- Cassini
Date
- 2011
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XVI-327 p.) ; 23 x 15 cm
Collections
- Enseignement des mathématiques
Sujet(s)
- Problèmes et exercices
- Probabilités
ISBN
- 978-2-84225-156-7
Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
Quatrième de couverture
- En une génération, les probabilités se sont vu reconnaître une place centrale dans les mathématiques et leur enseignement. Dans l'enseignement universitaire, ce livre, publié en 1980, et réactualisé à deux reprises, a fait oeuvre de pionnier et il est rapidement devenu un classique.
  Apprendre à raisonner sur l'aléatoire et le risque fait aujourd'hui partie de la formation de base des élèves-ingénieurs et des futurs enseignants, comme de chercheurs et de praticiens de nombreuses disciplines. À tous, cet ouvrage conçu comme un instrument de travail autonome, apportera des bases techniques dans ce domaine.
  Chaque chapitre propose, après des rappels de cours complets et rigoureux, une vingtaine d'énoncés d'exercices. Tous ces exercices ont été bien «rodés» auprès de plusieurs promotions d'étudiants. Les sujets n'ont pas été choisis au hasard : exemples significatifs, contre-exemples, résultats classiques, ils permettent d'acquérir une pratique et des connaissances solides dans les chapitres fondamentaux de la théorie des probabilités (modes de convergence et théorèmes limites, espérance conditionnelle, vecteurs gaussiens, martingales, chaînes de Markov). Les solutions proposées sont précises et détaillées pour aider l'étudiant dans son travail personnel.
  Le lecteur est supposé avoir les connaissances mathématiques des deux premières années d'université. Les notions plus avancées de théorie de la mesure font l'objet d'une annexe.
Tables des matières
- - Exercices de Probabilités
  - Licence - Master - Écoles d'ingénieurs
  - Marie Cottrell/Valentine Genon-Catalot/Christian Duhamel/Thierry Meyre
  - Cassini
  - Préface XII
  - Préface de la première édition XIII
  - Avant-propos XV
  - Chapitre 1. Probabilités sur un ensemble fini
  - 1.1. Expérience aléatoire. Épreuves1
  - 1.2. Événements aléatoires. Tribus1
  - 1.3. Probabilités2
  - Probabilités conditionnelles. Événements indépendants2
  - Probabilités sur un ensemble fini ou dénombrable3
  - Probabilité uniforme sur une partie de R^k3
  - 1.4. Variables aléatoires4
  - 1.5. Appendice. Introduction aux marches aléatoires4
  - Exercice 1.1. Trois dés5
  - Exercice 1.2. Des livres sur une étagère6
  - Exercice 1.3. Conditionnement7
  - Exercice 1.4. Indépendance8
  - Exercice 1.5. Fonction d'Euler8
  - Exercice 1.6. Un parapluie conditionné10
  - Exercice 1.7. Formule de Bayes11
  - Exercice 1.8. Cherchez l'erreur11
  - Exercice 1.9. Où l'on voit comment se transmet l'information13
  - Exercice 1.10. Indépendance conditionnelle14
  - Exercice 1.11. Loi de succession de Laplace14
  - Exercice 1.12. Taux de panne16
  - Exercice 1.13. Théorème du scrutin18
  - Exercice 1.14. Retours en zéro22
  - Chapitre 2. Variables aléatoires. Lois de probabilité
  - 2.1. Limite supérieure, limite inférieure d'une suite d'événements25
  - 2.2. Indépendance d'une famille de tribus25
  - 2.3. Théorèmes d'existence et d'unicité25
  - 2.4. Variables aléatoires. Tribus engendrées27
  - 2.5. Loi de probabilité. Espérance28
  - 2.6. Moments des variables aléatoires réelles28
  - 2.7. Fonctions de répartition29
  - 2.8. Lois marginales30
  - 2.9. Indépendance des v.a.31
  - 2.10. Égalité P-presque sûrement32
  - Exercice 2.1. Tribus indépendantes32
  - Exercice 2.2. Indice aléatoire32
  - Exercice 2.3. Variables aléatoires X-mesurables33
  - Exercice 2.4. Variable aléatoire p.s. constante34
  - Exercice 2.5. Borne supérieure essentielle34
  - Exercice 2.6. Atomes d'un espace probabilisé35
  - Exercice 2.7. Exemple de mesure invariante36
  - Exercice 2.8. Estimateurs de la moyenne et de la variance39
  - Exercice 2.9. Espérance d'une v.a. à valeurs entières ou réelles positives41
  - Exercice 2.10. Binomiale négative41
  - Exercice 2.11. Probabilité d'une réunion finie d'ensembles43
  - Exercice 2.12. Rencontre45
  - Exercice 2.13. Temps d'arrêt47
  - Exercice 2.14. Calculs de lois49
  - Exercice 2.15. Loi de Cauchy et convolution51
  - Exercice 2.16. Égalisation53
  - Exercice 2.17. Statistiques d'ordre53
  - Exercice 2.18. Simulation57
  - Exercice 2.19. Loi de F(X)58
  - Exercice 2.20. Loi non absolument continue. Distribution de Cantor59
  - Chapitre 3. Lois discrètes, fonctions génératrices. Lois uniforme et exponentielle
  - 3.1. Variables aléatoires à valeurs dans N63
  - Lois usuelles63
  - Fonctions génératrices. Calcul des moments64
  - 3.2. Variables aléatoires à valeurs dans R64
  - Lois à densité (lois absolument continues) usuelles64
  - Statistiques d'ordre d'un n-échantillon de loi continue64
  - Exercice 3.1. Fonction génératrice de v.a. binomiale et de Poisson65
  - Exercice 3.2. Dés truqués67
  - Exercice 3.3. Loi binomiale négative68
  - Exercice 3.4. Somme aléatoire de variables aléatoires69
  - Exercice 3.5. Processus de branchement72
  - Exercice 3.6. Loi triangulaire74
  - Exercice 3.7. Statistiques d'ordre de v.a. uniformes76
  - Exercice 3.8. Somme de deux v.a. exponentielles de paramètres distincts78
  - Exercice 3.9. Temps d'attente en parallèle ou statistiques d'ordre de v.a. exponentielles79
  - Exercice 3.10. Exemple de temps d'attente en parallèle80
  - Exercice 3.11. Lois gamma, bêta, X²82
  - Exercice 3.12. Première valeur record87
  - Exercice 3.13. Théorème de La Palice89
  - Exercice 3.14. Variables amnésiques91
  - Exercice 3.15. Files d'attente92
  - Exercice 3.16. Estimation de la durée de vie (moyenne) d'une ampoule électrique94
  - Exercice 3.17. Instants d'arrivée avant le n-ième97
  - Exercice 3.18. Paradoxe de l'autobus98
  - Exercice 3.19. Indépendance101
  - Chapitre 4. Convergence en loi
  - 4.1. Convergence faible des probabilités103
  - 4.2. Convergence en loi des v.a.103
  - 4.3. Suite tendue104
  - 4.4. Fonctions caractéristiques104
  - 4.5. Propriétés des fonctions caractéristiques104
  - 4.6. Fonction caractéristique des lois usuelles. Loi normale106
  - 4.7. Seconde fonction caractéristique106
  - 4.8. Théorème limite central106
  - Exercice 4.1. Convergence en loi et arithmétique107
  - Exercice 4.2. Convergence des fonctions de répartition108
  - Exercice 4.3. Convergence faible des mesures de Dirac109
  - Exercice 4.4. Convergence faible pour des probabilités sur N110
  - Exercice 4.5. Théorème de Scheffé110
  - Exercice 4.6. Probabilité d'un intervalle111
  - Exercice 4.7. Suite tendue113
  - Exercice 4.8. Théorèmes de Helly et de Prohorov114
  - Exercice 4.9. Théorème de Lévy (suite de l'exercice précédent)117
  - Exercice 4.10. Fonction caractéristique d'une v.a. discrète118
  - Exercice 4.11. Fonctions caractéristiques des lois discrètes usuelles119
  - Exercice 4.12. Fonctions caractéristiques des lois continues usuelles121
  - Exercice 4.13. Somme d'un nombre aléatoire de v.a.124
  - Exercice 4.14. Loi de Cauchy125
  - Exercice 4.15. Une application non probabiliste du théorème limite central127
  - Exercice 4.16. Erreurs d'arrondi127
  - Exercice 4.17. Caractérisation de la loi normale128
  - Exercice 4.18. Théorème limite central pour une somme d'un nombre aléatoire de v.a. indépendantes équidistribuées129
  - Exercice 4.19. Convergence en loi de la médiane d'un échantillon131
  - Exercice 4.20. Convergence en loi et types des variables aléatoires132
  - Exercice 4.21. Lois indéfiniment divisibles134
  - Exercice 4.22. Stabilité138
  - Exercice 4.23. Extrêmes140
  - Exercice 4.24. Caractérisation des fonctions caractéristiques (théorème de Bochner)143
  - Chapitre 5. Convergences
  - 5.1. Inégalités147
  - 5.2. Différentes sortes de convergence147
  - 5.3. Événements asymptotiques. Lemme de Borel-Cantelli149
  - 5.4. Transformée de Laplace149
  - Exercice 5.1. Lim sup150
  - Exercice 5.2. Retours à zéro151
  - Exercice 5.3. Séries de v.a. indépendantes151
  - Exercice 5.4. Loi 0-1 et espérance151
  - Exercice 5.5. Loi forte des grands nombres. Théorème de Cantelli153
  - Exercice 5.6. Non-équivalence des diverses convergences154
  - Exercice 5.7. Somme et produit155
  - Exercice 5.8. Convergence de sommes de v.a. indépendantes156
  - Exercice 5.9. Loi forte des grands nombres156
  - Exercice 5.10. Une série158
  - Exercice 5.11. Une minoration158
  - Exercice 5.12. Théorèmes d'analyse159
  - Exercice 5.13. Transformée de Laplace162
  - Exercice 5.14. Théorème de Chernoff163
  - Chapitre 6. Espérances conditionnelles
  - 6.1. Espérance conditionnelle d'une v.a. intégrable169
  - Cas général169
  - Exemples importants170
  - Propriétés générales des espérances conditionnelles171
  - 6.2. L'espérance conditionnelle comme projecteur172
  - 6.3. Version régulière173
  - 6.4. Cas gaussien174
  - Exercice 6.1. Loi binomiale, loi de Poisson174
  - Exercice 6.2. Conditionnement par une v.a. discrète176
  - Exercice 6.3. Exemple de conditionnement par une v.a. discrète177
  - Exercice 6.4. Dérivée usuelle et dérivée de Radon-Nikodym179
  - Exercice 6.5. Conditionnement par le sup de deux tribus179
  - Exercice 6.6. Loi conditionnelle du minimum sachant le maximum181
  - Exercice 6.7. Partition engendrée par les statistiques d'ordre182
  - Exercice 6.8. Exemple de loi conditionnelle sans densité185
  - Exercice 6.9. Conditionnement par les statistiques d'ordre188
  - Exercice 6.10. Variance et covariance conditionnelles190
  - Exercice 6.11. Somme d'un nombre aléatoire de v.a.r.191
  - Exercice 6.12. Indépendance et conditionnement192
  - Exercice 6.13. Densités conditionnelles193
  - Exercice 6.14. Théorème de Fubini et espérance conditionnelle195
  - Exercice 6.15. Version régulière197
  - Chapitre 7. Variables et vecteurs gaussiens
  - 7.1. Généralités sur les vecteurs aléatoires199
  - 7.2. Vecteurs gaussiens (ou normaux)201
  - Exercice 7.1. Orthogonalité et indépendance203
  - Exercice 7.2. Indépendance de deux combinaisons linéaires de gaussiennes indépendantes204
  - Exercice 7.3. Indépendance mutuelle204
  - Exercice 7.4. Vecteur gaussien standard. Forme canonique205
  - Exercice 7.5. Évaluation de la queue de la distribution normale207
  - Exercice 7.6. Une caractérisation de la loi normale209
  - Exercice 7.7. C.N.S. d'indépendance de (...) et S²211
  - Exercice 7.8. Loi du X²214
  - Exercice 7.9. Loi du X'²215
  - Exercice 7.10. Convergence de la loi multinomiale. Test du X²216
  - Exercice 7.11. Théorème de Cochran219
  - Exercice 7.12. Analyse de la variance à un facteur222
  - Exercice 7.13. Convergence en loi de variables gaussiennes224
  - Exercice 7.14. Coefficient de corrélation linéaire et rapport de corrélation225
  - Exercice 7.15. Espérance conditionnelle pour un vecteur gaussien228
  - Exercice 7.16. Suite gaussienne markovienne229
  - Exercice 7.17. Estimateurs bayesiens232
  - Chapitre 8. Martingales à temps discret
  - 8.1. Définitions : sous-martingales, martingales, surmartingales237
  - 8.2. Martingales de carré intégrable238
  - 8.3. Temps d'arrêt. Échantillonnage des martingales238
  - 8.4. Théorèmes de convergence forts. Équiintégrabilité. Loi forte des grands nombres239
  - Exercice 8.1. Changement de tribus240
  - Exercice 8.2. Exemples de martingales241
  - Exercice 8.3. Stratégies. Processus arrêté241
  - Exercice 8.4. Décomposition de Doob243
  - Exercice 8.5. Martingale équidistribuée244
  - Exercice 8.6. Applications de l'inégalité de Jensen245
  - Exercice 8.7. Exemples245
  - Exercice 8.8. Franchissement de barrières247
  - Exercice 8.9. Marches aléatoires. Arrêtez si vous gagnez249
  - Exercice 8.10. Convergence pour des martingales de L²251
  - Exercice 8.11. Théorème des trois séries (condition suffisante)253
  - Exercice 8.12. Ensemble de convergence d'une martingale254
  - Exercice 8.13. Marche aléatoire de Bernoulli255
  - Exercice 8.14. Équiintégrabilité et suite des espérances conditionnelles256
  - Exercice 8.15. Théorème de Radon-Nikodym257
  - Exercice 8.16. Loi du logarithme itéré259
  - Chapitre 9. Chaînes de Markov
  - 9.1. Définition. Propriété de Markov265
  - 9.2. Décomposition de l'espace des états267
  - 9.3. Distribution stationnaire268
  - 9.4. Convergence vers la distribution stationnaire269
  - Exercice 9.1. Dépenses énergétiques269
  - Exercice 9.2. Comment démontrer qu'une suite est une chaîne de Markov271
  - Exercice 9.3. Marche aléatoire272
  - Exercice 9.4. Bruit qui court272
  - Exercice 9.5. Loi du temps de séjour en un état273
  - Exercice 9.6. Étude de Rhô_xy274
  - Exercice 9.7. Probabilités d'absorption275
  - Exercice 9.8. File d'attente278
  - Exercice 9.9. Marches aléatoires dans Z^k280
  - Exercice 9.10. Un critère de récurrence283
  - Exercice 9.11. File d'attente : application de l'exercice 9.10285
  - Exercice 9.12. Chaîne à deux états286
  - Exercice 9.13. Chaînes d'Ehrenfest288
  - Exercice 9.14. Le Monopoly292
  - Exercice 9.15. Probabilités stationnaires d'une chaîne non irréductible295
  - Exercice 9.16. Chaîne de naissance et de mort296
  - Exercice 9.17. "I should've quit when I was ahead" : application de l'exercice précédent299
  - Exercice 9.18. Longueur de la suite de succès299
  - Exercice 9.19. Exemples d'application de la propriété de Markov simple302
  - Exercice 9.20. Propriété de Markov forte303
  - Exercice 9.21. Chaîne de Galton-Watson305
  - Exercice 9.22. Martingales : temps de sortie307
  - Annexe. Théorie de la mesure
  - A.1. Tribus311
  - A.2. Applications mesurables312
  - A.3. Mesures313
  - A.4. Intégration des v.a.r.315
  - A.5. Espaces L^p318
  - Bibliographie 319
  - Notations 321
  - Index 323
Origine de la notice:
- Electre