Les démonstrations : démontrer, l'art de convaincre : raisonner et prouver

Résumé

Panorama des différentes méthodes de démonstration mathématique utilisées au cours de l'histoire, illustré d'exemples célèbres : analyse et synthèse, raisonnement par l'absurde, récurrence, descente infinie de Fermat, etc. Avec un point sur les contre-exemples et la nécessité, dans certains cas, de sortir des sentiers battus. ©Electre 2016

Éditeur(s)
- POLE
Date
- 2016
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (160 p.) ; 24 x 17 cm
Collections
- Bibliothèque Tangente
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-84884-198-4
Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
Quatrième de couverture
- Les démonstrations
  ¤ Les fondements de la preuve
  ¤ Les grands classiques de la démonstration
  ¤ De nouvelles formes de preuves
  ¤ Les apports de l'informatique
  La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques. Mais les bases de la logique sont-elles immuables ? Qu'est-ce qu'une preuve ? Peut-on convaincre avec un dessin ou un programme informatique ? Une affirmation est-elle nécessairement vraie ou fausse ?
  De la méthode d'exhaustion d'Archimède au raisonnement par récurrence, la variété des méthodes utilisées pour démontrer est impressionnante. Mais tout l'art consiste à comprendre quelle technique de raisonnement s'applique à un problème donné, et à faire preuve de créativité quand la seule façon de convaincre consiste à sortir des sentiers battus.
  Des sentiers où l'on rencontre pêle-mêle paradoxes, contre-exemples, idées géniales, preuves sans mots, et esthétique...
Tables des matières
- - Tangente Hors-série n° 55
  - Les démonstrations
  - L'art de convaincre
  - Pole
  - Démontrer : une histoire au long cours6
  - Dossier Les fondements de la preuve13
  - La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques, la différenciant des autres sciences. Tout au long d'une longue histoire, qui remonte aux Grecs de l'Antiquité et qui continue à s'écrire aujourd'hui, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien.
  - Les bases de la logique.14
  - Cela existe, je l'ai démontré !18
  - Bien choisir son axiomatique.24
  - Les limites de la preuve30
  - Kurt Gödel, le vrai et le démontrable.34
  - Une démonstration peut-elle être purement visuelle ?40
  - Le rôle de l'analogie en mathématiques.48
  - Preuve et logique.56
  - Dossier Les grands classiques59
  - Les différents modes de démonstration sont aujourd'hui bien établis. Certains datent de l'Antiquité, d'autres sont nés en France au XVII^e siècle. Le raisonnement par récurrence, qui est selon Henri Poincaré « une propriété de l'esprit lui-même », est plus récent. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donné...
  - Démontrer : une grande variété de méthodes60
  - Analyse et synthèse : une particularité des mathématiques64
  - Pour un tiroir de plus...68
  - Comment trouver un bon invariant74
  - La démonstration par récurrence78
  - L'étrange axiome du choix84
  - La récurrence et la base incomplète88
  - Les joies du transport de propriétés94
  - Cantor et les infinis98
  - Dossier De nouvelles formes de preuves103
  - Si les bases de la logique sont désormais bien établies, de nouveaux outils pour la démonstration continuent à être introduits en mathématiques. L'arrivée des ordinateurs pose plusieurs questions fondamentales : les algorithmes utilisés produisent-ils toujours un résultat, ou peuvent-ils boucler sans fin ? Peut-on distinguer un problème « facile » d'un problème « difficile » ?
  - Des calculs à n'en plus finir104
  - Non, les problèmes ne sont pas tous de même difficulté !108
  - Manipuler pour démontrer115
  - Même le hasard peut créer des certitudes116
  - La méthode d'exhaustion119
  - La théorie homotopique des types : de nouveaux fondements des mathématiques ?120
  - Dossier Les apports de l'informatique129
  - L'informatique théorique est la science qui nous a le plus obligés à repenser la notion de preuve. Les analogies entre démonstration mathématique et programme informatique sont maintenant bien établies. L'ordinateur offre des moyens de calculs inédits. Il devient même possible de certifier qu'une preuve mathématique est effectivement valide.
  - La démonstration automatique : un enjeu crucial130
  - Prouver rapidement qu'une propriété est vérifiée... ou pas132
  - Comment prouver son identité134
  - Une preuve de maths est un programme informatique !138
  - Vérifier une preuve en n'en lisant que quelques lettres !144
  - Le « petit » théorème PCP148
  - Réduire la taille d'une preuve152
  - La preuve par le contre-exemple17, 23, 29, 46, 54
  - Idées lumineuses39, 73, 87, 93
  - En bref5, 12, 92, 128, 137, 143
  - Notes de lecture159
  - Problèmes156
  - Solutions160
Origine de la notice:
- Electre