Oraux X-ENS. 1 , Mathématiques

Auteur(s) :

Francinou, Serge Découvrir l'auteur

Résumé

Exercices résolus issus des oraux X-ENS, pour les élèves des classes préparatoires mais aussi les candidats au Capes ou à l'agrégation. Les exercices classés par thèmes sont accompagnés de rappels de cours, de prolongements ou de points d'histoire. ©Electre 2019

Autre(s) auteur(s)
- Nicolas, Serge (1954-....)
- Gianella, Hervé
Éditeur(s)
- Cassini
Date
- 2019
Notes
- Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (416 p.) ; 23 x 15 cm
Collections
- Enseignement des mathématiques
Sujet(s)
Lieu
- France
ISBN
- 978-2-84225-241-0
Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
Quatrième de couverture
- Ce volume inaugure la nouvelle édition des Oraux X-ENS de Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, conforme au programme de 2014. Les sept premiers volumes d'exercices correspondent à ce programme, et un huitième volume reprendra des sujets qui sont désormais hors programme, mais qui sont toujours d'actualité pour l'agrégation.
  Comme on le verra, les auteurs ont tenu à rédiger les solutions les plus pédagogiques possibles, essayant d'exposer clairement les idées et les démarches de raisonnement. Ces solutions sont en même temps des solutions complètes, et n'escamotent ni les détails ni les calculs, car le candidat est aussi jugé sur sa maîtrise des outils que le programme met à sa disposition.
  Ce premier volume, qui comporte un tiers d'exercices nouveaux, est consacré à l'algèbre générale (combinatoire, groupes, anneaux, corps, arithmétique, polynômes) et aux éléments de base de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, algèbres).
Tables des matières
- - Oraux de l'École polytechnique et des Écoles normales supérieures
  - Mathématiques
  - Serge Francinou
  - Hervé Gianella
  - Serge Nicolas
  - Cassini
  - Introduction5
  - Plan de la collection9
  - 1. Théorie des groupes11
  - 1.1. Existence d'un indempotent11
  - 1.2. Axiomes faibles de groupe12
  - 1.3. Sous-groupe du groupe affine de (...)12
  - 1.4. Groupes dont l'ensemble des sous-groupes est fini13
  - *1.5. Sous-groupe et combinatoire13
  - *1.6. Parties de A sans some dans A14
  - 1.7. Noyau et image de (...) et (...)16
  - 1.8. Morphismes de (...) dans (...)17
  - 1.9. Morphismes de (...) dans (...)17
  - 1.10. Involution sans point fixe non trivial17
  - 1.11. Groupes finis sans automorphisme non trivial18
  - *1.12. Morphismes de (...) dans (...)19
  - 1.13. Partrie génératrice de (...)21
  - 1.14. Éléments non générateurs, sous-groupe de Frattini21
  - 1.15. Groupe dérivé23
  - 1.16. Groupe résoluble24
  - 1.17. Un sous-groupe du groupe circulaire droit26
  - 1.18. Fonction de croissance d'un groupe (1)27
  - 1.19. Fonction de croissance d'un groupe (2)28
  - 1.20. Famille minimale engendrant G par produit29
  - 1.21. Sous-groupes finis de (...)31
  - 1.22. Groupes de cardinal 832
  - 1.23. Preuve de MacKay du lemme de Cauchy (1959)33
  - *1.24. Théorème de Sylow35
  - 1.25. Exposant d'un groupe abélien fini36
  - *1.26. Groupes abéliens finis (1)38
  - *1.27. Groupes abéliens finis (2)40
  - 1.28. Puissances dans un groupe abélien d'exposant fini42
  - 1.29. Involutions dans un groupe44
  - 1.30. Classes de conjugaison45
  - 1.31. Centre d'un p-groupe45
  - 1.32. Nombre de classes de conjugaison47
  - *1.33. Sous-groupe d'indice infini48
  - **1.34. Un théorème de Frobenius (1895)50
  - 1.35. Le groupe diédral51
  - 1.36. Sous-groupes finis de SO₃ (...)52
  - 1.37. Groupes quasi-cycliques de Prüfer56
  - 1.38. Le groupe modulaire57
  - *1.39. Groupe libre61
  - *1.40. Théorème de Frucht (1939)63
  - 1.41. Un théorème de Cayley67
  - 1.42. Sous-groupe commutatif transitif de (...)68
  - 1.43. Maximalité de (...) dans (...)68
  - 1.44. Génération du groupe symétrique69
  - 1.45. Carrés de (...)70
  - 1.46. Plongement de (...) dans (...)71
  - 1.47. Un calcul de signature72
  - 1.48. Morphismes d'un sous-groupe de (...) dans (...)72
  - *1.49. Morphismes de (...) dans (...)74
  - *1.50. Automorphismes de (...)78
  - 1.51. Structure de groupe ordonné sur (...)80
  - 2. Anneaux et corps83
  - 2.1. Inversibilité à droite84
  - 2.2. Calcul d'inverse85
  - *2.3. Cas particuliers d'un théorème de Jacobson86
  - 2.4. Commutativité ou anti-commutativité87
  - 2.5. Nilpotents de (..)88
  - 2.6. Anneaux réguliers88
  - 2.7. Groupe des inversibles de (...)90
  - 2.8. Sous-groupe du groupe des inversibles de (...)91
  - 2.9. Idéaux principaux93
  - 2.10. Idéaux maximaux93
  - 2.11. Exemple d'anneau local95
  - 2.12. Anneau des nombres décimaux96
  - **2.13. Anneau (...)97
  - **2.14. Anneaux factoriels98
  - **2.15. Anneaux euclidiens100
  - 2.16. Anneau des entiers de Gauss (1)104
  - **2.17 Anneau des entiers de Gauss (2)106
  - 2.18. L'anneau euclidien (...)110
  - **2.19. L'anneau (...)110
  - 2.20. Une extension quadratique de (...)113
  - 2.21. Anneau sans idéal non premier115
  - *2.22. Anneau produit fini de corps finis116
  - 2.23. Racines carrées117
  - 2.24. Nombres algébriques119
  - 2.25. Automorphismes de (...)122
  - 2.26. Corps quadratiques123
  - 2.27. Valuations sur (...)125
  - **2.28. Valeurs absolues non-archimédiennes sur (...)127
  - **2.29. Indépendance des valeurs absolues sur (...)129
  - 3. Arithmétique131
  - 3.1. Question de divisibilité (1)132
  - 3.2. Question de divisibilité (2)133
  - 3.3. Question de divisibilité (3)133
  - 3.4. Question de divisibilité (4)134
  - 3.5. Question de divisibilité (5)135
  - *3.6. Question de divisibilité (6)136
  - 3.7. Produits d'entiers consécutifs138
  - 3.8. Pgcd d'une famille de coefficients binomiaux138
  - 3.9. Suite de Fibonacci139
  - 3.10. Étude de l'irréductibilité d'une fraction140
  - 3.11. Points du réseau (...) visibles de l'origine141
  - 3.12. Une identité arithmétique142
  - 3.13. Parties de (...) additivement stables143
  - *3.14. Fonction (...) telle que m - n divise f(m) - f(n)144
  - 3.15. Un exercice pour les années impaires147
  - 3.16. Un problème de congruence147
  - 3.17. Entiers qui ne s'écrivent qu'avec le chiffre 1148
  - 3.18. Somme des puissances k-ièmes dans (...)148
  - 3.19. Théorème de Wilson (1759)149
  - 3.20. Théorème de Wolstenholme (1862)150
  - 3.21. Cyclicité du groupe multiplicatif (...)150
  - 3.22. Suite des ordres multiplicatifs d'un entier modulo (...)152
  - 3.23. Critères de primalité153
  - 3.24. Diviseurs premiers communs aux termes d'une suite arithmétique154
  - 3.25. Nombres de Fermat154
  - 3.26. Une caractérisation des nombres premiers impairs156
  - 3.27. Infinité des nombres premiers congrus à 3 modulo 4157
  - 3.28. Version faible du théorème de Dirichlet (1)158
  - 3.29. Version faible du théorème de Dirichlet (2)158
  - *3.30. Un théorème d'Erdös (1965)161
  - 3.31. Plus petit nombre premier ne divisant pas n162
  - 3.32. Théorème de Kurschak (1918)163
  - 3.33. Diviseurs d'un entier congrus à 1 ou 2 modulo 3163
  - 3.34. Formule de Legendre (1808)165
  - 3.35. Produit de trois entiers consécutifs167
  - *3.36. Théorème de Palfy-Erdös (1987)168
  - 3.37. Divisibilité de coefficients binomiaux170
  - 3.38. Congruences de Lucas (1878)171
  - 3.39. Valuation p-adique d'un coefficient binomial173
  - 3.40. Un problème de congruence173
  - 3.41. Le problème de Ducci175
  - 3.42. Nombre moyen de diviseurs178
  - 3.43. Une majoration de (...)179
  - 3.44. Équation faisant intervenir (...)180
  - *3.45. Sur la fonction (...)180
  - 3.46. Fonctions arithmétiques multiplicatives181
  - *3.47. Un théorème d'Erdös (1946)184
  - 3.48. Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux186
  - *3.49. Minoration de Tchebychev (1)189
  - 3.50. Minoration de Tchebychev (2)191
  - 3.51. Majoration de Tchebychev191
  - 3.52. Triplets pythagoriciens192
  - 3.53. Écriture d'un nombre premier comme somme de deux carrés194
  - 3.54. Théorème des deux carrés, preuve combinatoire195
  - 3.55. Cercle (...) = 1 dans (...)197
  - 3.56. Théorème des quatre carrés de Lagrange (1770)198
  - *3.57. Lemme de Davenport-Cassels200
  - 3.58. Équation diophantienne (...)201
  - 3.59. Un cas particulier de l'équation de Catalan202
  - 3.60. Une équation diophantienne203
  - 3.61. Théorème de Sophie Germain (1823)204
  - 4. Polynômes207
  - 4.1. Condition de visibilité (1)208
  - 4.2. Condition de divisibilité (2)209
  - *4.3. Condition de divisibilité (3)209
  - 4.4. Condition pur que (...) divise (...)211
  - 4.5. Racine cubique de X modulo P211
  - 4.6. Racine carrée de X modulo (...)212
  - 4.7. Une suite de pgcd périodique213
  - 4.8. Trinômes irréductibles de (...)213
  - 4.9. Une équation fonctionnelle (1)214
  - 4.10. Une équation fonctionnelle (2)215
  - 4.11. Une théorème de Liouville (1879)217
  - 4.12. Théorème de Mason (1984)218
  - 4.13. Résultant de deux polynômes219
  - 4.14. Caractérisation d'un polynôme par les antécédents de deux points distincts222
  - 4.15. Image réciproque d'une partie finie par un polynôme223
  - 4.16. Sur le nombre d'antécédents d'un point par un polynôme223
  - 4.17. Racines d'un polynôme de (...) avec (...) non premier224
  - 4.18. Polynôme rationnel inséparable de degré 5225
  - 4.19. Un polynôme irréductible de (...)225
  - 4.20. Critère d'Eisenstein227
  - *4.21. Irréductibilité de (...), dans (..)228
  - 4.22. Polynômes complexes d'image réelle230
  - 4.23. Polynômes de (...) envoyant (...) dans (...)231
  - 4.24. Polynômes et fractions laissant invariant le cercle unité231
  - *4.25. Famille de fonctions polynomiales232
  - 4.26. Comparaison entre trinômes233
  - 4.27. Étude locale d'une fonction polynomiale complexe235
  - *4.28. Polynômes à coefficients dans (...)236
  - 4.29. Polynômes positifs238
  - 4.30. Polynômes positifs sur (...)238
  - 4.31. Polynômes positifs sur (...)239
  - 4.32. Polynômes strictement positifs sur (...)241
  - 4.33. Un polynôme positif243
  - 4.34. Diviseurs d'un polynôme de (...)244
  - 4.35. Décomposition en base -2244
  - 4.36. Polynômes de Hilbert245
  - 4.37. Polynômes laissant invariant un ensemble d'entiers246
  - 4.38. Interpolation de Lagrange247
  - 4.39. Majoration de la norme infinie248
  - 4.40. Polynômes complexes envoyant surjectivement (...) sur (...)249
  - 4.41. Nombre de solution à (...) pour (...)250
  - 4.42. Caractérisation des polygones réguliers251
  - 4.43. Images des racines d'un polynôme252
  - 4.44. Un calcul de (...)253
  - 4.45. Encadrement de racines réelles254
  - 4.46. Polynômes réels scindés255
  - 4.47. Un théorème de Kronecker257
  - *4.48. Racine de P' de plus petit module258
  - 4.49. Formules de Newton (1707)259
  - **4.50. Conjecture de Popoviciu262
  - 4.51. Un polynôme scindé sur (...)264
  - 4.52. Dénombrement de racines réelles265
  - 4.53. Dérivation et polynômes réels scindés266
  - 4.54. Comportement asymptotique des racines d'un polynôme267
  - *4.55. Un théorème de Laguerre268
  - 4.56. Plan vectoriel de polynômes scindés sur (...)270
  - 4.57. Plan vectoriel de polynômes scindés sur (...)272
  - 4.58. L'ouvert des polynômes scindés à racines simples sur (...)272
  - 4.59. Condition nécessaire pour qu'un polynôme réel soit scindé à racines simples273
  - *4.60. Condition suffisante pour qu'un polynôme réel soit scindé à racines simples274
  - 4.61. Polynômes de Tchebychev277
  - *4.62. Inégalités de Bernstein et de Markov280
  - 4.63. Localisation des racines283
  - 4.64. Théorème de Gauss-Lucas284
  - *4.65. Application du théorème de Gauss-Lucas (1)286
  - *4.66. Application du théorème de Gauss-Lucas (2)287
  - 4.67. Application du théorème de Gauss-Lucas (3)288
  - 4.68. Application du théorème de Gauss-Lucas (4)290
  - 4.69. Construction d'un polynôme satisfaisant des conditions sur le module de ses valeurs291
  - 4.70. Inégalité de Landau291
  - *4.71. Inégalité de Mignotte292
  - 4.72. Décomposition d'un polynôme en somme de polynômes de racines de module 1294
  - 4.73. Théorème d'Eneström-Kakeya295
  - 4.74. Critère de Routh-Hurwitz pour le degré 3296
  - 4.75. Règle de Descartes297
  - 4.76. Théorème de Sturm299
  - 4.77. Irréductibilité dans (...)[X] (1)300
  - 4.78. Irréductibilité dans (...)[X] (2)301
  - 4.79. Irréductibilité dans (...)[X] (3)302
  - 4.80. Critère d'irréductibilité de Cohn303
  - 4.81. Décomposition en éléments simples304
  - 4.82. Une identité algébrique304
  - 4.83. Inégalité de Bernstein306
  - 4.84. Inversion de la matrice de Hilbert307
  - *4.85. Fractions rationnelles prenant des valeurs entières sur (...)309
  - 4.86. Automorphismes de K(X)311
  - 4.87. Image de (...) ou (...) par un polynôme314
  - 4.88. Ensemble des zéros d'un polynôme à plusieurs variables315
  - 4.89. Réunion des zéros famille dénombrable de polynômes315
  - *4.90. Théorème de Cauchy-Davenport316
  - 4.91. Polynômes à plusieurs variables à valeurs entières317
  - 4.92. Somme de carrés dans (...)[X, Y]319
  - *4.93. Polynômes strictement positifs sur (...)320
  - 4.94. Applications de (...) dans (...) polynomiales par rapport à chaque variable322
  - *4.95. Équations polynomiales dans (...)323
  - **4.96. Polynômes harmoniques326
  - **4.97. Irréductibilité dans K[X¹,...,Xⁿ]327
  - **4.98. Un théorème de Bezout330
  - **4.99. Équations homogènes dans k et k(X)332
  - **4.100. Racines d'un polynôme dont les coefficients sont des séries formelles334
  - 5. Espaces vectoriels. Algèbres337
  - 5.1. Liberté de familles de fonctions337
  - 5.2. Liberté d'une famille d'exponentielles338
  - 5.3. Liberté d'une famille de polynômes339
  - 5.4. Indépendance des caractères d'un groupe fini340
  - 5.5. Intersection de sous-espaces341
  - 5.6. Supplémentaire commun342
  - 5.7. Intersection d'un sous-espace et d'un hypercube344
  - **5.8. Drapeaux345
  - 5.9. Lemmes de factorisation348
  - 5.10. Condition pour que rg (...)349
  - 5.11. Endomorphismes stabilisant les sous-espaces de dimension k351
  - 5.12. Endomorphismes tels que (a, x, u (x)) est liée pour toux x351
  - 5.13. Produit commutatif d'endomorphismes nilpotents352
  - 5.14. Inégalité de Sylvester353
  - 5.15. Pseudo-inverse355
  - 5.16. Endomorphismes u tels que Ker u=Im u356
  - 5.17. Endomorphismes u tels que Ker u (...) Im u= E357
  - 5.18. Décomposition de Fitting358
  - 5.19. Endomorphismes tels que E=Ker u (...) Im u359
  - 5.20. Images et noyaux de puissances360
  - *5.21. Équivalence entre Ker u (...) Ker v= {0} et Im u + Im v = E361
  - 5.22. Équation linéaire dans (...)(E)362
  - 5.23. Somme et différence de deux projecteurs365
  - 5.24. Projecteurs365
  - 5.25. Combinaison linéaire de 3 projecteurs366
  - 5.26. Une somme de projecteurs366
  - *5.27. Endomorphismes de C[X]367
  - 5.28. Commutant de la dérivation discrète dans C[X]370
  - 5.29. Formule de Burnside371
  - *5.30. Théorème de Maschke374
  - 5.31. Groupes irréductibles375
  - *5.32. Automorphismes de la K-algèbre (...)(E)376
  - 5.33. Simplicité de (...)(E)378
  - 5.34. Idéaux à gauche de (...)(E)378
  - 5.35. Idéaux à droite de (...)(E)380
  - 5.36. Orthogonalité duale en dimension quelconque382
  - 5.37. Cône positif383
  - 5.38. Familles positivement génératrices384
  - 5.39. Familles positivement génératrices de E*385
  - 5.40. Caractérisation de (...)388
  - *5.41. Théorème de Frobenius389
  - 5.42. Sous-algèbres de dimension finie de (...)⁽⁰⁾ ((...))391
  - 5.43. Une sous-algèbre de (...)[X]392
  - 5.44. Racine carrée de la dérivation393
  - 5.45. Trace d'une algèbre393
  - 5.46. (...)-dérivation (1)395
  - 5.47. (...)-dérivation (2)396
  - 5.48. (...)-dérivation (3)398
  - 5.49. Étude d'une algèbre399
  - *5.50. Théorème de Burnside sur les sous-algèbres irréductibles400
  - *5.51. Paires de Weyl402
  - Index413
Origine de la notice:
- Electre