Mathématiques supérieures : cours. Tome 1

Auteur(s) :

Gewirtz, Alexander Découvrir l'auteur

Résumé

Un cours abordant notamment les séries numériques, les espaces vectoriels normés, les dérivations des fonctions à valeurs vectorielles ou encore les suites et séries de fonctions. ©Electre 2023

Éditeur(s)
- EDP sciences
Date
- DL 2023
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (452 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
Collections
- Collection Enseignement sup. Mathématiques
Autre(s) édition(s)
- Mathématiques supérieures :
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-7598-2787-9
Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
Quatrième de couverture
- Ce livre est inspiré des cours de mathématiques proposés à l'institut franco-chinois de l'énergie nucléaire (IFCEN), situé à Zhuhai dans la province du Guangdong en Chine.
  L'objectif de ce premier tome est d'introduire tous les fondements d'algèbre (les structures), d'algèbre linéaire (les espaces vectoriels et applications linéaires) et d'analyse (les concepts de limite en particulier pour les suites ou les fonctions). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s'inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l'idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s'appliquer pour des questions d'analyse et réciproquement.
  Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l'IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d'ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants.
  Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d'applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément, une large sélection d'exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d'approfondir leurs connaissances en mathématiques.
Tables des matières
- - Mathématiques Supérieures
  - Cours - tome 1
  - Alexander Gewirtz
  - Edp sciences
  - Chapitre 1 Groupes, anneaux et corps7
  - 1.1 Groupes8
  - 1.1.1 Loi de composition interne8
  - 1.1.2 Définition d'un groupe et règles de calcul13
  - 1.1.3 Sous-groupes18
  - 1.1.4 Opérations sur les sous-groupes20
  - 1.1.5 Morphismes de groupes22
  - 1.2 Anneaux et corps28
  - 1.2.1 Définitions28
  - 1.2.2 Sous-anneaux et sous-corps29
  - 1.2.3 Règles de calcul dans un anneau32
  - 1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps36
  - 1.2.5 Morphismes d'anneaux (ou de corps)37
  - 1.3 Exercices41
  - Chapitre 2 Relations, ensembles ℕ, ℤ, ℚ et ℝ47
  - 2.1 Relations48
  - 2.1.1 Généralités sur les relations48
  - 2.1.2 Relation d'ordre50
  - 2.1.2. a Ordre total et ordre partiel52
  - 2.1.2. b Majorant, minorant, plus grand et plus petit élément53
  - 2.1.2. c Borne supérieure et borne inférieure56
  - 2.1.2. d Applications croissantes, décroissantes et monotones58
  - 2.1.3 Relation d'équivalence60
  - 2.2 Ensemble ℕ et principe de récurrence61
  - 2.2.1 Définition de l'ensemble ℕ61
  - 2.2.2 Principe de récurrence62
  - 2.2.2. a Récurrence simple62
  - 2.2.2. b Récurrence double65
  - 2.2.2. c Récurrence forte66
  - 2.2.2. d Récurrence finie et récurrence descendante67
  - 2.3 Ensemble ℤ et valeur absolue69
  - 2.3.1 Ensemble ℤ et structure d'anneau69
  - 2.3.2 Valeur absolue dans ℤ71
  - 2.4 Ensembles des nombres réels71
  - 2.4.1 Corps des nombres rationnels71
  - 2.4.2 Corps des nombres réels et relation d'ordre72
  - 2.4.3 Valeur absolue72
  - 2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure75
  - 2.4.5 Partie entière79
  - 2.4.6 Caractérisation des intervalles de ℝ81
  - 2.4.7 Droite numérique achevée84
  - 2.4.8 Densité de ℚ et de ℝ \ ℚ84
  - 2.4.9 Valeurs décimales approchées d'un nombre réel87
  - 2.5 Exercices88
  - 2.6 Annexe96
  - 2.6.1 Construction de ℤ96
  - 2.6.2 Ensembles finis et dénombrements105
  - 2.6.2. a Définitions et théorème fondamental105
  - 2.6.2. b Parties de ℕ et parties d'un ensemble fini109
  - 2.6.2. c Critère de bijection pour les ensembles finis114
  - 2.6.2. d Dénombrement117
  - 2.6.2. e Cardinal d'une réunion et du complémentaire d'une partie117
  - 2.6.2. f Produit cartésien117
  - 2.6.2. g Ensemble des applications de E vers F118
  - 2.6.2. h Cardinal de P(E)119
  - 2.6.2. i Arrangements, nombres d'injections et nombres de bijections d'un ensemble dans lui-même121
  - 2.6.2. j Combinaisons et coefficients binomiaux123
  - 2.6.2. k Propriétés des coefficients binomiaux124
  - Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes125
  - 3.1 Suites de nombres réels126
  - 3.1.1 Généralités126
  - 3.1.2 Opérations sur les suites129
  - 3.1.3 Suites extraites134
  - 3.2 Suites définies par une relation de récurrence135
  - 3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques136
  - 3.2.2 Notations Σ et Π137
  - 3.2.3 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants142
  - 3.3 Limite d'une suite150
  - 3.3.1 Convergence vers un réel Í : définition et propriétés150
  - 3.3.2 Convergence et signe154
  - 3.3.3 Divergence d'une suite155
  - 3.3.3. a Divergence vers +∞ ou vers -∞156
  - 3.3.3. b Autres modes de divergence157
  - 3.3.4 Opérations sur les suites convergentes158
  - 3.3.4. a Espace vectoriel des suites convergeant vers 0158
  - 3.3.4. b Opérations algébriques sur les limites160
  - 3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre164
  - 3.3.6 Convergence et suites extraites169
  - 3.3.7 Caractérisation de la densité par les suites173
  - 3.4 Théorèmes d'existence de limite174
  - 3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone174
  - 3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux séries à termes positifs178
  - 3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments emboîtés187
  - 3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass190
  - 3.5 Relations de comparaison192
  - 3.5.1 Suites dominées ou négligeables par rapport à une autre192
  - 3.5.2 Suites équivalentes193
  - 3.5.3 Comparaison des suites de référence198
  - 3.5.4 Développement asymptotique d'une suite199
  - 3.6 Suites à valeurs complexes202
  - 3.6.1 Définitions et convergence d'une suite complexe202
  - 3.6.2 Lien avec les parties réelle et imaginaire204
  - 3.7 Exercices205
  - Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires215
  - 4.1 Espaces vectoriels216
  - 4.1.1 Définition et exemples usuels216
  - 4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel219
  - 4.1.3 Sous-espaces vectoriels221
  - 4.2 Opérations sur les espaces vectoriels225
  - 4.2.1 Intersection et sous-espace engendré par une partie225
  - 4.2.2 Somme de sous-espaces vectoriels232
  - 4.2.3 Sommes directes et sous-espaces vectoriels supplémentaires236
  - 4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels241
  - 4.3 Sous-espaces affines243
  - 4.3.1 Translations et groupes des translations d'un espace vectoriel243
  - 4.3.2 Définition d'un sous-espace affine244
  - 4.3.3 Parallélisme247
  - 4.3.4 Intersection de deux sous-espaces affines248
  - 4.4 Applications linéaires249
  - 4.4.1 Définition et exemples249
  - 4.4.2 Noyau et image d'une application linéaire253
  - 4.4.3 Equations linéaires258
  - 4.4.4 Ensembles des applications linéaires L(E, F)259
  - 4.4.5 Isomorphismes, automorphismes et groupe linéaire263
  - 4.4.6 Restriction et recollement265
  - 4.4.7 Hyperplans d'un espace vectoriel et formes linéaires268
  - 4.4.8 Étude d'applications linéaires remarquables271
  - 4.4.8. a Homothéties271
  - 4.4.8. b Projecteurs272
  - 4.4.8. c Symétries276
  - 4.5 Exercices279
  - Chapitre 5 Arithmétique dans ℤ287
  - 5.1 Arithmétique dans ℤ288
  - 5.1.1 Diviseurs et congruences288
  - 5.1.2 Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers291
  - 5.1.3 Division euclidienne294
  - 5.1.4 Sous-groupes de (ℤ,+)295
  - 5.1.5 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple296
  - 5.1.6 Théorème de Bézout et algorithme d'Euclide298
  - 5.1.7 Lemme d'Euclide et théorème de Gauss302
  - 5.2 Exercices308
  - 5.3 Annexe310
  - 5.3.1 Anneaux ℤ/nℤ et quelques propriétés310
  - 5.3.2 Corps ℤ/pℤ et éléments inversibles de ℤ/nℤ312
  - Chapitre 6 Fonctions réelles ou complexes d'une variable réelle313
  - 6.1 Généralités sur les fonctions d'une variable réelle314
  - 6.1.1 Ensemble F(I, K) et relation d'ordre314
  - 6.1.2 Ensemble B(I, K)315
  - 6.1.3 Fonctions périodiques317
  - 6.1.4 Fonctions paires et fonctions impaires318
  - 6.1.5 Fonctions lipschitziennes320
  - 6.1.6 Fonctions monotones322
  - 6.2 Étude locale d'une fonction323
  - 6.2.1 Voisinage d'un point323
  - 6.2.2 Limite d'une fonction en un point et continuité en un point325
  - 6.2.3 Opérations algébriques sur les limites335
  - 6.2.4 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre dans ℝ341
  - 6.2.5 Composition de limites et caractérisation séquentielle de la limite348
  - 6.2.6 Théorème de la limite monotone353
  - 6.3 Relations de comparaisons356
  - 6.3.1 Fonctions dominées et fonctions négligeables par rapport à une autre au voisinage d'un point356
  - 6.3.2 Comparaison des fonctions usuelles363
  - 6.3.3 Fonctions équivalentes en un point364
  - 6.3.4 Equivalents usuels368
  - 6.4 Continuité globale372
  - 6.4.1 Définition et premières propriétés372
  - 6.4.2 Composée de deux fonctions continues374
  - 6.4.3 Restriction et caractère « local » de la continuité375
  - 6.4.4 Prolongement par continuité376
  - 6.4.5 Théorème des valeurs intermédiaires378
  - 6.4.6 Image d'un segment par une fonction continue381
  - 6.4.7 Continuité de la bijection réciproque383
  - 6.4.8 Continuité uniforme et théorème de Heine384
  - 6.5 Bilan sur les différences entre fonctions à valeurs réelles ou complexes389
  - 6.6 Exercices391
  - Chapitre 7 Polynômes et fractions rationnelles396
  - 7.1 Ensemble K[X]397
  - 7.1.1 Algèbres et morphisme d'algèbres397
  - 7.1.2 Définition d'un polynôme401
  - 7.1.3 Opérations usuelles sur les polynômes401
  - 7.1.4 Dérivation sur l'ensemble des polynômes409
  - 7.2 Degré d'un polynôme412
  - 7.2.1 Définition412
  - 7.2.2 Propriétés du degré413
  - 7.2.3 Conséquences fondamentales414
  - 7.3 Arithmétique dans K[X]415
  - 7.3.1 Divisibilité dans K[X]415
  - 7.3.2 Division euclidienne dans K[X]419
  - 7.3.3 Idéaux de K[X]423
  - 7.3.4 Polynômes premiers entre eux425
  - 7.3.5 Théorème de Bézout et théorème de Gauss427
  - 7.4 Racines d'un polynôme429
  - 7.4.1 Fonction polynomiale associée à un polynôme429
  - 7.4.2 Racines d'un polynôme430
  - 7.4.3 Formule de Taylor et multiplicité d'une racine432
  - 7.4.4 Méthodes pour montrer que deux polynômes sont égaux436
  - 7.4.5 Polynômes scindés et relations entre racines et coefficients437
  - 7.5 Polynômes irréductibles et factorisation439
  - 7.5.1 Eléments irréductibles dans C[X]440
  - 7.5.2 Éléments irréductibles dans R[X]441
  - 7.6 Ensemble K(X)442
  - 7.6.1 Corps des fractions rationnelles K(X)442
  - 7.6.2 Dérivation et degré443
  - 7.6.3 Zéros et pôles d'une fraction rationnelle445
  - 7.6.4 Décomposition en éléments simples446
  - 7.7 Exercices448
Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre