Oraux de l'École polytechnique et des Écoles normales supérieures : mathématiques. Volume 5

Auteur(s) :

Francinou, Serge Découvrir l'auteur

Résumé

Manuel d'exercices de mathématiques visant à préparer le concours d'entrée de Polytechnique, des écoles normales supérieures et de l'agrégation. Ce volume porte sur les intégrales généralisées, les suites et les séries de fonctions ainsi que les séries entières. ©Electre 2023

Autre(s) auteur(s)
- Nicolas, Serge (1954-....)
- Gianella, Hervé
Éditeur(s)
- Cassini
Date
- DL 2023
Autre(s) forme(s) de titre
- Oraux x-ens mathématiques. 5,
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 volume (416 p.) : ill. ; 23 cm
Collections
- Enseignement des mathématiques (Paris. 1998)
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-84225-245-8
Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
Quatrième de couverture
- Ce volume est le cinquième de la nouvelle édition des Oraux X-ENS de Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, conforme ou programme de 2014.
  Il est consacré aux intégrales généralisées, aux suites et séries de fonctions, aux séries entières et aux séries trigonométriques.
Tables des matières
- - Oraux de l'École polytechnique et des Écoles normales supérieures
  - Mathématiques
  - Volume 5
  - Serge Francinou
  - Hervé Gianella
  - Serge Nicolas
  - Cassini
  - Introduction5
  - Plan de la collection9
  - 1. Intégrales généralisées 11
  - 1.1. Question d'intégrabilité (1)12
  - 1.2. Question d'intégrabilité (2)13
  - 1.3. Question de convergence (1)14
  - 1.4. Question de convergence (2)15
  - 1.5. Intégrale divergente (116
  - 1.6. Intégrale divergente (2)17
  - 1.7. Fonction intégrable monotone18
  - 1.8. Limite en +∞ d'une fonction intégrable (1)19
  - 1.9. Limite en +∞ d'une fonction intégrable (2)20
  - 1.10. Limite en +∞ d'une fonction intégrable (3)22
  - 1.11. Limite en +∞ d'une fonction intégrable (4)22
  - 1.12. Fonction intégrable log-concave23
  - 1.13. Croissance d'une fonction définie par une intégrale24
  - 1.14. Fonction maximale de Littlewood26
  - 1.15. Médiane28
  - 1.16. Entropie maximale30
  - 1.17. Composition par une fonction convexe33
  - 1.18. Sur l'intégrabilité d'un produit35
  - 1.19. Intégrales des puissances d'une fonction36
  - 1.20. Calcul d'intégrales (1)38
  - 1.21. Calcul d'intégrale (2)39
  - 1.22. Calcul d'intégrale (3)40
  - 1.23. Calcul d'intégrale (4)41
  - 1.24. Formule des résidus pour les fractions rationnelles43
  - 1.25. Majoration d'une intégrale45
  - 1.26. Une égalité pour des fonctions de carré intégrable46
  - 1.27. Majoration d'une intégrale47
  - 1.28. Inégalité de Hardy48
  - 1.29. Inégalité de Hölder, inégalité de Minkowski50
  - 1.30. Fonctions g telles que f g soit de carré intégrable51
  - 1.31. Inégalité de Kolmogorov53
  - 1.32. Inégalité de Weyl54
  - 1.33. Une inégalité intégrale55
  - 1.34. Majoration du reste58
  - 1.35. Formule de Stirling59
  - 1.36. Sur la convergence dans L¹62
  - 1.37. Interversion série-intégrale63
  - 1.38. Calcul de l'intégrale de Dirichlet (1)64
  - 1.39. Calcul de l'intégrale de Dirichlet (2)67
  - 1.40. Intégrale de Gauss69
  - 1.41. Calcul d'une intégrale à paramètre (1)70
  - 1.42. Calcul d'une intégrale à paramètre (2)72
  - 1.43. Calcul d'une intégrale à paramètre (3)75
  - 1.44. Intégrale de Fresnel76
  - 1.45. Formule de Gauss et formule de duplication78
  - 1.46. Convexité logarithmique de Γ80
  - 1.47. Fonction B d'Euler82
  - 1.48. Calcul de Γ' (1)85
  - 1.49. Intégrale à paramètre (1)88
  - 1.50. Intégrale à paramètre (2)90
  - 1.51. Intégrale à paramètre (3)91
  - 1.52. Étude d'une transformée de Laplace93
  - 1.53. Zéros d'une transformée de Laplace96
  - 1.54. Norme triple du carré de la transformée de Laplace97
  - 1.55. Transformée de Stieltjes100
  - 1.56. Inversion de Fourier102
  - 1.57. Injectivité de la transformée de Fourier105
  - 1.58. Convolution dans l'espace des fonctions à support compact108
  - 1.59. Équivalent d'une intégrale partielle111
  - 1.60. Équivalent d'une intégrale partielle et d'un reste112
  - 1.61. Développement asymptotique d'un reste113
  - 1.62. Étude d'une intégrale indéfinie115
  - 1.63. Lemme de Riemann-Lebesgue généralisé116
  - 1.64. Calculs de limites117
  - 1.65. Étude asymptotique d'une transformée de Laplace (1)118
  - 1.66. Étude asymptotique d'une transformée de Laplace (2)120
  - 1.67. Étude asymptotique d'une transformée de Laplace (3)122
  - 1.68. Équivalent d'une intégrale à paramètre (1)124
  - 1.69. Équivalent d'une intégrale à paramètre (2)126
  - 1.70. Méthode de Laplace (1)128
  - 1.71. Méthode de Laplace (2)129
  - 1.72. Méthode de Laplace (3)131
  - 1.73. Méthode de Laplace (4)133
  - 2. Suites et séries de fonctions 137
  - 2.1. Majoration sur une demi-droite138
  - 2.2. Une décomposition en série de la valeur absolue140
  - 2.3. Fonctions continues presque additives141
  - 2.4. Contrôle uniforme de séries alternées143
  - 2.5. Sommation au sens de Riemann144
  - 2.6. Convergence uniforme des séries de Dirichlet147
  - 2.7. Étude de la convergence d'une série de fonctions149
  - 2.8. Comparaison série-intégrale150
  - 2.9. Suite ne convergeant uniformément sur aucun ouvert153
  - 2.10. Fonction discontinue en tout rationnel, continue en tout irrationnel154
  - 2.11. Continuité et convergence de fonctions155
  - 2.12. Limite uniforme de fonctions lipschitziennes156
  - 2.13. Série normalement convergente de somme non dérivable158
  - 2.14. Propriétés de la fonction ζ159
  - 2.15. Étude d'une série de fonctions161
  - 2.16. Série de primitives successives163
  - 2.17. Non existence d'un plongement isométrique164
  - 2.18. Régularité des fonctions de Weierstrass165
  - 2.19. Courbe de Bolzano167
  - 2.20. L'escalier du diable171
  - 2.21. Interversion série-intégrale173
  - 2.22. Sur le théorème d'intégration d'une série de fonctions175
  - 2.23. Approximation polynomiale par convolution177
  - 2.24. Autour du théorème de Weierstrass (1)179
  - 2.25. Autour du théorème de Weierstrass (2)180
  - 2.26. Autour du théorème de Weierstrass (3)181
  - 2.27. Un théorème de Walsh183
  - 2.28. Théorème de Chudnovsky184
  - 2.29. Adhérence d'un sous-espace186
  - 2.30. Itération d'un opérateur intégral187
  - 2.31. Théorème de Korovkin (1953)188
  - 2.32. Itération de l'opérateur de Bernstein190
  - 2.33. Non-extension du théorème de Weiertrass à la variable complexe192
  - 2.34. Approximation de Laguerre192
  - 2.35. Convergence d'une suite de polynômes vers l'exponentielle194
  - 2.36. Développement eulérien de la cotangente196
  - 2.37. Caractérisation d'Artin de la fonction Γ (1931)199
  - 2.38. Produits infinis201
  - 2.39. Identité de Jacobi203
  - 2.40. Développement eulérien du sinus sur C207
  - 2.41. Théorèmes de Dini210
  - 2.42. Un théorème de point fixe212
  - 2.43. Étude d'une suite récurrente214
  - 2.44. Équation fonctionnelle216
  - 2.45. Critère de convergence uniforme218
  - 2.46. Suite de fonctions lipschitziennes sur un compact219
  - 2.47. Convergence uniforme de suites de fonctions convexes220
  - 2.48. Condition suffisante de convergence uniforme221
  - 2.49. Théorème d'Ascoli223
  - 2.50. Un cas particulier du théorème d'Ascoli226
  - 2.51. Théorème de sélection de Helly227
  - 2.52. Suite de fonctions d'un sous-espace de dimension finie227
  - 2.53. Condition suffisante de convergence uniforme229
  - 2.54. Translatés et convolées d'une fonction230
  - 2.55. Base de type S233
  - 3. Séries entières 235
  - 3.1. Calcul de rayon de convergence (1)236
  - 3.2. Calcul de rayon de convergence (2)236
  - 3.3. Calcul de rayon de convergence (3)237
  - 3.4. Relations entre rayons de convergence (1)237
  - 3.5. Relations entre rayons de convergence (2)238
  - 3.6. Relations entre rayons de convergence (3)239
  - 3.7. Rayon de convergence infini240
  - 3.8. Étude d'une série entière sur le cercle de convergence241
  - 3.9. Divergence en tout point du cercle244
  - 3.10. Deux théorèmes d'Abel247
  - 3.11. Calculs de sommes de séries alternées249
  - 3.12. Séries génératrices de deux suites récurrentes251
  - 3.13. Calcul de la somme d'une série entière253
  - 3.14. Somme de deux séries de fonctions254
  - 3.15. Somme d'une série entière extraite256
  - 3.16. Zéros d'une série entière257
  - 3.17. Zéros d'un ensemble de séries entières258
  - 3.18. Condition suffisante d'injectivité d'une série entière258
  - 3.19. Théorème de Bieberbach dans le cas réel260
  - 3.20. Développement en série entière (1)261
  - 3.21. Développement en série entière (2)262
  - 3.22. Développement en série entière (3)264
  - 3.23. Développement en série d'une transformée de Laplace bilatérale266
  - 3.24. Signe des dérivées successives d'une fonction267
  - 3.25. Réduction des coefficients modulo m269
  - 3.26. Développement en série entière des fractions rationnelles271
  - 3.27. Signe des coefficients d'un développement en série entière274
  - 3.28. Déterminants de Hankel276
  - 3.29. Développement en série entière de In det(Id_E+tu)278
  - 3.30. Composition de deux séries entières279
  - 3.31. Développement en série entière d'une série de fonctions281
  - 3.32. Développement en série entière de l'inverse284
  - 3.33. Fonction à valeurs dans SL2(C) développable à série entière287
  - 3.34. Caractérisation des fonctions DSE en 0289
  - 3.35. Étude au bord de l'intervalle de convergence292
  - 3.36. Recherche d'un équivalent293
  - 3.37. Étude asymptotique au bord du disque de convergence (1)295
  - 3.38. Étude asymptotique au bord du disque de convergence (2)295
  - 3.39. Un théorème de Gauss298
  - 3.40. Équivalent d'une série lacunaire300
  - 3.41. Étude asymptotique en+∞ (1)301
  - 3.42. Étude asymptotique en +∞ (2)302
  - 3.43. Théorèmes taubériens303
  - 3.44. Théorème taubérien de Hardy-Littlewood (1914)309
  - 3.45. Série de Laurent à valeurs entières311
  - 3.46. Caractérisation des fonctions réelles analytiques313
  - 3.47. Étude d'analycité315
  - 3.48. Un théorème de Bernstein318
  - 3.49. Principe des zéros isolés pour les fonctions analytiques réelles320
  - 3.50. Utilisation de la formule de Cauchy321
  - 3.51. Nullité sur un arc du cercle de convergence322
  - 3.52. Série entière à coefficients entiers, bornée323
  - 3.53. Fonctions entières de partie réelle bornée324
  - 3.54. Domination par une exponentielle326
  - 3.55. Principe du maximum (1)328
  - 3.56. Principe du maximum (2)329
  - 3.57. Principe du maximum (3)332
  - 3.58. Extrema d'une fonction entière335
  - 3.59. Convergence d'une suite de fonctions développables en séries entières336
  - 3.60. Limite de la suite (f⁽ⁿ⁾) où f est analytique339
  - 3.61. Limite simple de polynômes à coefficients positifs339
  - 3.62. Critère de convergence simple d'une suite de séries entières341
  - 3.63. Espace des fonctions continues sur D, développables en série entière sur D343
  - 3.64. Fonction entière telle que f(2ⁿ) = (-1)ⁿ345
  - 3.65. Un théorème de Fejér349
  - 4. Polynômes et séries trigonométriques 353
  - 4.1. Calcul d'intégrales353
  - 4.2. Une équation fonctionnelle354
  - 4.3. Orthogonalité aux polynômes trigonométriques de degré <n355
  - 4.4. Une inégalité356
  - 4.5. Inégalité de Hilbert (1)357
  - 4.6. Inégalité de Hilbert (2)359
  - 4.7. Majoration de la norme de la dérivation361
  - 4.8. Inégalité de Bernstein (1912)363
  - 4.9. Théorème de Weierstrass trigonométrique365
  - 4.10. Théorème de Fejér (1904)368
  - 4.11. Théorème de Jackson (1911)371
  - 4.12. Un théorème de Bernstein (1912)374
  - 4.13. Théorème de Korovkin trigonométrique376
  - 4.14. Suite (nα - [nα]), avec α irrationnel (1)379
  - 4.15. Suite (nα - [nα], avec α irrationnel (2)381
  - 4.16. Suites équiréparties : critère de Weyl384
  - 4.17. Distribution du premier chiffre des puissances de 2387
  - 4.18. Théorème de convergence simple de Dirichlet388
  - 4.19. Algèbre des fonctions presque périodiques390
  - 4.20. Unicité des coefficients dans le cas de la convergence normale393
  - 4.21. Régularité d'une série trigonométrique394
  - 4.22. Étude d'une série trigonométrique395
  - 4.23. Un développement en série trigonométrique397
  - 4.24. Convergence d'une série trigonométrique398
  - 4.25. Phénomène de Gibbs401
  - 4.26. Noyau de Poisson405
Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre