Introduction à la topologie générale

Auteur(s) :

Etémé, Fidèle Ayissi (1940-....) Découvrir l'auteur

Résumé

L'ouvrage met en place les éléments essentiels à toute utilisation théorique ou pratique des notions de bases de topologie. L'auteur présente les cours de 1977 à 2005 qu'il a enseignés en 3e et en 5e année à l'Ecole normale supérieure de Yaoundé.

Éditeur(s)
- Hermann
Date
- impr. 2009
Notes
- Bibliogr. p. 195
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (IX-194 p.) : ill., couv. ill. en coul. ; 22 cm
Collections
- Cours d'algèbre et topologie générale à l'usage des licences de mathématiques et d'informatique
Sujet(s)
- Topologie ensembliste
ISBN
- 978-2-7056-6892-1
Indice
- 513.8 Topologie générale, topologie algébrique
Quatrième de couverture
- Cours d'Algèbre et Topologie Générale
  II. Introduction à la Topologie Générale
  Cet livre est le deuxième volume de l'ouvrage intitulé Cours d'algèbre et topologie générale à l'usage des étudiants de mathématiques, physique et informatique, et plus généralement des études scientifiques.
  Il fournit les outils conceptuels nécessaires à toute utilisation théorique ou pratique des notions de base de la topologie.
  L'exposé s'adresse à quiconque se destine aux utilisations des notions de proximité, déformations, et plus généralement à tous ceux qui dans leur pratique, fut-elle théorique, sont conduits à manipuler ces concepts dans le cadre de la modélisation, qu'il s'agisse de mathématiciens, de physiciens, d'informaticiens, de biologistes... C'est pour ainsi dire, un cours standard de topologie de niveau licence, Master 1.
  Ce livre est construit à partir des cours que l'auteur a enseignés de 1977 à 2005 en troisième et cinquième années de l'École Normale Supérieure de Yaoundé, Université de Yaoundé I, Cameroun.
  Le souhait de l'auteur est de voir son cours exposé en vue de permettre l'acquisition des outils de calcul et modélisation pour le praticien, de même qu'un solide bagage théorique pour le futur professeur ou utilisateur des mathématiques.
Tables des matières
- - Introduction à la Topologie Générale
  - Cours d'Algèbre et Topologie Générale à l'usage des licences de Mathématiques et d'Informatique
  - Fidèle Ayissi Etémé
  - Hermann
  - Dédicacesi
  - Remerciementsiii
  - Introduction1
  - 1 Espaces métriques (généralités)3
  - 1.1 Notions métriques3
  - 1.1.1 Distance - Espace métrique3
  - 1.1.2 Propriétés élémentaires d'une distance3
  - 1.1.3 Espace ultramétrique4
  - 1.1.4 Exemple de distances4
  - 1.1.5 Norme - Espace normé4
  - 1.1.6 Isométrie6
  - 1.1.7 Transport d'une distance6
  - 1.1.8 Boules et sphères8
  - 1.1.9 Distance d'un point à un ensemble9
  - 1.1.10 Distance de deux ensembles10
  - 1.1.11 Diamètre d'un ensemble10
  - 1.1.12 Ensembles bornés11
  - 1.1.13 Produit fini d'espaces métriques12
  - 1.1.14 Distances équivalentes13
  - 1.1.15 Normes équivalentes13
  - 1.2 Notions topologiques14
  - 1.2.1 Voisinages d'un point14
  - 1.2.2 Ouverts et fermés16
  - 1.2.3 Adhérence18
  - 1.2.4 Partie partout dense20
  - 1.2.5 Intérieur-Extérieur-Frontière20
  - 1.2.6 Sous-espaces métriques21
  - 1.3 Continuité et limites (1^ère partie)23
  - 1.3.1 Continuité en un point (notion topologique)23
  - 1.3.2 Continuité sur une partie (notion topologique)24
  - 1.3.3 Continuité uniforme (notion métrique)25
  - 1.3.4 Etude des suites26
  - 1.3.5 Suite de Cauchy-Espaces complets (notions métriques)27
  - 1.4 Théorème du point fixe28
  - 1.4.1 Majoration de l'erreur30
  - 1.4.2 Point fixe dépendant d'un paramètre33
  - 1.5 Continuité et limites (2^ème partie)34
  - 1.5.1 Retour sur la continuité34
  - 1.5.2 Séparation par des ouverts35
  - 1.5.3 Homéomorphismes35
  - 1.5.4 Cas des espaces produits37
  - 1.5.5 Limite d'une fonction en un point39
  - 1.5.6 Prolongement par continuité40
  - 1.5.7 Suites extraites-valeurs limites42
  - 1.5.8 Propriété des espaces complets44
  - 1.5.9 Conservation de la complétude45
  - 2 Convexité, connexité, compacité49
  - 2.1 Convexité49
  - 2.1.1 Cas d'un espace vectoriel normé53
  - 2.2 Connexité (étude topologique)54
  - 2.2.1 Connexité et continuité56
  - 2.2.2 Produit d'espaces connexes58
  - 2.2.3 Espace localement connexe58
  - 2.2.4 Composantes connexes59
  - 2.3 Connexité (étude métrique)59
  - 2.3.1 Connexité dans (...)59
  - 2.3.2 Espaces bien enchainés61
  - 2.4 Connexité par arcs62
  - 2.4.1 Propriétés de la connexité par arcs64
  - 2.4.2 Cas des espaces vectoriels normés (sur (...)65
  - 2.5 Compacité (étude topologique)67
  - 2.5.1 Image d'un compact par une fonction continue69
  - 2.5.2 Produit d'espaces compacts70
  - 2.5.3 Partie relativement compacte70
  - 2.5.4 Espace localement compact71
  - 2.6 Compacité (étude métrique)72
  - 2.6.1 Espaces précompacts73
  - 2.6.2 Compacité et continuité uniforme76
  - 2.7 Compacité (espaces (...)ⁿ)77
  - 2.7.1 Partie compacte de (...)77
  - 2.7.2 Parties compactes de (...)ⁿ78
  - 2.7.3 Compacité et convexité79
  - 2.7.4 Compacité et connexité81
  - 3 Topologie générale83
  - 3.1 Notions générales83
  - 3.1.1 Espace topologique83
  - 3.1.2 Exemple de topologies84
  - 3.1.3 Systèmes fondamentaux de voisinages85
  - 3.1.4 Ouverts et fermés85
  - 3.1.5 Définition équivalente d'une topologie86
  - 3.1.6 Base d'une topologie87
  - 3.1.7 Adhérence-Intérieur-Extérieur-Frontière87
  - 3.1.8 Comparaison de topologies89
  - 3.1.9 Topologique induite90
  - 3.1.10 Topologie produit91
  - 3.2 Filtres et limites93
  - 3.2.1 Filtre sur un ensemble93
  - 3.3 Ultrafiltres95
  - 3.3.1 Filtre induit95
  - 3.3.2 Filtre image96
  - 3.3.3 Filtre projection96
  - 3.3.4 Filtre produit96
  - 3.3.5 Limite d'un filtre97
  - 3.3.6 Limite dans un espace produit97
  - 3.3.7 Limite d'une fonction suivant un filtre98
  - 3.3.8 Retour sur la continuité98
  - 3.3.9 Retour sur les suites100
  - 3.3.10 Retour sur la complétude101
  - 3.3.11 Retour sur la limite d'une fonction en un point103
  - 3.3.12 Prolongement par continuité uniforme104
  - 3.4 Compléments sur la connexité et la compacité105
  - 3.4.1 Retour sur la connexité105
  - 3.4.2 Retour sur la compacité107
  - 3.4.3 Retour sur la précompacité109
  - 4 Espaces vectoriels Normés111
  - 4.1 généralités111
  - 4.1.1 Propriétés élémentaires111
  - 4.1.2 Continuité des applications multilinéaires114
  - 4.1.3 Continuité des applications linéaires115
  - 4.1.4 Isomorphismes d'espaces normés116
  - 4.1.5 Equivalence de normes117
  - 4.2 Etude des sous-espaces117
  - 4.2.1 Somme directe topologique118
  - 4.2.2 Formes linéaires et hyperplans119
  - 4.2.3 Espace de dimension finie120
  - 4.3 Espace d'applications linéaires continues123
  - 4.3.1 Généralisation aux applications multilinéaires125
  - 5 Espaces fonctionnels129
  - 5.1 Différentes topologies de convergence129
  - 5.1.1 Rappel sur la convergence simple129
  - 5.1.2 Rappel sur la convergence uniforme130
  - 5.1.3 Topologie de la convergence simple130
  - 5.1.4 Topologie de la convergence uniforme131
  - 5.1.5 Cas des applications bornées132
  - 5.1.6 Cas des applications continues133
  - 5.1.7 Cas des applications continues bornées134
  - 5.1.8 Note sur la topologie de la convergence compacte134
  - 5.1.9 Exemple d'application du théorème du point fixe135
  - 5.2 Ensembles équicontinus135
  - 5.3 Approximations de Stone-Weierstrass140
  - 5.3.1 Etude des sous-algèbres de C_u (E, (...)141
  - 5.3.2 Application : Approximation par des polynômes144
  - 5.3.3 Cas des fonctions à valeurs complexes145
  - 5.3.4 Application : Approximation par des polynômes trigonométriques146
  - 5.4 Problèmes de meilleure approximation148
  - 5.4.1 Position du problème148
  - 5.4.2 Théorème d'existence148
  - 5.4.3 Première caractérisation149
  - 5.4.4 Condition de Haar151
  - 5.4.5 Deuxième caractérisation152
  - 6 Exercices159
  - Bibliographie195
  - Quatrième de couverture197
Origine de la notice:
- BNF