Mécanique des milieux continus : cours et exercices corrigés

Auteur(s) :

Dormieux, Luc Découvrir l'auteur

Résumé

Des synthèses et des exercices corrigés sur la mécanique des milieux continus solides et fluides. ©Electre 2017

Autre(s) auteur(s)
- Kondo, Djimedo
- Lemarchand, Éric
Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- 2017
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (442 p.) : illustrations en noir et blanc ; 24 x 19 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-340-01978-2
Indice
- 531 Mécanique des solides, rhéologie
Quatrième de couverture
- Mécanique des milieux continus
  Cours et exercices corrigés
  Cet ouvrage propose une présentation de la mécanique des milieux continus destinée aux élèves des écoles d'ingénieurs et des formations universitaires (L3 et M1). Chaque chapitre comporte un exposé synthétique des concepts qui est ensuite illustré et complété sous forme d'exercices corrigés.
  L'initiation au calcul tensoriel qui occupe les premières pages de cet ouvrage est rapidement mise à profit dans le cadre de la description mathématique de la transformation géométrique et de la représentation des efforts intérieurs. On traite les deux points de vue lagrangien et eulérien. Les concepts de contrainte et de déformation sont d'abord mis en oeuvre à l'occasion d'une brève introduction au calcul à la rupture. La théorie de l'élasticité est essentiellement présentée et illustrée dans le cas de la linéarité, mais une initiation à l'élasticité en transformation finie est proposée en exercices. On détaille d'abord les méthodes de résolution directe basées sur des potentiels en déplacement ou en contrainte. Ensuite, une place importante est réservée aux méthodes variationnelles. En particulier, la méthode des éléments finis est illustrée dans le cadre de plusieurs exercices. L'ouvrage propose également une introduction à la mécanique des fluides. L'attention est dirigée principalement vers l'étude des écoulements potentiels. Celle-ci est complétée par une prise de contact avec la notion de couche limite en raison de l'interconnexion de ces deux modélisations. L'étude des milieux curvilignes élastiques clôture cet ouvrage.
Tables des matières
- - Mécanique des milieux continus
  - Cours et exercices corrigés
  - Luc Dormieux
  - Éric Lemarchand
  - Djimédo Kondo
  - ellipses
  - 1 Eléments de calcul tensoriel13
  - 1.1 Définitions générales13
  - 1.1.1 Tenseurs d'ordre 113
  - 1.1.2 Produit tensoriel14
  - 1.1.3 Contraction d'un tenseur selon un couple d'indices14
  - 1.2 Tenseurs d'ordre 214
  - 1.2.1 Matrice d'un tenseur d'ordre 214
  - 1.2.2 Endomorphisme associé à un tenseur d'ordre 215
  - 1.2.3 Contractions d'un tenseur d'ordre 2 et d'un vecteur16
  - 1.2.4 Contractions de deux tenseurs d'ordre 217
  - 1.2.5 Double contraction de deux tenseurs d'ordre 217
  - 1.2.6 Dérivée d'une fonction par rapport à un tenseur18
  - 1.3 Contractions d'un tenseur d'ordre 4 et d'un tenseur d'ordre 218
  - 1.4 Calcul différentiel sur les tenseurs19
  - 1.4.1 Gradient d'un champ de tenseurs19
  - 1.4.2 Divergence d'un champ de tenseurs20
  - 1.4.3 Théorème de la divergence21
  - 1.5 Formulaire de calcul différentiel sur les tenseurs21
  - 1.5.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées21
  - 1.5.2 Coordonnées cylindriques23
  - 1.5.3 Coordonnées sphériques24
  - 1.6 Exercices25
  - 1.6.1 Caractère intrinsèque de la contraction d'un tenseur sur un couple d'indices25
  - 1.6.2 Etude algébrique de la double contraction26
  - 1.6.3 Le produit tensoriel (...)27
  - 1.6.4 L'algèbre des tenseurs isotropes d'ordre 430
  - 1.6.5 Identités tensorielles remarquables32
  - 1.6.6 Etude du tenseur d'inertie33
  - 1.6.7 Théorème de Gauss (électrostatique, gravitationnel)35
  - 1.6.8 Calcul différentiel sur les tenseurs37
  - 1.6.9 Tenseur de Green du matériau isotrope40
  - 1.6.10 Rotationnel d'un champ de vecteurs42
  - 2 Etude de la transformation géométrique d'un milieu continu45
  - 2.1 Transformation géométrique45
  - 2.2 Tenseurs de déformation47
  - 2.2.1 Transport des vecteurs matériels47
  - 2.2.2 Déformation de Green-Lagrange48
  - 2.2.3 Composantes du tenseur de déformation de Green-Lagrange49
  - 2.2.4 Transformation infinitésimale et tenseur de déformation linéarisé51
  - 2.2.5 Choix de la configuration de référence52
  - 2.2.6 Condition de compatibilité géométrique53
  - 2.2.7 Forme générale des solutions en déplacement55
  - 2.3 Description du mouvement par les vitesses57
  - 2.3.1 Vitesse lagrangienne et vitesse eulérienne57
  - 2.3.2 Taux de déformation volumique57
  - 2.3.3 Tenseur taux de déformation58
  - 2.3.4 Dérivées particulaires d'un champ59
  - 2.3.5 Dérivées particulaires d'une intégrale de volume61
  - 2.4 Exercices63
  - 2.4.1 Etude d'une rotation infinitésimale63
  - 2.4.2 Direction invariante dans une transformation homogène65
  - 2.4.3 Expression d'une translation en coordonnées cylindriques67
  - 2.4.4 Etude d'une transformation géométrique67
  - 2.4.5 Dérivée temporelle de l'énergie cinétique69
  - 2.4.6 Extensions simples géométriquement compatibles70
  - 2.4.7 Compatibilité géométrique d'un champ de déformation constant par blocs71
  - 2.4.8 Compatibilité géométrique en déformations planes 76
  - 2.4.9 Compatibilité géométrique d'un champ anisotrope77
  - 2.4.10 Conditions aux limites uniformes de Hashin : formulation en déformation79
  - 2.4.11 Déformations planes polynomiales82
  - 2.4.12 Compatibilité géométrique : A propos des solutions multivaluées83
  - 2.4.13 Champ de déplacement discontinu C¹ par morceaux : approche par la théorie des distributions85
  - 2.4.14 Description eulérienne des mouvements de corps rigides88
  - 2.4.15 Taux de déformation lagrangien et eulérien89
  - 2.4.16 Formulations eulérienne et lagrangienne de la liaison d'incompressibilité89
  - 2.4.17 Transport convectif d'un élément d'aire90
  - 3 Contraintes dans un milieu continu tridimensionnel93
  - 3.1 Modélisation des efforts extérieurs94
  - 3.2 Lemme du tètraèdre95
  - 3.3 Tenseur des contraintes de Cauchy97
  - 3.3.1 Définition et interprétation physique97
  - 3.3.2 Equation de la dynamique - Equation d'équilibre98
  - 3.3.3 Symétrie du tenseur des contraintes99
  - 3.3.4 Cercles de Mohr100
  - 3.3.5 Discontinuités du champ de contraintes102
  - 3.4 Dualisation de l'équation de la dynamique103
  - 3.4.1. Théorème des puissances virtuelles103
  - 3.4.2. Théorème des travaux virtuels104
  - 3.4.3 Puissance et travail des efforts extérieurs dans le mouvement réel en condition quasistatique104
  - 3.5 Exercices105
  - 3.5.1 Cercles de Mohr105
  - 3.5.2 Représentation lagrangienne des contraintes : tenseur de Piola-Kirchhoff108
  - 3.5.3 Représentation semi-lagrangienne des contraintes : tenseur de Boussinesq110
  - 3.5.4 Champ de contrainte constant par blocs113
  - 3.5.5 Conditions aux limites uniformes de Hashin ; formulation en contraintes115
  - 3.5.6 Discontinuité de contrainte118
  - 3.5.7 Régularité des contraintes : approche pour la théorie des distributions120
  - 3.5.8 Théorème des travaux virtuels pour un champ de déplacement discontinu C¹ par morceaux122
  - 3.5.9 Forces à distance dépendant du sous-système123
  - 4 Introduction au calcul à la rupture127
  - 4.1 Problématique du calcul à la rupture127
  - 4.2 Approche directe dans le cas tridimensionnel129
  - 4.3 Formulation de conditions nécessaires de stabilité131
  - 4.3.1 Matériau de von Mises131
  - 4.3.2 Généralisation à d'autres matériaux133
  - 4.3.3 Généralisation à des champs de déplacements discontinus C¹ par morceaux134
  - 4.4 Exercices135
  - 4.4.1 Critère de Tresca135
  - 4.4.2 Mise en rotation d'un arbre cylindrique rigide encastré136
  - 4.4.3 Stabilité d'un talus vertical - 1139
  - 4.4.4 Fonction d'appui du matériau de von Mises141
  - 4.4.5 Fonction d'appui du matériau de Tresca142
  - 4.4.6 Stabilité d'un talus vertical - 2144
  - 4.4.7 Stabilité d'un talus vertical - 3147
  - 4.4.8 Fonction d'appui du critère de Green150
  - 4.4.9 Effondrement d'un corps sphérique sous poids propre151
  - 4.4.10 Poutre en flexion159
  - 5 Comportement élastique du solide tridimensionnel163
  - 5.1 Comportement élastique en condition isotherme164
  - 5.2 Comportement thermoélastique166
  - 5.3 Inversion de la loi de comportement167
  - 5.4 Comportement thermoélastique linéaire169
  - 5.4.1 Développement limité quadratique de l'énergie libre169
  - 5.4.2 Inversion de la loi de comportement dans le cas linéaire171
  - 5.5 Comportement thermoélastique linéaire isotrope172
  - 5.5.1 Isotropie dans l'état initial naturel172
  - 5.5.2 Etat initial précontraint176
  - 5.6 Exercices177
  - 5.6.1 Prise en compte d'effets inertiels dans la formulation de la loi de comportement élastique177
  - 5.6.2 Calcul tensoriel et élasticité linéaire isotrope178
  - 5.6.3 Tenseurs d'élasticité isotropes180
  - 5.6.4 Matériau élastique incompressible185
  - 5.6.5 Quelques résultats de convexité186
  - 5.6.6 Elasticité isotherme et élasticité adiabatique188
  - 5.6.7 Élasticité et linéarité189
  - 5.6.8 Loi de comportement élastique en transformation finie191
  - 6 Problèmes d'élasticité tridimensionnelle193
  - 6.1 Définition du chargement193
  - 6.2 Définition de la solution d'un problème d'élasticité195
  - 6.3 Méthodes de résolution directes196
  - 6.3.1 Méthode de résolution par les contraintes197
  - 6.3.2 Méthode de résolution par les déplacements198
  - 6.4 Expérience de traction simple200
  - 6.4.1 Détermination de la solution200
  - 6.4.2 Interprétation de E et v202
  - 6.5 Exercices202
  - 6.5.1 Cavité circulaire dans un milieu infini sous cisaillement202
  - 6.5.2 Elastodynamique : vitesses de propagation dans un milieu élastique infini205
  - 6.5.3 Un problème d'élasticité linéaire incompressible207
  - 6.5.4 Contraintes gravitationnelles à l'échelle d'un astre : méthode directe par les contraintes208
  - 6.5.5 Contraintes gravitationnelles à l'échelle d'un astre : méthode directe par les déplacements211
  - 6.5.6 Milieu continu élastique infini soumis à une force ponctuelle214
  - 6.5.7 Variation spatiale de la fonction de Green215
  - 6.5.8 Déformation d'origine électrostatique217
  - 6.5.9 Contraintes au voisinage de la pointe d'une fissure223
  - 6.5.10 Traction uniaxiale en transformation finie229
  - 6.5.11 Contraintes thermiques231
  - 6.5.12 Potentiels de Neuber-Papkovich234
  - 7 Approches variationnelles en élasticité linéaire239
  - 7.1 Principe de minimum de l'énergie potentielle239
  - 7.2 Intérêt pratique du principe de minimum de l'énergie potentielle242
  - 7.3 Principe de minimum de l'énergie complémentaire243
  - 7.4 Conjonction des deux principes245
  - 7.4.1 Le cas général245
  - 7.4.2 Évolution isotherme à partir de l'état initial naturel246
  - 7.5 Exercices247
  - 7.5.1 Calcul variationnel de l'énergie potentielle d'un milieu fissuré247
  - 7.5.2 Approche variationnelle de la compressibilité d'un solide comportant une cavité252
  - 7.5.3 Translation d'un arbre cylindrique dans un milieu élastique258
  - 7.5.4 La méthode des éléments finis dans un contexte unidimensionnel262
  - 7.5.5 Un problème d'astrophysique : La limite de Roche271
  - 7.5.6 Un théorème de l'énergie mécanique275
  - 7.5.7 Aplatissement de la Terre - le géoïde de référence277
  - 7.5.8 Bornes de Voigt et Reuss281
  - 8 Problèmes d'élasticité en déformations planes285
  - 8.1 Notion de fonction d'Airy285
  - 8.2 Représentation de la fonction d'Airy par des potentiels complexes287
  - 8.2.1 Expression des contraintes288
  - 8.2.2 Expression des déplacements290
  - 8.3 Singularités de contraintes en fond de fissure291
  - 8.4 Annexe : Rappels sur les fonctions de la variable complexe296
  - 8.5 Exercices297
  - 8.5.1 Calcul de la fonction f(z) de (8.24) pour une pression uniforme297
  - 8.5.2 A propos de la question de l'unicité du potentiel (...)(z)297
  - 8.5.3 Cavité circulaire sous pression298
  - 8.5.4 Cavité circulaire avec traction uniaxiale à l'infini300
  - 8.5.5 Etude d'un cisaillement : approche par fonction d'Airy et approche variationnelle en contraintes301
  - 8.5.6 Propagation d'une fissure dans une plaque306
  - 8.5.7 Propagation d'une fissure dans une pièce en extension312
  - 9 Introduction à la mécanique des fluides317
  - 9.1 Généralités317
  - 9.1.1 Modèle de fluide parfait317
  - 9.1.2 Modèle de fluide visqueux newtonien319
  - 9.1.3 Le nombre de Reynolds de l'écoulement320
  - 9.2 Ecoulement irrotationnel de fluide incompressible322
  - 9.2.1 Théorème de Bernoulli322
  - 9.2.2 Potentiel et fonction de courant323
  - 9.2.3 Potentiel complexe de l'écoulement324
  - 9.3 Exemples d'écoulements potentiels325
  - 9.3.1 Puits et source325
  - 9.3.2 Tourbillon ponctuel326
  - 9.3.3 Ecoulement entre deux plans327
  - 9.3.4 Ecoulement sans circulation autour d'un cylindre328
  - 9.3.5 Ecoulement avec circulation autour d'un cylindre329
  - 9.4 Formule de Blasius pour le calcul de la résultante des efforts sur un obstacle332
  - 9.4.1 Le cas général332
  - 9.4.2 Application à l'écoulement autour d'un cylindre circulaire333
  - 9.5 Utilisation des transformations conformes333
  - 9.5.1 Définition333
  - 9.5.2 La transformation de Joukovski334
  - 9.5.3 Ecoulement autour d'un cylindre de section quelconque335
  - 9.5.4 Point singulier d'un écoulement - Hypothèse de Kutta-Joukovski338
  - 9.6 Annexe : expression de l'accélération339
  - 9.7 Introduction à la théorie de la couche limite340
  - 9.7.1 Motivation340
  - 9.7.2 Equations de la couche limite : forme adimensionnelle341
  - 9.7.3 Equations de la couche limite en variables dimensionnées342
  - 9.7.4 Solution autosemblable de Blasius343
  - 9.8 Exercices346
  - 9.8.1 Fluide parfait barotrope346
  - 9.8.2 Trajectoires et lignes de courant347
  - 9.8.3 Etude d'une source jaillissant dans un bassin348
  - 9.8.4 Ecoulement dans un coin à angle droit350
  - 9.8.5 Ecoulement potentiel défini par une distribution continue de tourbillons ponctuels352
  - 9.8.6 Longueur caractéristique de la perturbation d'un écoulement par un obstacle355
  - 9.8.7 Moment des forces appliquées par un écoulement potentiel sur un obstacle - 1357
  - 9.8.8 Moment des forces appliquées par un écoulement potentiel sur un obstacle - 2358
  - 9.8.9 Etude d'un profil de Joukovski360
  - 9.8.10 Transformations conformes d'un cercle365
  - 9.8.11 Vitesse au bord de fuite d'un profil de Joukovski369
  - 10 Milieux curvilignes373
  - 10.1 Transformation géométrique373
  - 10.1.1 Transformation géométrique d'un arc373
  - 10.1.2 Description du mouvement d'un arc par les vitesses377
  - 10.1.3 Transformation géométrique d'une structure380
  - 10.2 Efforts extérieurs et intérieurs383
  - 10.2.1 Efforts extérieurs et intérieurs dans un arc383
  - 10.2.2 Dualisation des équations de la statique ; théorème des puissances virtuelles387
  - 10.2.3 Efforts extérieurs et intérieurs dans une structure388
  - 10.2.4 Hypothèse des petits déplacements et applications391
  - 10.2.5 Structure plane chargée dans son plan395
  - 10.3 Structures élastiques396
  - 10.3.1 Cadre de l'étude397
  - 10.3.2 Formulation du comportement élastique398
  - 10.3.3 Calcul des structures élastiques400
  - 10.4 Annexes410
  - 10.4.1 Rotation infinitésimale410
  - 10.4.2 Courbure d'un arc plan411
  - 10.5 Exercices411
  - 10.5.1 Statique des poutres411
  - 10.5.2 Compatibilité des déformations d'un système de barres articulées413
  - 10.5.3 Etude d'un système hyperstatique414
  - 10.5.4 Illustration du théorème de Castigliano416
  - 10.5.5 Poutre élastique périodique419
  - 10.5.6 Elasticité des poutres421
  - 10.5.7 Poutre inclinée soumise à une compression424
  - 10.5.8 Application du calcul à la rupture à une poutre en flexion426
  - 10.5.9 Eléments finis en flexion427
  - 10.5.10 Une tentative de modélisation simplifiée du « longbow »431
Origine de la notice:
- Electre