Mécanique des milieux continus
Volume 1 : Théorie
Samuel Forest
Michel Amestoy
Mines Paris
Avant-propos
7
I Theorie11
1 Introduction
13
1.1 Les différentes échelles de la matière, des matériaux et des structures13
1.1.1 Structures, microstructures, nanostructures13
1.1.2 Microstructures cristallines, granulaires, cellulaires14
1.2 Milieux continus ou presque16
1.2.1 Le rêve de Laplace et la phénoménologie16
1.2.2 Volume élémentaire pour la thermomécanique, représentation ponctuelle21
1.2.3 Fissures, discontinuités et singularités23
1.2.4 La vraie nouveauté : le tenseur des contraintes23
1.3 Le problème de fermeture et la variété des comportements24
1.3.1 Corps indéformables24
1.3.2 Lois de comportement24
1.4 Plan du cours25
1.4.1 Plan du cours oral25
1.4.2 Plan du cours écrit25
1.4.3 Liens avec les autres cours de l'Ecole des Mines de Paris25
2 Transformations du milieu continu
27
2.1 Enjeux physiques et faits expérimentaux27
2.2 Géométrie et cinématique du milieu continu29
2.2.1 Observateurs et référentiels29
2.2.2 Placement du corps matériel31
2.2.3 Descriptions matérielle et spatiale du mouvement32
2.2.4 Le gradient de la transformation33
2.2.5 Transports convectifs37
2.2.6 Décomposition polaire du gradient de la transformation39
2.2.7 Exemples de transformations homogènes40
2.3 Métriques et mesures de déformation44
2.3.1 Interprétation géométrique des tenseurs de Cauchy-Green44
2.3.2 Mesures de déformation46
2.3.3 Transformations infinitésimales51
2.3.4 Etude des déformations homogènes57
2.3.5 Conditions de compatibilité59
2.3.6 Changement de référentiel euclidien / de configuration de référence64
2.4 Vitesses de déformation66
2.4.1 Dérivées par rapport au temps : champs de vitesses et d'accélération66
2.4.2 Champ de gradient des vitesses67
2.4.3 Vitesses d'évolution des longueurs, angles et volumes70
2.4.4 Conditions de compatibilité pour le champ taux de déformation74
2.4.5 Changement de référentiel euclidien76
2.4.6 Exemples de champs de vitesses78
3 Equations de bilan
81
3.1 Conservation de la masse81
3.1.1 Masse d'un corps matériel et sa conservation81
3.2 Conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique82
3.2.1 Quantité de mouvement et moment cinétique d'un corps matériel82
3.2.2 Application de la loi fondamentale de la dynamique82
3.2.3 Partition des efforts appliqués à un corps matériel83
3.2.4 Les lois d'Euler du mouvement85
3.3 Analyse des contraintes : la méthode de Cauchy86
3.3.1 Insuffisance de la représentation pression des efforts intérieurs86
3.3.2 Le postulat et le théorème de Cauchy86
3.3.3 Les lois de Cauchy du mouvement90
3.3.4 Le théorème des puissances virtuelles93
3.4 Conservation de l'énergie96
3.4.1 Premier principe de la thermodynamique des milieux continus96
3.4.2 Formulation locale du premier principe97
3.5 Equations de bilan en présence de discontinuités99
3.5.1 Un théorème de transport99
3.5.2 Surface de discontinuité100
3.5.3 Bilan de masse101
3.5.4 Bilan de quantité de mouvement102
3.5.5 Bilan d'énergie104
4 Le tenseur des contraintes dans tous ses états
105
4.1 Les tenseurs de contraintes105
4.1.1 Représentation lagrangienne des équations d'équilibre105
4.1.2 Contraintes et déformations conjuguées106
4.1.3 Changement de base107
4.2 Valeurs et directions principales des contraintes108
4.2.1 Décomposition spectrale du tenseur des contraintes108
4.2.2 Contraintes normale et tangentielle, cisaillement109
4.2.3 Représentation de Mohr111
4.3 Etats de contraintes remarquables113
4.3.1 Etat de traction/compression simple : (σ, 0, 0)113
4.3.2 Etat de cisaillement simple : (τ, - τ, 0)115
4.3.3 Etat de contraintes bi-axial / contraintes planes : (σ1, σ2, 0)116
4.3.4 Etat de contrainte tri-axial : (σ1, σ2, σ3 )117
4.4 Critères en contrainte pour les matériaux isotropes117
4.4.1 Fonctions isotropes du tenseur des contraintes117
4.4.2 Pression, déviateur des contraintes119
4.4.3 Critère de contrainte normale maximale119
4.4.4 Critère de contrainte tangentielle maximale (Tresca)120
4.4.5 Critère de von Mises121
5 Ecoulement des fluides parfaits incompressibles
123
5.1 Equations d'Euler pour les fluides parfaits123
5.2 Théorèmes généraux pour les fluides parfaits124
5.2.1 Théorème d'Euler124
5.2.2 Théorèmes de Bernoulli125
5.3 Ecoulements plans irrotationnels : potentiel complexe126
5.4 Application à l'écoulement autour d'un cylindre127
5.4.1 Lignes de courant129
5.4.2 Lignes de courant et trajectoires dans un autre référentiel130
5.4.3 Paradoxe de D'Alembert134
5.5 Obstacle sphérique dans un écoulement de fluide parfait incompressible134
5.5.1 Champ des vitesses autour de la sphère135
5.5.2 Lignes de courant autour de la sphère136
5.5.3 Champ de pression dans le fluide et calcul de la trainée136
5.6 Tourbillons libres dans un écoulement ; Portance136
5.6.1 Ecoulement autour d'un cylindre avec circulation137
5.6.2 Ecoulement autour d'un cylindre avec tourbillons libres141
6 Formulation des lois de comportement
147
6.1 Nécessité des lois de comportement147
6.1.1 Décompte des inconnues et des équations147
6.1.2 Variété des comportements148
6.2 Mécanique statistique et lois de comportement macroscopiques150
6.2.1 Théorie cinétique des gaz151
6.3 Les principes de construction des lois de comportement mécanique153
6.3.1 Structure de l'espace physique153
6.3.2 Structure de l'espace matériel154
6.3.3 Déterminisme galiléen pour la loi de comportement viscoélastique156
6.3.4 Les jeux de variables de la loi de comportement161
6.3.5 Covariance de la loi de comportement163
6.3.6 Mise en évidence de la propriété d'indifférence matérielle165
6.4 Respect des symétries matérielles165
6.4.1 Une définition des fluides et des solides166
6.5 Loi de comportement thermomécanique169
6.5.1 Variables thermomécaniques169
6.5.2 Formulation de la loi de conduction thermique172
6.6 Le crible de la thermodynamique des milieux continus172
6.6.1 Premier principe de la thermodynamique173
6.6.2 Second principe de la thermodynamique des milieux continus173
6.6.3 Loi de conduction thermique176
6.7 Exemples de lois de comportement illicites178
7 Corps élastiques
179
7.1 Elasticité179
7.1.1 Loi de comportement élastique179
7.1.2 Loi de comportement thermoélastique179
7.1.3 Invariance de configuration pour les corps élastiques181
7.1.4 Thermoélasticité isotrope183
7.2 Hyperélasticité184
7.2.1 Exploitation du second principe ; lois d'état184
7.2.2 Formulation lagrangienne de l'hyperélasticité185
7.2.3 Loi de Doyle-Ericksen187
7.2.4 Propriétés caractéristiques des matériaux hyperélastiques187
7.2.5 Hyperélasticité isotrope189
7.2.6 Potentiel dual υ*0 pour les corps hyperélastiques193
7.3 Formulation eulérienne directe de l'hyperélasticité anisotrope195
7.3.1 Dérivées convectives des arguments eulériens du potentiel195
7.3.2 Exploitation de l'inégalité de Clausius-Duhem196
7.4 Hyperélasticité dans le cas de l'isotropie transverse197
7.4.1 Retour sur l'hyperélasticité isotrope197
7.4.2 Jeu de variables dans le cas isotrope transverse199
7.4.3 Loi d'hyperélasticté eulérienne isotrope transverse200
7.4.4 Loi d'hyperélasticté lagrangienne isotrope transverse201
7.5 Liaisons internes dans les corps élastiques202
7.5.1 Prise en compte de la liaison interne lors de l'exploitation du second principe202
7.5.2 Incompressibilité203
7.5.3 Rigidité204
7.5.4 Inextensibilité dans une direction204
8 Thermoélasticité linéarisée
205
8.1 Linéarisation de la loi des corps thermoélastiques205
8.1.1 Cas des déformations infinitésimales206
8.1.2 Cas des transformations infinitésimales207
8.2 Etude du tenseur d'élasticité anisotrope209
8.2.1 Changement de base pour les tenseurs des propriétés thermoélastiques209
8.2.2 Rigidités et souplesses ; notation de Voigt pour les modules d'élasticité210
8.2.3 Analyse des symétries matérielles pour le tenseur des modules d'élasticité213
8.2.4 Inversion de la relation d'élasticité isotrope : module de Young et coefficient de Poisson217
8.2.5 Caractère défini positif du tenseur d'élasticité219
8.2.6 Analyse des symétries matérielles pour le tenseur des dilatations thermiques221
8.2.7 Notation alternative : algèbre des tenseurs d'ordre deux symétriques222
8.3 Couplages thermoélastiques223
8.3.1 Contraintes d'origine thermique223
8.3.2 Equation de la chaleur226
8.3.3 Quelques conséquences du couplage thermoélastique229
9 Problème d'équilibre thermoélastique linéarisé
233
9.1 Formulation du problème d'équilibre thermoélastique linéaire233
9.1.1 Linéarisation des équations d'équilibre233
9.1.2 Formulation du problème aux limites234
9.1.3 Schémas de résolution235
9.1.4 Superposition240
9.1.5 Existence et unicité des solutions240
9.2 Exemples : traction simple et flexion pure242
9.2.1 Essai de traction/compression simple242
9.2.2 Flexion246
9.2.3 Principe de Saint-Venant252
9.3 Problèmes bidimensionnels255
9.3.1 Déformations planes255
9.3.2 Contraintes planes256
9.3.3 Fonctions de contraintes257
9.3.4 Le cas 2D et demi259
9.3.5 Cas axisymétrique259
9.3.6 Cas antiplan260
10 Théorèmes de l'énergie et encadrement
261
10.1 Elasticité non linéaire dans le contexte infinitésimal261
10.1.1 Potentiel d'élasticité et potentiel dual261
10.1.2 Formulation du problème aux limites d'élasticité non linéaire infinitésimale262
10.2 Théorèmes de l'énergie en élasticité non linéaire infinitésimale262
10.2.1 Une application du théorème des travaux virtuels262
10.2.2 Formulation variationnelle du problème aux limites en déplacement263
10.2.3 Régularité des solutions264
10.2.4 Théorème de l'énergie potentielle265
10.2.5 Formulation variationnelle du problème en contraintes266
10.2.6 Théorème de l'énergie complémentaire267
10.2.7 Encadrement de la solution :267
10.3 Théorèmes de l'énergie dans le cas de l'élasticité linéarisée268
10.4 Module de Young apparent d'un cylindre encastré269
10.4.1 Position du problème269
10.4.2 Un premier encadrement du module apparent270
10.4.3 Améliorations de la borne supérieure271
11 Fluides viscoélastiques
279
11.1 Fluides viscoélastiques279
11.2 Fluides différentiels279
11.3 Fluides de type taux281
11.4 Fluides newtoniens282
11.5 Equations de Navier-Stokes283
11.6 Quelques applications aux fluides newtoniens incompressibles285
11.6.1 Ecoulements de Poiseuille et de Couette285
11.6.2 Ecoulement de Couette285
11.6.3 Ecoulement de Couette-Taylor entre deux cylindres288
11.6.4 Premier problème de Stokes289
11.7 Obstacle sphérique dans un écoulement de fluide de Stokes291
11.7.1 Champ de pression291
11.7.2 Détermination du champ des vitesses292
11.7.3 Le gradient des vitesses et contraintes déviatoriques dans le fluide294
11.7.4 Force de trainée295
11.7.5 Epilogue malheureux297
II Annexes299
12 Tenseurs
301
12.1 Algèbre tensorielle301
12.1.1 Tenseurs sur un espace vectoriel E302
12.1.2 Tenseurs euclidiens309
12.1.3 Algèbre extérieure et pseudo-tenseurs313
12.1.4 Transformations orthogonales et rotations317
12.2 Applications linéaires entre deux espaces vectoriels321
12.2.1 Déterminant (intrinsèque) d'une application linéaire321
12.2.2 Opérateur adjoint d'une application linéaire sur deux espaces vectoriels321
12.2.3 Transposition d'une application linéaire sur deux espaces vectoriels euclidiens323
12.2.4 Opérations de transport : images directe et réciproque324
12.2.5 Prenons acte de l'identification entre un espace euclidien et son dual326
12.3 Analyse tensorielle327
12.3.1 Champs de tenseurs327
12.3.2 Opérateurs différentiels328
12.3.3 Intégration des champs de tenseurs333
12.4 Quelques résultats importants d'algèbre et analyse tensorielles en mécanique des milieux continus334
12.4.1 Théorème de Cayley-Hamilton et invariants d'un tenseur334
12.4.2 Lemme de Poincaré335
12.4.3 La différentielle de la fonction inverse sur les tenseurs d'ordre 2335
12.4.4 La différentielle du déterminant d'un tenseur du second ordre inversible336
12.5 Théorèmes de représentation337
12.5.1 Rappels sur les groupes de symétrie337
12.5.2 Fonctions isotropes340
13 Formulation des lois de conservation
345
13.1 Forme générale d'une équation de bilan345
13.2 Théorèmes de transport (forme intégrale)345
13.2.1 Cas d'une fonction f continue345
13.2.2 Cas d'un volume matériel346
13.2.3 Cas d'un volume présentant une surface singulière347
13.3 Equations de champ et équations aux discontinuités348
14 Variance fondamentale des tenseurs en mécanique
351
14.1 Gradient de la transformation et déformations351
14.2 Histoire des déformations352
14.3 Vitesses et gradient des vitesses352
14.4 Forces et contraintes353
14.5 Changements de base353
14.6 Dérivation temporelle convective355
14.7 Variance et loi de comportement356
14.8 Variance, isotropie de l'espace et seconde loi de Newton356
15 De Newton à Cauchy : dynamique newtonienne
359
15.1 Définition et propriétés de la fonction fenêtre d'observation360
15.2 Equations de bilan déduites de la dynamique newtonienne361
15.3 Non-objectivité des contraintes364
16 Invariance galiléenne et interaction entre particules
365
17 Formulaire d'analyse tensorielle
367
17.1 Coordonnées cylindriques367
17.1.1 Définition des coordonnées367
17.1.2 Champ scalaire367
17.1.3 Champ de vecteurs367
17.1.4 Champ de tenseurs d'ordre 2368
17.2 Coordonnées sphériques368
17.2.1 Définition des coordonnées368
17.2.2 Champ scalaire369
17.2.3 Champ de vecteurs369
17.2.4 Champ de tenseurs d'ordre 2 symétriques370
18 Eléments bibliographiques par thèmes
371
III Pratique373
19 Quelques transformations finies
375
19.1 Distorsion simple375
19.2 Le glissement simple376
19.2.1 Directions propres des déformations de Cauchy-Green376
19.2.2 Fibres matérielles allongées et raccourcies lors du glissement378
19.2.3 Un festival de rotations380
19.2.4 Rotation relative dans le glissement de deux lignes matérielles initialement orthogonales382
19.3 La flexion circulaire388
19.3.1 Déformations et rotations par flexion circulaire388
19.3.2 Cas d'une transformation isochore390
19.3.3 Cas d'une plaque mince391
19.4 Gonflement et cavitation392
20 Quelques tourbillons
395
20.1 Le vorticimètre395
20.2 Le tourbillon ponctuel396
20.2.1 Le vorticimètre et le tourbillon ponctuel396
20.2.2 Cinématique du tourbillon simple397
20.2.3 Cas d'un assemblage rigide faisant un angle donné401
20.2.4 Cas d'un assemblage articulé403
21 Déformations libres
405
21.1 Compatibilité des déformations d'origine thermique405
21.1.1 Déformations infinitésimales d'origine thermique405
21.1.2 Déformée d'un corps soumis à un gradient de température407
21.2 Effet bilame412
21.2.1 Etat de contraintes équi-biaxiales413
21.2.2 Déformations des couches414
21.2.3 Equations de compatibilité414
21.2.4 Déplacements414
21.2.5 Contraintes dans chaque couche415
21.2.6 Torseur des efforts résultant417
21.2.7 Comparaison avec un modèle numérique419
21.2.8 Résolution du système419
21.2.9 Bilame de laiton et d'invar420
21.3 Mécanique des microsystèmes422
21.3.1 La formule de Stoney422
21.3.2 Contraintes dans un film mince sur un substrat424
21.3.3 Contraintes résiduelles dans un dépôt d'aluminium sur un substrat de silicium425
21.3.4 Contraintes d'épitaxie426
21.4 Mécanique et changement de phase à l'état solide427
21.4.1 Morphologie lamellaire428
21.4.2 Assemblage de sphères concentriques434
21.4.3 Plasticité dans la matrice440
21.4.4 Prise en compte de l'énergie d'interface441
21.4.5 Effet d'une charge appliquée443
21.4.6 Epilogue446
22 Réservoirs sous pression
447
22.1 Statique du réservoir sous pression447
22.1.1 Conditions à la frontière du tube447
22.1.2 Equilibre des efforts appliqués449
22.1.3 Considérations de symétrie449
22.1.4 Etablissement de quelques informations sur les contraintes au sein du tube450
22.1.5 Cas d'un tube fermé par une calotte de forme quelconque451
22.1.6 Cas d'un tube mince454
22.2 Elastostatique du réservoir sous pression455
22.2.1 Distribution des déplacements, déformations et contraintes455
22.2.2 Différentes conditions aux extrémités du tube458
22.2.3 Cas d'un tube mince458
22.2.4 Respect du contexte infinitésimal461
22.2.5 Cavité dans un massif infini461
22.2.6 Dimensionnement du réservoir sous pression461
22.3 Frettage465
22.3.1 Opération de frettage de deux tubes465
22.3.2 Caractéristiques de l'assemblage fretté466
22.3.3 Contraintes initiales dans l'assemblage fretté467
22.3.4 Assemblage fretté chargé468
22.3.5 Optimisation de l'assemblage fretté469
22.4 Sphère sous pression470
23 Torsion
473
23.1 Introduction473
23.1.1 Problème de Dirichlet pour les fonctions harmoniques473
23.1.2 Problème de Neumann pour les fonctions harmoniques473
23.2 Torsion élastostatique d'un barreau cylindrique474
23.2.1 Méthode des déplacements476
23.2.2 Force résultante478
23.2.3 Rigidité de torsion479
23.2.4 Méthode des contraintes480
23.2.5 Barre de section circulaire486
23.3 Au-delà du régime élastique487
23.3.1 Rupture fragile d'une barre de section circulaire487
23.3.2 Limite d'élasticité d'une barre à section circulaire en torsion488
23.4 Torsion de barres à sections elliptiques et triangulaires488
23.4.1 Préliminaire : retour sur les fonction de gauchissement et fonction de contrainte489
23.4.2 Torsion d'une barre de section elliptique490
23.4.3 Torsion d'une barre de section triangulaire497
24 Le problème de Saint-Venant
503
24.1 Statique du problème de Saint-Venant504
24.1.1 Une propriété remarquable des contraintes504
24.1.2 Forme des contraintes dans le problème de Saint-Venant505
24.1.3 Détermination des contraintes de cisaillement506
24.1.4 Condition sur les surfaces latérales de la poutre508
24.1.5 Centre de torsion509
24.2 Poutre de section quelconque soumise à un effort tranchant510
24.2.1 Contraintes dans la poutre en flexion simple512
24.2.2 Détermination des déplacements515
24.2.3 Cas d'une poutre de section circulaire518
24.2.4 Epilogue : retour sur le problème de Saint-Venant524
25 Machines tournantes
525
25.1 Expressions simplifiées de la réponse élastique linéarisée d'un disque mince en rotation525
25.1.1 Efforts centrifuges526
25.1.2 Forme du tenseur des contraintes528
25.1.3 Une condition de compatibilité528
25.1.4 Détermination des contraintes529
25.1.5 Déformations et déplacements529
25.1.6 Contexte infinitésimal532
25.1.7 Contact avec le carter et prise en compte de l'aubage533
25.2 Critères de plasticité et de rupture534
25.2.1 Seuil de plasticité et vitesse critique pour le disque mince alésé534
25.2.2 Vitesse critique pour un disque en superalliage à base de nickel536
25.2.3 Rupture brutale536
25.2.4 Cas où le rayon de l'alésage est très faible536
25.2.5 Cas d'un disque mince non alésé539
25.3 Solution au sens de Saint-Venant du problème du disque541
25.3.1 Expressions générales des contraintes541
25.3.2 Equations de compatibilité541
25.3.3 Détermination complète des contraintes544
25.3.4 Déformations et déplacements546
25.3.5 Comparaison avec une solution numérique obtenue par la méthode des éléments finis548
25.4 Contraintes planes pour un cylindre de longueur finie549
25.4.1 Approche par les équations de Beltrami en coordonnées cylindriques549
25.4.2 Interprétation des termes de la solution555
25.4.3 Complément à l'étude des contraintes planes556
25.5 Arbres en rotation557
25.5.1 Mise en oeuvre de la méthode de déplacements557
25.5.2 Vitesse critique pour un arbre en rotation559
25.5.3 Epilogue560
26 Concentrations de contraintes
561
26.1 Préliminaire : fonction de contraintes et coordonnées cylindriques561
26.2 Contraintes dans une plaque trouée en traction562
26.2.1 Champ de contraintes loin du trou563
26.2.2 Forme générale des contraintes564
26.2.3 Prise en compte des conditions à la frontière564
26.3 Concentration de contrainte au bord du trou566
26.3.1 Facteur de concentration de contrainte566
26.3.2 Plasticité et rupture569
26.4 Déformations et déplacements570
26.4.1 Détermination partielle des déformations et des déplacements572
26.4.2 Précision du contexte infinitésimal574
26.4.3 Déformée du trou574
26.5 Plaque trouée sollicitée en traction plane575
26.5.1 Etude de la traction plane576
26.5.2 Plaque trouée en déformations planes577
26.6 Comparaison avec des simulations numériques 3D578
26.7 Trou elliptique dans une plaque585
26.7.1 Contrainte au bord du trou elliptique585
26.7.2 Cas d'une sollicitation perpendiculaire au grand axe de l'ellipse586
26.7.3 Cas d'une sollicitation parallèle au grand axe de l'ellipse588
26.7.4 Cas d'une ellipse infiniment aplatie sollicitée en traction dans une direction quelconque 0 <α<π / 2588
26.7.5 Expérience de mécanique de la rupture590
26.8 Différence entre le trou elliptique aplati et la fissure593
26.8.1 Champ de contraintes en pointe de fissure594
26.8.2 Quelques paradoxes liés à la rupture595
26.8.3 Un critère simple de bifurcation de fissure597
26.8.4 Trou elliptique infiniment aplati chargé en mode II599
26.8.5 Comportement asymptotique de trous de formes plus générales601
26.9 Cavités sphériques et ellipsoïdales dans un massif601
26. 10 Epilogue
602
27 Matériaux composites
603
27.1 Inclusion cylindrique hétérogène dans une matrice élastique et application aux composites à fibres longues603
27.1.1 Contraintes et déformations dans l'inclusion pour la traction transverse603
27.1.2 Concentration de contraintes dans la matrice pour la traction transverse606
27.1.3 Extension au chargement biaxial quelconque608
27.1.4 Application aux composites à fibres longues608
28 Dislocations de Volterra
613
28.1 Dislocation-vis614
28.1.1 Champ de déplacements615
28.1.2 Vecteur de Burgers615
28.1.3 Champs de contraintes et de déformations616
28.1.4 Equilibre et conditions aux limites en contraintes616
28.1.5 Energie élastique d'une dislocation-vis617
28.1.6 Cas où ri→ 0617
28.1.7 Influence du choix du plan de coupure617
28.1.8 Torseur résultant618
28.1.9 Solution exacte au sens de Saint-Venant619
28.2 Dislocation-coin620
28.2.1 Equilibre local et conditions aux limites620
28.2.2 Contraintes réduites621
28.2.3 Contexte des déformations planes621
28.2.4 Moment résultant621
28.2.5 Déformations et déplacements622
28.2.6 Energie d'une dislocation-coin624
28.2.7 Dislocation-coin équivalente625
28.3 Dislocations mixtes626
28.4 Compatibilité générale627
28.4.1 Retour sur la compatibilité627
28.4.2 Domaines non simplement connexes629
28.5 Dislocations dans les cristaux630
29 Forces concentrées, forces distribuées
633
29.1 Distribution de pression appliquée le long d'une gouttière633
29.1.1 Conditions aux limites633
29.1.2 Champ de contraintes634
29.1.3 Champ de déformations634
29.1.4 Expression des déplacements dans le plan635
29.1.5 Conditions aux limites en déplacements et déplacements finaux636
29.1.6 Respect du contexte infinitésimal637
29.1.7 Energie élastique stockée638
29.1.8 Limite d'élasticité638
29.2 Le problème de Flamant638
29.2.1 Formulation du problème638
29.2.2 Contraintes de Flamant639
29.2.3 Visualisation par photoélasticité639
29.2.4 Caractère pathologique de la solution de Flamant640
29.3 Distribution de pression sur un massif640
29.3.1 Question préliminaire640
29.3.2 Champ de contraintes dans le massif640
29.3.3 Régularité des contraintes643
29.3.4 Respect du contexte infinitésimal643
29.3.5 Limite d'élasticité644
29.3.6 Déformée de la surface645
29.4 Le problème de Flamant général645
29.5 L'essai brésilien de compression diamétrale647
29.5.1 Champ de contrainte dans un disque en compression diamétrale648
29.5.2 Etude du champ des déformations656
29.5.3 Considération de conditions aux limites plus réalistes658
30 Gravitation et électromagnétisme
663
30.1 Dimensionnement d'un barrage-poids663
30.1.1 Critère de non glissement du barrage663
30.1.2 Etude du barrage dans le cas α = 0665
30.1.3 Etude du barrage dans le cas général673
30.2 Contraintes dans les bobines de champs magnétiques677
30.2.1 Forces de volume d'origine électromagnétique678
30.2.2 Solénoïde renforcé par une frette en acier685
30.3 Contraintes dans les corps célestes689
30.3.1 Préliminaires689
30.3.2 Planète fluide692
30.3.3 Planète solide693
30.3.4 Détermination complète du déplacement694
30.3.5 Étude des déformations de la planète696
30.3.6 Planète possédant un noyau fluide et un manteau solide699
30.3.7 Discussion des résultats701
30.3.8 Complément : aplatissement aux pôles704
31 Aubes de turbines monocristallines
707
31.1 Préliminaire : le tenseur d'élasticité cubique708
31.1.1 Le groupe d'invariance de configuration pour la classe de symétrie cubique708
31.1.2 Tenseur de structure de l'élasticité cubique708
31.1.3 Potentiel d'élasticité cubique linéarisée709
31.1.4 Le tenseur d'élasticité linéaire cubique710
31.1.5 Equivalence avec la notation matricielle usuelle711
31.2 Traction simple d'une barre monocristalline en élasticité cubique712
31.2.1 Calcul de la déformation de traction713
31.2.2 Module de Young dans la direction ḏ713
31.2.3 Module de Young selon trois directions du cristal714
31.2.4 Modules de Young extrémaux715
31.3 Torsion d'une barre monocristalline en élasticité cubique717
31.3.1 Torsion d'une barre parallèle à ḵ717
31.3.2 Torsion d'une barre d'axe parallèle à i + ḵ719
31.4 Critère de plasticité cubique721
31.4.1 Limite d'élasticité en traction simple722
31.4.2 Limite d'élasticité en torsion724
Références bibliographiques
727
Index
737