Mécanique des milieux continus
Introduction aux principes et applications
J. N. Reddy
de boeck
Avant-proposxi
1 Introduction1
1.1 Mécanique des milieux continus1
1.2 Objectif de l'étude8
1.3. Résumé9
2 Vecteurs et Tenseurs11
2.1 Motivation11
2.2 Définition d'un vecteur11
2.3 Algèbre des vecteurs12
2.3.1 Vecteurs unitaire13
2.3.2 Vecteur nul13
2.3.3 Addition de vecteurs14
2.3.4 Multiplication d'un vecteur par un scalaire14
2.3.5. Produit scalaire de vecteurs16
2.3.6. Produit vectoriel17
2.3.7. Produits triples de vecteurs20
2.3.8 Surface plane et vecteur22
2.3.9 Composantes d'un vecteur24
2.4 Notation indicielle et convention de sommation27
2.4.1 Convention de sommation27
2.4.2 Indice muet28
2.4.3. Indice libre28
2.4.4 Symboles de Kronecker et de permutation29
2.4.5 Loi de transformation32
2.5 Théorie des matrices35
2.5.1 Définition35
2.5.2 Addition de matrices et multiplication par un scalaire36
2.5.3 Matrice transposée, symétrique et antisymétrique37
2.5.4 Multiplication de matrices38
2.5.5 Inverse et déterminant d'une matrice41
2.6 Calcul vectoriel45
2.6.1 Opérateur nabla45
2.6.2 Divergence et rotationnel d'un vecteur47
2.6.3 Coordonnées cylindriques et sphériques49
2.6.4 Théorèmes du gradient, de Green-Ostrogradski et du rotationnel52
2.7 Tenseurs52
2.7.1 Dyades52
2.7.2 Composantes d'une dyade54
2.7.3 Transformation des composantes d'une dyade56
2.7.4 Calcul tensoriel56
2.8 Résumé57
Exercices58
3 Cinématique d'un milieu continu63
3.1 Déformation et configuration63
3.2 Déformations conventionnelles ou nominales64
3.2.1 Déformation normale64
3.2.2 Déformation de glissement65
3.3 Cinématique d'un milieu continu solide69
3.3.1 Configurations d'un milieu continu69
3.3.2 Descriptions matérielles et spatiales70
3.3.3 Champ de déplacement74
3.4 Analyse des déformations76
3.4.1 * Tenseur gradient de la transformation76
3.4.2 * Divers types de déformations79
3.4.2.1 Dilatation pure79
3.4.2.2 Extension simple80
3.4.2.3 Cisaillement simple80
3.4.2.4 Déformation hétérogène81
3.4.3 Tenseur des déformations de Green-Lagrange81
3.4.4 Tenseur des déformations infinitésimal86
3.4.5 Valeurs principales et plans principaux de déformation89
3.5 Tenseurs des taux de déformation et tourbillon91
3.5.1 Tenseur gradient de vitesse91
3.5.2 Tenseur des taux de déformation92
3.5.3 Tenseur des taux de rotation et vecteur tourbillon92
3.6 Équations de compatibilité95
3.7 Résumé97
Exercices98
4 Vecteurs contraintes et tenseurs des contraintes105
4.1 Introduction105
4.2 Vecteur contrainte, tenseur des contraintes et formule de Cauchy106
4.3 Transformation des composantes et contraintes principales115
4.3.1 Transformation des composantes115
4.3.2 Contraintes principales et plans principaux117
4.4 Résumé120
Exercices120
5 Conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie125
5.1 Introduction125
5.2 Conservation de la masse126
5.2.1 Discussion préliminaire126
5.2.2 Conservation de la masse en description eulérienne127
5.2.3 Conservation de la masse en description lagrangienne132
5.2.4 Théorème de transport de Reynolds134
5.3 Conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique135
5.3.1 Principe de conservation de la quantité de mouvement135
5.3.2 Principe de conservation du moment cinétique152
5.4 Principes de la thermodynamique154
5.4.1 Introduction154
5.4.2 Conservation de l'énergie pour des écoulements unidimensionnels154
5.4.3 Équation de l'énergie pour un milieu continu tridimensionnel158
5.5 Résumé161
Exercices162
6 Équations constitutives169
6.1 Introduction169
6.2 Solides élastiques170
6.2.1 Introduction170
6.2.2 Loi de Hooke généralisée pour matériaux orthotropes171
6.2.3 Loi de Hooke généralisée pour matériaux isotropes173
6.3 Équations constitutives de fluides177
6.3.1 Introduction177
6.3.2 Fluides parfaits177
6.3.3 Fluides incompressibles visqueux178
6.4 Transfert thermique179
6.4.1 Introduction générale179
6.4.2 Loi de conduction de la chaleur de Fourier179
6.4.3 Loi du refroidissement de Newton180
6.4.4 Loi de Stefan-Boltzmann181
6.5 Résumé181
Exercices181
7 Applications en transfert thermique, mécanique des fluides et mécanique des solides185
7.1 Introduction185
7.2 Transfert thermique186
7.2.1 Équations d'évolution186
7.2.2 Solutions analytiques du transfert thermique unidimensionnel189
7.2.2.1 Transfert thermique stationnaire dans une ailette de refroidissement189
7.2.2.2 Transfert thermique stationnaire dans une barre isolée en surface191
7.2.3 Conduction thermique axisymétrique dans un cylindre192
7.2.4 Transfert thermique bidimensionnel194
7.3 Mécanique des fluides196
7.3.1 Remarques préliminaires196
7.3.2 Rappel des équations197
7.3.3 Statique des fluides parfaits198
7.3.4 Écoulement parallèle d'un fluide visqueux200
7.3.4.1 Écoulement stationnaire d'un fluide visqueux incompressible entre deux plaques parallèles200
7.3.4.2 Écoulement stationnaire d'un fluide visqueux incompressible à travers un tuyau201
7.3.5 Processus de diffusion204
7.4 Mécanique des solides207
7.4.1 Équations d'évolution207
7.4.2 Analyse de barres210
7.4.3 Analyse de poutres214
7.4.3.1 Principe de superposition222
7.4.4 Analyse de problèmes d'élasticité plane223
7.4.4.1 Déformation et contrainte planes223
7.4.4.2 Déformation plane223
7.4.4.3 Contrainte plane225
7.4.4.4 Méthodes de résolution226
7.4.4.5 Fonction de contrainte d'Airy230
7.5 Résumé232
Exercices233
Éléments de correction245
Références et suggestions de lecture255
Index257